第八章 立体几何初步 章节重难点题型总结讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步章节重难点题型总结 目录 题型1：几何体表面最短路径 2 题型2：空间几何体的体积 4 题型3：几何体的“内切”与“外接”问题 7 题型4：直线、平面位置关系有关命题的判断 10 题型5：线线角与线面角 12 题型6：空间几何体中的距离问题 14 题型7：空间二面角 15 题型8：折叠问题中的证明与计算 17 题型9：立体几何探索性问题 19 题型10：立体几何中的轨迹问题 23 题型11：立体几何中的交线与截面问题 26 题型1：几何体表面最短路径 【例1.1.】 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为______；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______. 【例1.2.】 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    【例1.4.】 如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例1.5.】 如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【例1.6.】 在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例1.7.】 如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 题型2：空间几何体的体积 【例2.1.】 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 【例2.2.】 如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 【例2.3.】 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【例2.5.】 如图，在四棱锥中，，，过AB的平面分别交PD，PC于点E，F，且，记四棱锥的体积为，几何体ABCDEF的体积为，则___________. 【例2.6.】 如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2.8.】 一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，上方的小四棱锥的高为___________．    【例2.9.】 已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【例2.10.】 (多选)在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（    ）． A．当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B．若，则三棱锥的体积为 C．若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D．若，则三棱锥的内切球半径为 【例2.11.】 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 题型3：几何体的“内切”与“外接”问题 【例3.1.】 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 【例3.2.】 在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 【例3.4.】 （多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【例3.5.】 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 【例3.8.】 已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.9.】 已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为______． 【例3.10.】 如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【例3.11.】 已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（   ） A． B． C． D． 【例3.12.】 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【例3.13.】 在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【例3.14.】 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.15.】 已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【例3.16.】 已知如图所示的多面体的6个顶点都在球的球面上，与都是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，平面，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.17.】 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型4：直线、平面位置关系有关命题的判断 【例4.1.】 下列命题正确的是（   ） A．若两个平面，有一个公共点，则 B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 【例4.2.】 （多选）对两条不相交的空间直线与，必存在平面，使得（   ） A．， B．， C．， D．， 【例4.3.】 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【例4.4.】 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例4.5.】 已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则与必然无交点 B．若，则与必然无交点 C．若，则 D．若，则 【例4.6.】 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【例4.7.】 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 题型5：线线角与线面角 【例5.1.】 在平行四边形中，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（   ） A．60° B． C． D． 【例5.3.】 正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【例5.4.】 如图，在直三棱柱中，，，，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【例5.5.】 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是____________． （1）； （2）平面； （3）与平面所成的角等于与平面所成的角； （4）与所成的角等于与所成的角． 【例5.6.】 如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【例5.7.】 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【例5.8.】 如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（    ） A． B． C． D． 【例5.9.】 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 题型6：空间几何体中的距离问题 【例6.1.】 设正三角形的边长为，平面，，则到平面的距离为__________． 【例6.2.】 在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，，．若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为______． 【例6.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    【例6.4.】 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【例6.5.】 如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 【例6.6.】 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【例6.7.】 