专题：几何法求空间角 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦几何法求空间角核心知识点，系统梳理异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义、范围及求法步骤，构建从线线角平移法到线面角垂线与等体积法，再到面面角定义、三垂线等方法的完整学习支架。 资料以结构化知识梳理与分层典例设计为特色，通过定义辨析与步骤拆解培养数学思维，结合具体图形与变式练习发展几何直观和空间观念，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固方法弥补薄弱点。

专题：几何法求空间角 知识梳理 一、异面直线所成角（线线角） 1、定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) 2、范围： 3、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 典例剖析 【考点一 异面直线所成角】 （方法1：平行四边形平移法） 1．如图，在长方体中，是棱的中点，，则与AC所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得； 【详解】连接，由长方体性质可得， 所以等于异面直线与所成角， 在三角形中，， ， 则， 则与所成角的余弦值为； 【变式】如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)求直线BC与直线PA所成角的余弦值. 【答案】(1) 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （方法2：中位线平移法） 2．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点.求异面直线与所成角的余弦值 . 【答案】 【分析】方法一：根据异面直线所成角的概念以及余弦定理求解即可. 方法二：根据向量法，计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】方法一：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以 ， 而 ，所以 ， 所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角， 设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为， 计算得， 所以由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法二： 因为分别是棱的中点，所以，所以， 设异面直线与所成的角为， 所以 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． （方法3：补形后平移） 3．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将该几何体补成一个直四棱柱，连接，则（或其补角）是异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形. 连接，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 设1，则， 所以. 故选：D. 4．如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/0.7 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以 ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 知识梳理 二、直线与平面所成角（线面角） 1、有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，θ∈[0°，90°] 2、线面角的求法 （1）直接：垂线法(也叫直接法、定义法） 关键：先找（证）再求 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；再找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩α=B，作AO⊥α于点O，∠ABO为直线AB与平面α所成角 （2） 间接：等体积法（也叫公式法） 优点：无须知道线面角具体是再在什么位置、是哪一个角，只需计算求解 步骤：①用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离 ②利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 典例剖析 【考点二 线面角】 （直接：垂线法） 5．正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【详解】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 【变式】如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形， ，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理与性质； （2）通过线面垂直来确定射影，再求出相应的线段长度，从而求线面角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. （2）如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. （间接：等体积法） 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值.    【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，    是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 【练习】在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    7．如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【答案】 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 知识梳理 3、 二面角有关概念 1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 四、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 典例剖析 【考点三 求二面角（面面角）】 五、确定二面角的平面角的方法 （一）定义法（棱上一点双垂线法） 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 如图，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 8．已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【来源】浙江省杭州市西湖区东方中学2024-2025学年高一下学期期中考数学试卷 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 【变式】如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线 平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面 平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以 ， 又因为平面，平面，所以 平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以 ， 又因为平面，平面，所以 平面 又，平面 所以平面 平面， 又平面， 所以直线 平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 五、确定二面角的平面角的方法 （二）三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 1. 原理：利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，从而找到二面角的平面角。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线. （1）三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. （2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 2. 三垂线法求二面角的平面角：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 9．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面 平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 【练习】在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 五、确定二面角的平面角的方法 （三）垂面法（空间一点垂面法） 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 如图，过二面角内一点A作于B，作于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 10．从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是 【答案】 或 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答. 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 11．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小.   【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 五、确定二面角的平面角的方法 （四）射影面积法 求二面角 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.（这个方法对于无棱二面角的求解很简便。） 【推导】：以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. A B D C 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. 12．