1.1　三角形内角和定理 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及其应用，系统涵盖内角和、外角性质、多边形内角和与外角和等核心知识点。课堂导入从三角形基础概念切入，通过证明推导过渡到外角性质，再延伸到多边形相关内容，构建从基础到拓展的学习支架。 其亮点在于结合路灯、窗棂等现实情境设计问题，培养学生用数学眼光观察世界，通过燕尾形角度计算、四边形外角和证明等题目发展推理能力，以公式符号表达规律强化数学语言。例如可调躺椅问题引导学生构造外角解决实际问题，助力学生提升应用能力，教师可借助分层练习提高教学效率。

第一章　三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第一章　三角形的证明及其应用 三角形内角和定理(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．三角形三个内角的和等于　　　　。  2．直角三角形的两锐角和是　　　　，正三角形的一个内角是　　。  3．两角分别相等且　　　　　　　　　 的两个三角形全等。  180°　 90°　 60° 其中一组等角的对边相等 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝60°，则∠A＝(　　)。 A．80° B．90° C．180° D．360° 2．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为(　　)。 A．44° B．50° C．66° D．70° A　 D 3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，直线DE经过点A且DE∥BC，若∠DAB＝30°，则∠BAC的度数为(　　)。 A．70° B．80° C．90° D．100° B 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠A＝60°，则∠B＝　　　，∠BCD＝　　　　。 5．如图，点E，D分别在AB，AC上。若∠B＝30°，∠C＝50°，则 ∠1＋∠2＝　　　　。 30°　 60° 80° 6．如图，点B，C，E共线，AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥DC，AC＝DC。若AB＝2 cm，DE＝1 cm，则BE＝　　　　　。 3 cm 7．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A。 (1)求△ABC各内角的度数； 解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠A， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠ABD＝2∠A。 ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°。 (2)求∠ADB的度数。 (2)由(1)可知，∠ABD＝∠A＝30°， ∵∠ADB＋∠ABD＋∠A＝180°， ∴∠ADB＝180°－(∠ABD＋∠A)＝120°。 强化提高 8．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝110°，则∠A的度数为(　　)。 A．50° B．40° C．70° D．35° B 9．将一副三角尺叠在一起按如图所示的方式放置，三角尺DEF最小锐角的顶点D恰好放在三角尺ABC的斜边AB上，BC与DE交于点M。若∠ADF＝100°，则∠BMD＝　　　　。　  85° 10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝　　　　。  360° 11．在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为　　　　　。  20°或60° 提示：分两种情况讨论(如图①②)。 图①　　　 图② 12．如图，AB∥DC，E是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AE⊥ED。 证明：在△ABE中，∠1＋∠2＋∠B＝180°， 在△CED中，∠3＋∠4＋∠C＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠C＝360°。 ∵AB∥DC， ∴∠B＋∠C＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°。 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠3＝90°。 ∵∠AED＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠AED＝180°－90°＝90°， 即AE⊥ED。 课堂延伸·提升素养 13． 【综合与实践】【问题情境】 如图①，将一块含30°角的三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C。 ∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ 【特殊探究】 (1)若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝　　　　， ∠PBC＋∠PCB＝　　　　，∠ABP＋∠ACP＝　　　　。  图①　　 130° 　90°　 40° 解析：∵∠A＝50°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°。 ∵∠P＝90°， ∴∠PBC＋∠PCB＝90°， ∴∠ABP＋∠ACP＝130°－90°＝40°。 【类比探索】 (2)请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的关系。 解：结论：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A。 ∵90°＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°， ∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°， ∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A。 图①　　 【类比延伸】 (3)如图②，改变三角尺PMN的位置，使点P在△ABC外，三角尺PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的结论并说明理由。 图② 解：不成立，结论：∠ACP－∠ABP＝90°－∠A。 理由如下： 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∵∠MPN＝90°， ∴∠PBC＋∠PCB＝90°， ∴(∠ABC＋∠ACB)－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A－90°， 即∠ABC＋∠ACP＋∠PCB－∠ABP－∠ABC－∠PCB＝90°－∠A， ∴∠ACP－∠ABP＝90°－∠A。 