已知三棱柱的所有棱长均为，，则异面直线，间的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例6.8.】 圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是 A． B． C． D． 题型7：空间二面角 【例7.1.】 在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【例7.4.】 如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【例7.5.】 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例7.6.】 如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【例7.7.】 已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【例7.8.】 已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 题型8：折叠问题中的证明与计算 【例8.1.】 如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【例8.2.】 （多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【例8.3.】 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【例8.4.】 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【例8.5.】 在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题： (1)证明：； (2)当平面平面时，求二面角的正弦值； (3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成的角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围． 【例8.6.】 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 题型9：立体几何探索性问题 【例9.1.】 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【例9.2.】 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【例9.3.】 如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【例9.4.】 如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【例9.5.】 在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．    (1)证明：平面； (2)若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； (3)若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【例9.6.】 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【例9.7.】 如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【例9.8.】 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：平面； (2)已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； (3)在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 题型10：立体几何中的轨迹问题 【例10.1.】 已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例10.2.】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 【例10.3.】 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【例10.4.】 在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例10.5.】 在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【例10.6.】 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【例10.7.】 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【例10.8.】 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例10.9.】 如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【例10.10.】 已知四面体满足，它的体积为，其外接球球的表面积为，则点在球表面的轨迹长度为__________；线段长度的最小值为______. 题型11：立体几何中的交线与截面问题 【例11.1.】 已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【例11.2.】 已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【例11.3.】 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【例11.4.】 已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11.5.】 正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11.6.】 已知四棱锥的底面是边长为8的正方形，平面，且，E，F，M为，，的中点，则经过E，F，M的平面截四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【例11.7.】 已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11.8.】 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 【例11.9.】 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是__________. 【例11.10.】 （多选）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【例11.11.】 （多选）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【例11.12.】 互相垂直的两平面将球分隔为四个几何体，这四个几何体的体积之和为，表面积之和为，若球上的两点在的交线上，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【例11.13.】 已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【例11.14.】 （多选）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步章节重难点题型总结 目录 题型1：几何体表面最短路径 2 题型2：空间几何体的体积 10 题型3：几何体的“内切”与“外接”问题 24 题型4：直线、平面位置关系有关命题的判断 42 题型5：线线角与线面角 47 题型6：空间几何体中的距离问题 58 题型7：空间二面角 67 题型8：折叠问题中的证明与计算 78 题型9：立体几何探索性问题 90 题型10：立体几何中的轨迹问题 108 题型11：立体几何中的交线与截面问题 123 题型1：几何体表面最短路径 【例1.1.】 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为______；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______. 【答案】 12 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的展开图、圆台表面积的有关计算、求组合旋转体的表面积 【分析】根据题意得到旋转后的圆台后可求出其表面积，然后将圆台的展开、由平面图形得到最短路程. 