如图，在长方体中，，，为的中点，则二面角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题：几何法求空间角 2 知识梳理 一、异面直线所成角（线线角） 1、定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线d1/a,b'1b,把d与b所成的锐角或 直角叫做异面直线α，b所成的角（或夹角） 2、范围： 3、求异面直线所成角一般步骤： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角 (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 (4)取舍：因为异面直线所成角0的取值范围是 0 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作 为异面直线所成的角 典例剖析 【考点一异面直线所成角】 (方法1：平行四边形平移法) 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点，AD=AA1=1,AB=2,则A1D与 AC所成角的余弦值为」 D M B 【变式】如图，等腰梯形ABCD中，ABCD,CD=2AB=2AD=4,AE⊥CD,垂足为E, 将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB, 第1页 AC上，且器=器=2 (I)求直线BC与直线PA所成角的余弦值 B (方法2：中位线平移法) 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,C1D1的中点.求异面直线A1D与 EF所成角的余弦值 D F C A B .…方 A B 第2页 【变式】如图，己知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,AP=AB=AD=2, E是侧棱PB的中点， (I)求证：BC⊥平面PAB (②)求异面直线AE与PD所成的角. D B C (方法3：补形后平移) 3.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，AB=BC=AC=AA1,则异面直线AB1与BC1所成角的 余弦值等于() A县 B.吉 c.3 D. B C A 第3页 4.如图，在圆柱001中，轴截面AA1B1B是正方形，C在圆O的圆周上，∠A0C=60°，则异面直 线A1C与B:O所成角的余弦值为 潮， 知识梳理 二、直线与平面所成角（线面角) 1、有关概念 有关概念 对应图形 一条直线与平面相交，但不与这个平面垂直，这 斜线 条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线P4 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和 射影 斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜 线PA在平面a上的射影为直线AO 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PA¤ 直线与平面所成 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行， 的角 或在平面内，它们所成的角是° 取值范围 设直线与平面所成的角为0,0∈[0°，90] 2、线面角的求法 (1)直接：线法（也叫直接法、定义法） 关键：先找（证）再求 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；再找线在面外的一点A,过点A向平面做 第4页 垂线，确定垂足O; ②连结斜足与垂足为斜线AB在面o上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩a=B,作AO⊥a于点O,∠ABO为直线AB与平面a所成角 (2)间接：等体积法（也叫公式法） 优点：无须知道线面角具体是再在什么位置、是哪一个角，只需计算求解 步骤：①用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离 ②利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：sin日=乌，其中0是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，I是斜线段的长。 典例剖析 【考点二线面角】 (直接：垂线法) 5.正方体ABCD-A1B1C1D1,直线A1B与平面A1DCB1所成的角的大小是() A.30 B.45 C.60o D.75 【变式】如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形， AD/BC,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,N为PB的中点，PCn平面AND=M (1)求证：MN/BC; (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值 第5页 M …>D .A (间接：等体积法) 6.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面 ABCD,且M是PD的中点 (①)求证：PB//平面ACM 第6页 (2)求证：AM⊥平面PCD; (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 B 【练习】在正四棱锥P-ABCD中，O为顶点P在底面内的射影，Q为侧棱PD的中点，且PO=4, AB=2√2，则直线BD与平面QAC所成角的正弦值为 第7页 7.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE 与平面ABC1所成角的余弦值的范围是 第8页 D E A B D 知识梳理 三、二面角有关概念 1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这 两个半平面叫做二面角的面 2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180] 四、求二面角大小的步骤是： (1)作：找出这个平面角： (2)证：证明这个角是二面角的平面角； (3)求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小. 典例剖析 【考点三二面角 （面面角)】 五、 确定二面角的平面角的方法 第9页 (一)定义法（棱上一点双垂线法） 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线， 如图，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB 则∠AOB为此二面角的平面角 8.已知一个六条棱均相等的四面体A一BCD,则二面角A一BC一D的余弦值为 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD=4,A=号，点E为AB的中点，将△ADE沿 直线DE翻折成△ADE(点A1不在面BCDE内)，点F为A1C的中点.在△ADE翻折过程中， (1)证明：直线FB‖平面A1DE; (2)若A1C=V10,求二面角A1-DE-C的大小 第10页 A 五、确定二面角的平面角的方法 (二)三线法（面上一点双垂线法）-最常用 1.原理：利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，从而找到二面角的平面角。这种方法关键是找 垂直于二面角的面的垂线 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 第11页 垂直 (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线 的射影垂直 2.三垂线法求二面角的平面角：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面 的交线)作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即 为二面角的平面角 如图，在平面α内选一点A向另一个平面耶作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO, 垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角。 B 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，ADIIBC,AB=BC=CD=AD=2, PA=PB=PC=PD=V5 (1)求证：平面ABCD⊥平面PAD: (2)若PM=P,求平面MAB与平面ABCD的夹角的正弦值. 第12页 【练习】在△ABC中，AB=2,AC=1,BC=V3,点M为AB中点，连接CM,将△ACM沿 CM折起，使点A到达点A的位置，且平面ACM⊥平面BCM,则二面角A一-BC-M的余弦值为 第13页 五、确定二面角的平面角的方法 (三)垂面法（空间一点垂面法） 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图，过二面角内一点A作AB⊥于B,作ACLB于C,面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二 面角的平面角。 10.从空间中一点P向二面角C-1-B的两个面a,B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若 ∠EPF=60°，则二面角a-1-B的大小可能是 11.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中 点，PA⊥底面ABCD,PA=5 (I)证明：平面PBE⊥平面PAB: 第14页 (2)求二面角A-BE-P的大小 D:: 五、确定二面角的平面角的方法 (四)射影缅积法求二面角cos日 S特影 S 第15页 已知平面B内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面B所 成的二面角的大小为0，则0s=S整.（这个方法对于无棱二面角的求解很简便，） S 【推导】小：以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面B内的△ABC在平面o的射影为△ABC,作AD⊥BC于D,连结AD :AA⊥a于A,D∈a, ,AD在a内的射影为AD 又：AD⊥BC,BCCa, :.AD⊥BC(三垂线定理的逆定理)· B D ∴.∠ADA为二面角o一BC一B的平面角 设△4BC和△ABC的面积分别为S和S,LADA'=0,则S=BC·AD,S=BC·AD .cos0=4'D C.AD 21 AD BC·AD S 2 12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3,AA1=6,E为AA1的中点，则二面角 A一DE一B的正弦值为」 C 【变式】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF (1)证明：EF⊥PC: (2)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值， 第16页 F 第17页 第18页