第一章　三角形的证明及其应用 三角形内角和定理(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．三角形的一个外角等于　　　　　　　　　　　　　　。  2．三角形的一个外角大于任何一个　　　　　的内角。  与它不相邻的两个内角的和 与它不相邻 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠C＝45°，则 ∠CBD＝(　　)。 　　 　　　　 　　　 　　　 A．10° B．20° C．70° D．80° D　 2． 【数学应用】图①是一路灯的实物示意图，图②是该路灯的平面示意图，∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，则∠CBA的度数为(　　)。　 A．50° B．30° C．20° D．15° B　 3．如果P为△ABC内任意一点，延长CP交AB于点D，则下列结论不一定成立的是(　　)。 A．∠1＞∠3 B．∠1＞∠A C．∠2＜∠A D．∠3＞∠A C　 4．如图，BD∥CE，∠1＝85°，∠2＝37°，则∠A＝　　　　。  48°　 5．如图，将一副三角尺叠放在一起，则∠α的度数是　　　　。  6．在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是135°和110°，则∠C的度数 为　　　　。  75°　 65° 7．如图，在△ABE中，∠A＝31°，∠B＝60°。若∠BFD＝52°，求∠C的度数。 解：∵∠CEF＝∠A＋∠B＝31°＋60°＝91°， ∠C＋∠CEF＋∠CFE＝180°， ∴∠C＋91°＋∠CFE＝180°。 又∵∠CFE＝∠BFD＝52°， ∴∠C＋91°＋52°＝180°，∴∠C＝37°。 强化提高 8．我们通常称形如燕尾的几何图形为“燕尾形”。如图所示的是一个“燕尾形”，已知∠ADC＝105°，∠ABC＝63°，∠BAD＝22°，则∠BCD的度数为　　　　。  9．若三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各内角的度数分别是　　　　　　　。  20°　 36°，72°，72° 10． 【数学应用】如图所示的是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变。为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应　　　　(填“增加”或“减少”)　　　　°。  增加　 20 提示：延长EF，交CD于点G，构造三角形的外角求解。 11．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论正确的有　　　　。(填序号)  ①∠1＝2∠2； ②∠BOC＝3∠2； ③∠BOC＝90°＋∠2； ④∠BOC＝90°＋∠1。 ①③ 解析：∠2＝∠DCE－∠DBE ＝(∠ACD－∠ABC) ＝∠1， 故①正确； ∠OCE＝(∠ACB＋∠ACD)＝×180°＝90°， ∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2＝90°＋∠1， 故③正确，②④错误。 故答案为①③。 课堂延伸·提升素养 12． 【综合与实践】图①是一张三角形纸片ABC，点D，E是△ABC边上的两点。 (1)如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，那么∠BDA'与∠A的数量关系是　　　　　　　　；  (2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　　 　　　　　　 　　；  ∠BDA'＝2∠A ∠BDA'＋∠CEA'＝2∠A 解：∠BDA'－∠CEA'＝2∠A。理由如下： 如图，设DA'交AC于点F，  ∵∠BDA'＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A'＋∠CEA'， ∴∠BDA'＝∠A＋∠A'＋∠CEA'， ∴∠BDA'－∠CEA'＝∠A＋∠A'。 ∵△A'DE由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠A'， ∴∠BDA'－∠CEA'＝2∠A。 (3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系，并说明理由。 第一章　三角形的证明及其应用 三角形内角和定理(第3课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．n边形的内角和等于　　　　　　。多边形的边数每增加一条，它的内角和增加_________。  2．正n边形的每个内角的度数是　 。  3．如果四边形一组对角互补，那么另一组对角________________。 (n－2)·180°　 180° 也互补 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．下列多边形中，内角和等于360°的是(　　)。 A B C D B　 2．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m， n的值分别为(　　)。 A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4 C　 3．若一个多边形的内角和是1 800°，则这个多边形的边数是(　　)。 A．9 B．10 C．11 D．12 4． 【数学应用】“红军帽”是红军的象征，其帽顶近似为正多边形，每个内角均约为135°，则这个正多边形的边数为(　　)。 A．9 B．8 C．7 D．6 5．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形是　　　　边形。  D　 B　 十　 6．如图，正五边形ABCDE和正方形ABFG的边长相等，则∠1＝ 　　　　。  7．若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角的度数之和为　　　　　 　 。  18°　 800° 8．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠C＝360°。求证：AE∥CD。 证明：∵五边形的内角和等于×180°＝540°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°。 ∵∠A＋∠B＋∠C＝360°， ∴∠D＋∠E＝540°－360°＝180°。 ∴AE∥CD。 强化提高 9．如图，有一幅不完整的正多边形图案，小丽量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是(　　)。 A．9 B．10 C．11 D．12 10．一个多边形截去一个角后，形成一个内角和为720°的多边形，那么原多边形的边数为(　　)。 A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 D　 D　 11．如图，直线与正八边形的两边相交，则∠1＋∠2的度数为 　　　　。  12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D＝_____________。 135°　 95° 13．小明和小军在一起探讨有关“多边形的内角和”的问题，两人各出一道题考对方。