【详解】如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，， 又∵，∴， ∴，设，则的弧长， 解得，连接，为等边三角形， ∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短路程为12. 故答案为：；12. 【例1.2.】 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径. 【详解】如图为半圆锥的侧面展开图， 连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长， 设展开图的扇形的圆心角为， 根据题意得， 在中，，所以， 所以扇形弧长为， 所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A 【例1.3.】 如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【例1.4.】 如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 【例1.5.】 如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将长方体的表面展开为平面图，将原问题转化为平面问题，利用两条直线之和共线时长度最小即可求解. 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面（如下图所示），将原问题转化为平面问题. 本题所求必在下图所示的图中，从而连接，为线段上的一个动点（不含端点）， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， 由可得， 则， 所以的最小值为. 【例1.6.】 在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.38 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、求点面距离 【详解】 当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，， 所以,所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，， 则， 所以， 所以的最小值为. 【例1.7.】 如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1)体积为312，表面积为 (2) 【难度】0.55 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、求组合多面体的表面积、求组合体的体积 【分析】（1）应用棱锥、棱柱的体积公式求几何体的体积，过点作，垂足为，再求出各侧面的面积后可求出表面积； （2）将侧面和侧面展开，从而确定最小值为展开图中三点共线时最小值，再根据已知、解三角形及三角恒等变换求出相关线段的长及最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以该几何体的体积为. 过点作，垂足为，则， 则正四棱锥的侧面积， 正四棱柱的侧面积， 正四棱柱的下底面的面积， 所以该几何体的表面积为. （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段的距离. 由题可知. 连接，则， 所以. 过点作于，则. 记， 则， ， 所以 ， 所以为锐角， 因为，故，故为锐角，所以为锐角， 故在上的投影在之间， 又， 所以. 即的最小值为. 题型2：空间几何体的体积 【例2.1.】 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 【例2.2.】 如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接， 因为正方形的中心，则，因，则易得. 又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形， 则得，故，于是，平面即过点的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为， 则. 【例2.3.】 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】正棱锥及其有关计算、正棱台及其有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 【例2.4.】 如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 【例2.5.】 如图，在四棱锥中，，，过AB的平面分别交PD，PC于点E，F，且，记四棱锥的体积为，几何体ABCDEF的体积为，则___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】由线面平行的判定可得面PCD，根据线面平行的性质有，进而可得，即有、、，连接BE，BD，根据相关棱锥的体积比与线段比关系求. 【详解】由，面，面，故面PCD， 又面面，面，则， 所以，则，又，可得， 如图，连接BE，BD，三棱锥P-ABE和三棱锥P-BEF的底面共面，即高相等， 所以它们体积的比值等于底面积的比值， 综上，，故. 三棱锥B-PAE和三棱锥B-DAE的底面共面，它们体积的比值等于底面积的比值， 由，则，故，所以. 三棱锥P-ABD和三棱锥P-BCD的底面共面，它们体积的比值等于底面积的比值， 所以，则， 设四棱锥P-ABCD的体积为V，则. 由，，则. 由，则， 所以，，即. 故答案为： 【例2.6.】 如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、柱体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】先根据面面垂直得出线面垂直，再应用三棱柱的体积公式结合三角函数值域计算求解. 【详解】取中点中点，，则， 由平面，平面平面，平面平面得平面， 由勾股定理知，可得， 设，可得， 同理，由知． 由勾股定理得， 于是三棱柱的体积， 记， 结合二次函数单调性可得，于是． 【例2.7.】 水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，，取的中点，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可． 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则． 取的中点，连接，因为，所以， 则， ． 因为，，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，所以平面，同理可证平面， 所以多面体的体积． 故选：D． 【例2.8.】 一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，上方的小四棱锥的高为___________．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、根据体积计算几何体的量 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则四边形的面积为，而三棱柱与平行六面体的高相同， 所以，    根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则， 易知，所以， 图甲中上方的小四棱锥高为,则， 又，所以上方的小四棱锥的高为. 故答案为：.      【例2.9.】 已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】先根据锥体的结构特征求正六棱锥的高，再求其外接球的半径，再求球心到平面的距离，最后结合锥体的体积公式求三棱锥体积的最大值即可. 【详解】由题意可得正六棱锥的高为， 设正六棱锥的外接球的球心到底面的距离为， 设外接球半径为，则， ， 解得， 设外接球的球心为，则即为正六边形的中心，连接， 过作交于，过作交于，    因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面，即为球心到平面的距离， 因为，， 所以在中由等面积法可得，解得， 因此点到平面的最大距离为， 因为，所以三棱锥体积的最大值为， 故选：B 【例2.10.】 (多选)在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（    ）． A．当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B．若，则三棱锥的体积为 C．若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D．若，则三棱锥的内切球半径为 【答案】BCD 【难度】0.42 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对A，表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B，由结合选项A求解判断；对C，由题可得，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D，由分割体积，运算得解. 【详解】对于A，由题可知，， 当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则， 将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球， 可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确； 对于D，若，设三棱锥的内切球半径为， 则， 所以， 解得，故D正确.    【例2.11.】 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积、证明面面垂直 【分析】把多面体分割为几个规则的柱体或锥体，利用面面垂直求高，分别计算各部分体积，将各部分体积相加得到多面体体积. 【详解】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，， 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故， 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故选：C. 题型3：几何体的“内切”与“外接”问题 【例3.1.】 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】先求底面三角形的外接圆半径，再根据外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半径，进而根据公式求球的表面积和体积. 【详解】如图： 因为，，所以. 设底面外接圆半径为，则. 设底面的外接圆圆心为，过作平面的垂线，在三棱柱的同侧取点，使得，则为三棱柱外接球的球心. 设三棱柱外接球的半径为，则. 所以球的表面积为：； 体积为：. 故答案为：； 【例3.2.】 在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据几何体的特征，确定球心的位置位于下底面与上底面的外接圆圆心的中点，进而求得球的半径满足，进而可得表面积. 【详解】 如图，过点作于点，连接， 因为，所以， 由平面几何知识可和， 又，故，所以， 所以. 设直四棱柱的下底面与上底面的外接圆圆心为， 则的中点为球心，且. 设球的半径为，因为，所以， 所以， 所以球的表面积. 故选：A 【例3.3.】 如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.47 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）利用直三棱柱体积公式将问题转化为求底面三角形面积的最大值，结合余弦定理和基本不等式求解； （2）利用直三棱柱外接球的球心位置性质，结合正弦定理求底面外接圆半径，再用勾股定理算出外接球半径，代入体积公式求解； （3）将平面和平面 沿展开到同一平面，利用两点之间线段最短结合勾股定理计算最小值. 【详解】（1）直三棱柱中，侧棱底面，高，. 三棱柱体积. 在中，由余弦定理， 即. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号. 因此，所以，即三棱柱体积的最大值是. （2）直三棱柱外接球直径满足，其中是底面的外接圆半径， 由正弦定理，代入，，得，即， 因此，得， 球体积. （3）将平面沿展开，与平面共面，的最小值为展开后线段的长度： 由，得，中； 由，得，又，故是等边三角形，； 展开后，故， 即的最小值是. 【例3.4.】 （多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 【例3.5.】 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、棱柱及其有关计算 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为.故选：B. 【例3.6.】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算 【详解】如图，由，是边长为2的正三角形， 可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心， 连接并延长，交于，则， 又，，可得平面，则， 因为，分别是，的中点，所以， 又，即，所以， 得平面，则，， 又三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 . 半径为，则球的体积为.故选：D. 【例3.7.】 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球的表面积. 【详解】由题意有：，所以， 又，所以， 所以（为外接圆半径），设外接圆的圆心为， 即，过点作平面，作的中垂线交于点，即， 所以点为三棱锥的球心，设外接球半径为， 所以， 所以此三棱锥外接球的表面积为, 故答案为：. 【例3.8.】 已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】用等体积法，将三棱锥的顶点转化到上，即求三棱锥体积的最大值，则有当到平面的距离最大，即平面时，体积最大，结合锥体体积公式与圆的表面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以三棱锥体积的最大值即三棱锥体积的最大值， 所以当到平面的距离最大，即平面时，体积最大， 设球的半径为，此时有，三棱锥的高， 则，解得， 则球的表面积． 故选：C. 【例3.9.】 已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，所以，在中，由正弦定理求得，所以球O的半径，再由球的体积公式求解即可. 【详解】如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接， 则平面，因为，所以，所以四边形为矩形， 所以，在中，， 由正弦定理得， 所以球O的半径， 所以， 故答案为：. 【例3.10.】 如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 【例3.11.】 已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】不妨设，则由题意知，，再分别取中点，中点，再说明，分别为三棱锥与三棱锥外接球球心即可求解. 【详解】不妨设，因为， 所以 因为在四边形， 所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，， 又，，平面， 所以， 又因为，所以 所以，如图，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 因为，，，所以 同理，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 所以 【例3.12.】 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、三元基本（均值）不等式 【分析】求出球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，利用勾股定理得出，，再化简体积，结合基本不等式求最值. 【详解】设球的半径为，正四棱锥的底面边长为，高为， 因为球的体积为，所以球的半径， 由勾股定理得，， 两式相减得，则， 所以正四棱锥的体积， 所以 ，等号成立时， 则该正四棱锥体积的最大值是. 故选：C． 【例3.13.】 在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【详解】取的中心，连接， 则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，过作，交于点， 设球的半径为，则，因为，， 所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设（），则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以；故选：D. 【例3.14.】 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、证明线面垂直 【分析】取的中点，的中点，连接，，可证平面，根据余弦定理可得，作于，可得平面，，，由，结合勾股定理可得，进而可得. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，， 则，，又，平面， 故平面. 由题意可知，，， ， 故， 作于，则，又，平面， 故平面， 故， 取球心，连接，则平面，设球的半径为， 由题意可得， 得，解得， 故，可得 故选：A 【例3.15.】 已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 【例3.16.】 