小明给小军出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为1∶2∶5∶8，求各内角的度数。小军想了想，说这道题有问题。 (1)请你指出问题在哪里； 解：(1)根据题中条件可知，四边形中最大内角的度数为×180°×＝180°， ∵多边形的每一个内角都小于180°， ∴这个角不能是四边形的内角。 (2)他们经过研究后，改变了题中的一个数字，使这道题更合适。请你也尝试一下，换一个合适的数字，并解答。 (2)将度数比改为1∶2∶5∶4。 ∵四边形的内角和为360°， ∴四个内角的度数分别为360°×＝30°， 360°×＝60°，360°×＝150°，360°×＝120°。(答案不唯一) 课堂延伸·提升素养 14． 【综合与实践】某中学八(1)班数学课外兴趣小组在探究“n边形(n≥4)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 … 从多边形的一个顶点出发可引出的对角线条数           … 多边形对角线的总条数           … (1)探究：假如你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表； 1 2 2 5 3 9 4 14 5 20 (2)猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为　　　，n边形对角线的总条数 为　　　　　　；  (3)应用：10人聚会(围成一圈)，每不相邻的两人都握一次手，共握多少次手？ n－3 　 ＝35(次)。 第一章　三角形的证明及其应用 三角形内角和定理(第4课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的　 　　。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的____________。  2．多边形的外角和等于　　　　。  外角　 外角和 360° 课堂精练·发展能力 基础巩固 1． 【数学应用】如图①，奎光塔是我国著名的17层密檐式六面体部分双筒砖砌古塔。如图②所示的正六边形是其中一层的平面示意图，其外角和为(　　)。 　　　　 　　　　 　　　　 A．135° B．360° C．1 080° D．1 440° 图① 图② B　 2．已知某多边形的每一个外角的度数均为36°，则这个多边形的边数为(　　)。 A．8 B．9 C．10 D．11 3． 【数学应用】图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中。图②是八角形空窗的平面示意图，它的一个外角∠1＝(　　)。 A．45° B．60° C．110° D．135° 图① 图② C　 A　 4．多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和的变化情况为(　　)。 A．都不变 B．内角和增加180°，外角和不变 C．都增加180° D．内角和增加180°，外角和减少180° B　 5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　　　　边形。  6．一个正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的内角和为 　　　　。  7．经过多边形的一个顶点共有5条对角线，若这个多边形是正多边形，则它的每一个外角的度数为___________。 六　 2 880° 45° 8． 【数学应用】窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案，如图①。图②是某窗棂样式结构图案的一部分。已知BC∥DE，∠3＝85°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数。 图① 图② 解：∵BC∥DE， ∴∠BCD＝∠3＝85°， ∴∠BCD的外角为180°－85°＝95°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－95°＝265°。 强化提高 9．一个n边形的内角和与外角和的比是4∶1，则n是(　　)。 A．8 B．9 C．10 D．12 10．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的形状图如图①所示，正六边形各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的形状图如图②所示，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，则图②中∠α的度数为　　 　。  C　 30°　 11．如图，小亮从点A出发前进10 m，向右转15°；再前进10 m，又向右转15°……这样一直走下去，则他第一次回到出发点A时一共走了　　　　。  12． 【数学应用】剪纸是古老的传统民间艺术，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小宇计划用一张正方形皮革剪出一个面积最大的正六边形作杯子的底座， 正方形ABCD的边长为16 cm，则裁出的长方 形BEFC的边BE的长为 　　 　　cm。  240 m (16－8) 13．已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比与其相邻的外角大60°，这个多边形是几边形？ 解：由题意设这个多边形的每个外角的度数为x°，则每个内角的度数均为(x＋60)°， 则x＋(x＋60)＝180， 解得x＝60。360°÷60°＝6， 所以这个多边形是六边形。 课堂延伸·提升素养 14．请用两种方法证明：四边形的外角和为360°。(要求：结合图形，写出已知、求证，并证明) 解：已知：如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的四个外角。 求证：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°。 证法一：如图①， ∵∠1＝180°－∠DAB，∠2＝180°－∠ADC， ∠3＝180°－∠DCB，∠4＝180°－∠ABC， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×4－(∠DAB＋∠ADC＋∠DCB＋∠ABC)。 ∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°， ∴∠DAB＋∠ADC＋∠DCB＋∠ABC＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝720°－360°＝360°。 图①　　　　　 证法二：如图②，连接AC，BD。 ∵∠1＝∠ADB＋∠ABD，∠3＝∠CDB＋∠CBD， ∴∠1＋∠3＝∠ADC＋∠ABC。 同理，∠2＋∠4＝∠DAB＋∠DCB， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠ADC＋∠ABC＋∠DAB＋∠DCB。 ∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°， ∴∠DAB＋∠ADC＋∠DCB＋∠ABC＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°。 　　　　图② $