已知如图所示的多面体的6个顶点都在球的球面上，与都是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，平面，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】找到球心及球心在平面上的投影，根据题干信息得到各边长，设出，利用半径列出方程，求出，进而求出半径，外接球表面积. 【详解】连接AC，BD交于点N，因为四边形ABCD为矩形，则点N为矩形ABCD的外接圆圆心， 连接，则平面ABCD， 取的中点分别为G，H，连接FG，EH， 平面，平面，平面平面， 所以,，可得， 因为，为等边三角形，则，， 且，平面，所以平面， 且平面，可得平面平面， 因为平面，且平面所以平面， 设，所以到平面，的距离为， 设，则，设外接球的半径为， 因为，则， 即，解得:， 所以， 所以球O的表面积为. 故选：B 【例3.17.】 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.54 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 题型4：直线、平面位置关系有关命题的判断 【例4.1.】 下列命题正确的是（   ） A．若两个平面，有一个公共点，则 B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】应用平面基本性质判断A，应用线面角得出直线关系判断B，应用直线与平面位置关系判断C，结合两条直线位置关系判断D. 【详解】对A选项，因为两个平面，有一个公共点，所以两个平面必有一条交线，所以A选项错误； 对B选项，若圆锥的顶点在某平面内，且该圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直该平面， 则该圆锥的母线与平面所成角都相等，所以B选项错误； 对C选项，因为点在平面外，所以过该点的直线与这个平面只能相交或平行， 所以C选项正确； 对D选项，在如图所示的正方体中，与为一对异面直线， 显然，均与两异面直线相交，而，为共面直线，故D选项错误． 故选：C． 【例4.2.】 （多选）对两条不相交的空间直线与，必存在平面，使得（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面垂直证明线线平行 【分析】两条不相交的空间直线与，可能平行或异面.结合直线与平面位置关系的定义及直线与平面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】两条不相交的空间直线与，可能平行或异面. 若存在平面，使得，，则只能平行. 所以当异面时，不一定存在平面，使得，.所以A不正确； 当异面时，过上一点可作的平行线，由确定平面，此时，所以； 当平行时，作只经过，不经过的平面，则由线面平行的判定定理可知.所以B正确； 若存在平面，使得，，则只能平行， 所以当异面时，不存在平面，使得，.所以C不正确； 当异面时，过空间中不在上的一点分别作的平行线，记为，则确定平面，，根据线面平行的判定定理，得，； 当平行时，过空间中不在上的一点作的平行线，作经过，但不经过的平面，由线面平行的判定定理可得，.所以D正确. 故选：BD. 【例4.3.】 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【难度】0.67 【知识点】判断面面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 【例4.4.】 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】逐一利用线面垂直、线面平行的定义与性质，排除存在反例的错误选项，再根据线面垂直的性质定理验证选项D. 【详解】选项A：若，，则，选项A错误，有可能在平面内； 选项B：若，，则，选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系可以是平行、相交或异面； 选项C：若，，则，选项C错误，的位置不确定，它可以平行于、在内，或与斜交，不一定垂直于； 选项D：若，，则，选项D正确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线. 故选：D 【例4.5.】 已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则与必然无交点 B．若，则与必然无交点 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】举反例可说明选项ABC中的命题为假命题，由线面平行的判定定理可说明D为真命题. 【详解】对于A，当且仅当时无交点，但当不与垂直时，显然两者不平行，即与必然有交点；当时，还可能在内，故A错误. 对于B，当时，显然，但此时与有无数个交点，故B错误. 对于C，若，由知应有，而选项未有该条件，即当不与垂直时，由推不出，故C错误. 对于D，由知，由得，故D正确. 故选：D. 【例4.6.】 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、线面平行的性质、判断线面是否垂直、判断面面平行 【分析】选项：根据线面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线线平行的判定定理即可判断； 选项：根据面面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线面平行的性质定理即可判断； 【详解】选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 【例4.7.】 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于ABC，由特例法即可判断；对于D，由线面平行的判定定理、性质定理即可得证. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或，又，则或相交，故C错误； 对于D，因为l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，，， 所以， 所以，同理可证， 又，， 所以， 又因为，所以，故D正确. 故选：D. 题型5：线线角与线面角 【例5.1.】 在平行四边形中，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、面面垂直证线面垂直 【分析】根据题意，利用面面垂直的性质，证得所以平面，把折叠后的三棱锥放置在一个长方体中，连接，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】设，因为，所以， 在中，因为， 由余弦定理可得，所以， 则满足，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为在平行四边形中，可得所以， 把折叠后的三棱锥放置在一个长方体中，如图所示， 连接，在长方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 因为， 在直角中，， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【例5.2.】 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（   ） A．60° B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、空间垂直的转化 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出可得,根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、，   矩形中，， ，可得，因此； 正三棱柱中，平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，可得. ，平面， 平面，又平面， 所以，即与所成角的大小为， 故选：C． 【例5.3.】 正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角、求异面直线所成的角 【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值. 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又，，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 【例5.4.】 如图，在直三棱柱中，，，，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）要证明线面平行，可通过构造线线平行，利用直线与平面平行的判定定理来证明； （2）求异面直线所成角，可通过平移其中一条直线，使其与另一条直线相交，得到异面直线所成角的平面角，再利用解三角形的知识求解. 【详解】（1） 连接 ，设 与 的交点为 在直三棱柱中，侧面 为矩形，故 是 的中点。 又 是的中点，因此是的中位线，即 因为平面，平面，所以平面 （2）由（1）知 ，故直线 与所成的角等于 与 所成的角（或其补角） 只需在平面图形中求的余弦值. 直三棱柱底面 中，，为中点，故 （直角三角形斜边中线性质） 是 的中位线，，故 侧面 为矩形，是中点 在 中，故 则 在中，由余弦定理： 故直线 与直线所成角的余弦值为. 【例5.5.】 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是____________． （1）； （2）平面； （3）与平面所成的角等于与平面所成的角； （4）与所成的角等于与所成的角． 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明面即可判断（1）；由线面平行的判定定理可判断（2）；由线面角的定义求出两个线面角即可判断（3）；根据异面直线所成的角可判断（4）． 【详解】对于（1）：因为底面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，故（1）正确； 对于（2）：因为底面是正方形，所以，因为平面，平面， 由线面平行的判定定理可得平面，故（2）正确； 对于（3）：设，连接，因为平面，平面， 所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，， 因为，，且，所以 ， 可得，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，故（3）正确； 对于（4）：因为，所以即为与所成的角，即为与所成的角， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以，因为， 所以，所以， 所以与所成的角不等于与所成的角，故（4）不正确； 故答案为：①②③ 【例5.6.】 如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH，首先证明四边形AGFH为平行四边形，进而有，再由线面平行的判定证明结论； （2）取AB的中点M，过M作，先证明四边形MNEC为平行四边形，则，再由线面垂直的判定证明平面，进而结合线面角的定义得是与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. （2）取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 【例5.7.】 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.6 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 【例5.8.】 如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、求线面角 【分析】利用辅助平行平面来确定点所在的直线，然后借助正方体的性质，即可得正切值与边的关系，从而可得取值范围. 【详解】 取线段的中点分别为，连接， 由中位线可得，所以四点四点共面， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 因为点为四边形及其内部的动点，所以当，即平面， 所以此时有平面， 由正方体的性质可知平面，所以与平面所成角就是， 又因为，设正方体的边长为2，则， 此时，所以， 故选：D. 【例5.9.】 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【难度】0.42 【知识点】求线面角 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 题型6：空间几何体中的距离问题 【例6.1.】 设正三角形的边长为，平面，，则到平面的距离为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性质定理，结合三棱锥体积的等积性进行求解即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，，则， 因为平面，平面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，平面， 所以平面平面，. 在平面内过作，垂足为，则平面． 由， 则， 由勾股定理可得：， ， 所以． 故答案为： 【例6.2.】 在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，，．若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求点面距离 【分析】根据条件，将三棱锥还原成长方体，则该长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，根据长度，求出外接球的半径，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理及同角三角函数的关系，求出的值，根据正弦定理，求出的外接圆半径r，分析求解，即可得答案. 【详解】如图，因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球，即为长方体的外接球， 因为，，， 所以长方体的体对角线， 所以长方体外接球半径即三棱锥的外接球半径为， 又，，， 在中，由余弦定理，，则， 由正弦定理，可得的外接圆半径为， 所以球心到平面ABC的距离为， 所以点M到平面ABC距离的最大值为． 故答案为： 【例6.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】根据面面平行的性质定理及线面平行的判定定理，可证平面，即点B到平面的距离即为直线到平面的距离，求得各个长度，根据等体积法，即可求得答案. 【详解】因为正方体， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 连接，取中点F，连接EF，如图所示，    则，， ， 所以， 所以， ， 设B到平面的距离为h， 因为， 所以， 即，解得， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 【例6.4.】 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】组合体截面的形状、求面面距离 【分析】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【详解】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B 【例6.5.】 如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求面面距离、证明面面垂直 【分析】根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离. 【详解】如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 是等边三角形，是等腰直角三角形，， ，， 又，，平面， 所以平面， ∵，， 又， ，平面，∴平面， 所以四点共面，平面， 又平面，平面， 平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面， 又平面，平面，， 又平面平面，且平面平面，平面平面， ， 则作出平面如图所示， 设，则，， 又，，， ，，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离，. 故答案为：. 【例6.6.】 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 【例6.7.】 已知三棱柱的所有棱长均为，，则异面直线，间的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求异面直线的距离 【分析】将异面直线距离问题转换为两平行平面的距离问题，构造并证明，再由距离的定义求出最大值. 【详解】 线段中点为，连接，，连接. 三棱柱的所有棱长均为，所以四边形是菱形，故. 因为，，平面，且与相交于点，所以平面. 因为平面，所以. 因为是等边中边上的中线，所以. 又因为平面，且与相交于点，所以平面. 因为平面，所以.即. 由勾股定理得，. 平面，平面，且平面平面，所以异面直线与的距离，即平面与平面的距离.设该距离为. 过作平面，垂足为，故. 所以异面直线与的距离最大值为. 故选：C 【例6.8.】 圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可. 详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图： ，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选C 题型7：空间二面角 【例7.1.】 在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱锥表面积的有关计算、求二面角 【分析】作平面于点，连接，取的中点，连接，证明即侧面与底面所成的二面角，设，利用条件推得和，借助于，由即可求得答案. 【详解】如图，作平面于点，连接，取的中点，连接， 在正四棱锥中，易得，又因，可得， 则即侧面与底面所成的二面角的平面角. 设，则， 依题意，的面积为， 的面积为，即得， 在中，. 故选：B. 【例7.2.】 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 【例7.3.】 在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 【例7.4.】 如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.52 【知识点】证明线面平行、求线面角、求二面角 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 【例7.5.】 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.35 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 【例7.6.】 如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角、求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】先证明线面角的最小性，再根据题设条件计算出与平面所成角的正切值，故可得正确的选项. 【详解】先证明一个结论：如图，直线为平面的一条斜线，为斜足，与平面所成的角为，则平面内的直线与直线所成角的最小值为.    证明：对于平面内的任意一条直线，如果其不过点，则可以平移该直线至点， 此时直线与直线所成角即为平移后的直线与直线所成的角. 设平移后的直线为直线（如图），过作的垂线，垂足为， 在平面内的射影为，连接，则， 而直线与直线所成的角即为，其中，. 因为， 故，当且仅当与重合时等号成立， 所以平面内的直线与直线所成角的最小值为. 回到原题， 如图，设，取上一点，过作，垂足为， 垂足为，连接， 因为，，故，而，， 平面，故平面， 而平面，故，故为平面的平面角的补角， 故. 不妨令，则. 又，所以，所以， 所以. 因为，故与平面所成的角为， 由前述所证结论可得，直线所成角的最小值为，其正切值为. 故选：B.    【例7.7.】 已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角、二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】过作，垂足为，先根据二面角的定义作出二面角的平面角，再由最小角定理分析出当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值，分别求出的值，即可求出. 【详解】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，，. ，，平面. 平面，， 就是二面角的平面角，. ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中，，. 由勾股定理可得. 又，，. 在中，. 【例7.8.】 已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先证点到平面的距离为定值，再说明当为等边三角形时，面积最大，再求此时二面角的余弦值. 【详解】如图： 过作平面，垂足为，过作于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，，所以平面. 平面，所以. 因为，所以. 类似地，可证. 在中，，，， 所以，. 在中，，，所以，. 所以. 即点到平面的距离为. 在中，. 由余弦定理，得，所以， 所以，当且仅当即为等边三角形时取等号， 此时三棱锥的体积最大. 此时，看底面，如下图： 过作，交延长线于. 因为，，，所以. 设二面角为，则， 所以. 故答案为： 题型8：折叠问题中的证明与计算 【例8.1.】 如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 【例8.2.】 （多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明面面平行、判断几何体是否为棱台 【分析】求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；利用三棱台定义判断选项C；求得直线与平面所成的角判断选项D. 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，所以，A正确. 对于B，因为，平面，平面， 则平面， 又，平面，平面， 则平面， 又，平面，所以平面平面，B正确. 对于C，因为，，则， 所以多面体不是三棱台，C错误. 对于D，延长，相交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则为直线与平面所成的角. 因为，所以， 解得，，， 则，D正确.    故选：ABD 【例8.3.】 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.44 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、求二面角 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 【例8.4.】 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】(1)①证明见解析 ；②； (2). 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、锥体体积的有关计算、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【详解】（1）①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，平面平面； ②取的中点，连接， 由①可知平面，平面，则， 由是边的中点，，， ，为中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. （2）过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令，     ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 【例8.5.】 在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题： (1)证明：； (2)当平面平面时，求二面角的正弦值； (3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成的角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、证明线面垂直、辅助角公式 【分析】（1）在图1中，借助余弦定理证得，利用线面垂直的判定推理得证. （2）取的中点，作出二面角的平面角，利用几何法求出面面的正弦. （3）在线段上取点，使得，利用异面直线所成角的意义可得，进而求出范围. 【详解】（1）在直角梯形中，，，则， 在中，，， 则，即，由，点是的中点，得， 由点是的中点，得，则，而，平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而平面，则，取的中点，连结， 由，得，而， 则，又平面， 因此平面，又平面， 则，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以二面角的正弦值为. （3）在线段上取点，使得， 则，，，， 由平面，平面，得，因此， 于是， 则， 所以的取值范围是. 【例8.6.】 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【难度】0.23 【知识点】求点面距离、证明线面平行、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M，可得二面角的平面角和二面角的平面角分别为和，由可得，根据几何关系证明为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可证明结论； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心，过作交于点，设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球且面，结合长度关系即可求解； （ii）由题可得面且，得到，利用化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 题型9：立体几何探索性问题 【例9.1.】 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 【例9.2.】 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【难度】0.6 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 【例9.3.】 如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、求线面角、补全线面垂直的条件 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 【例9.4.】 如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】补全面面垂直的条件、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 【例9.5.】 在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．    (1)证明：平面； (2)若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； (3)若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明面面垂直、证明线面平行、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用余弦定理，结合题意求出，然后找角：方法1，作于，连接，则在平面的射影为，利用已知条件证明，，则为二面角的平面角； 方法2： 取中点为，连，，则，，则为二面角的平面角，然后求出二面角的余弦值即可； （3）先证明平面平面，过作于，利用已知条件确定点的位置，结合已知所给条件画出平面图分析求出即可. 【详解】（1）由题意知，又平面，平面 所以平面 （2）在中，由余弦定理 ，， ， 在翻折过程中，， 为二面角的平面角 平面平面， ， 又，且，平面， 平面 为中点， 法1：作于，连接 则在平面的射影为 平面， 且，平面， 平面 ，平面，， 为二面角的平面角，设 法2：，， 取中点为，连，，则， 为二面角的平面角，设 ，， 又，， ，， 二面角的余弦值为 （3）， ，平面，， 平面 平面， 平面平面 过作于，   平面平面，平面， 平面 平面， 当且仅当，显然，在线段延长线上 如图，作于    则和都是等腰直角三角形 为中点， 设，则， ， 即，，故存在，使得 其中，在平面上射影为 在延长线上，且 【例9.6.】 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时， 【难度】0.56 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解． 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 【例9.7.】 如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，余弦值的取值范围为 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）题中垂直条件较多，利用线线垂直证明线面垂直，从而证明线线垂直，进而找到平面中的两直线与直线垂直；（2）要求三棱锥的体积，由于已知的长度，那么只要求出的面积；条件中提到二面角的余弦值，因此先找出二面角的平面角，再考虑该平面角与可通过联系；（3）先利用球的任意截面都是圆的性质找出的位置，再构造二面角的平面角，利用函数求取值范围 【详解】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以 因为平面，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 （2）同（1），可证得平面，则 由（1）的过程可知，平面，所以， 所以是二面角的平面角，则 在四边形中，，所以 所以，解得 因为平面，所以， 因为，所以 所以，可得，故 所以是等边三角形，其面积为 所以三棱锥的体积为 （3） 因为是直角三角形，所以其外心在其斜边的中点，设线段中点为 过作直线使得平面，则直线上的任意点到，，的距离相等； 同理，是直角三角形，设斜边的中点为 过作直线使得平面，则直线上的任一点到，，的距离相等； 因此，与的交点距离，，，，的距离相等 因为平面，所以，故在的中位线上 所以与相交于点，即与重合 即 设线段中点为，线段中点为，连接，， 中，，因此 过作，与延长线交于，因为，所以 又因为（中位线），所以 因此，是二面角的平面角 设， 则，，，，（中位线） 由射影定理得，，则 由（1）可知，，由勾股定理得，，则，由垂径定理得， 在中，由余弦定理得，，代入化简得， 设，，函数在上单调递减 ，，而 故，即二面角余弦值的取值范围为 【例9.8.】 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：平面； (2)已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； (3)在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)是，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面平行、空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）取中点，连接，先证明四边形是平行四边形，得出.，进而根据线面平行的判定定理，即可得出结论； （2）过作于，连接，可证为二面角的平面角，求解即可； （3）根据已知分别求出，判断是否成立，结合平面的基本性质可得结论. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为的中点，所以且.， 因为底面四边形是矩形，为棱的中点，所以且． 所以且，故四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）过作于，连接， 平面平面，平面平面，平面， 因为，所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角或其补角， 设，由余弦定理得， 又， 所以，所以， 所以， 所以， 因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为， 所以，平方得， 所以，整理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． （3） 因为是正三角形，，则，， 所以，，，由（2）知，则， 在中， 在中， 而， 综上，，又都在平面内，则三点共线， 由平面，即平面，，则平面， 又平面，而，则平面. 题型10：立体几何中的轨迹问题 【例10.1.】 已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设外接球的半径为，根据题意，求得，点到平面的距离为，得到 所以点在平行于平面的平面上，再求得外接球的球心到平面的距离为，得到点的轨迹为以为半径的圆，结合圆的周长公式，即可求解. 【详解】如图所示，设外接球的半径为，则由外接球的体积为，解得， 因为，所以，所以， 所以，设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上， 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为，即， 所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得, 所以点的轨迹为以为半径的圆， 所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 【例10.2.】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】先构造与垂直的平面，利用面面平行，得到平面，进而确定交线，最后再应用余弦定理计算即可. 【详解】先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点，，连接，，.    因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以. 因为在中，，为的中点，所以.又，所以平面. 进一步.取，，的中点，，，连接，，，，易证平面平面. 故平面， 记，又是内的动点， 根据平面的基本性质得：点的轨迹为平面与平面的交线段， 在中，，，， 由余弦定理得:.故. 故选:B. 【例10.3.】 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、证明线面平行 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 【例10.4.】 在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、定点到圆上点的最值（范围）、空间垂直的转化 【分析】先确定点所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合点与截面圆的位置关系求出的最大值. 【详解】如图，连接AC，由，得，    由可知点在以AC的中点为球心，为半径的球面上． 而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点. 取CD的中点E，AB的中点的中点，连接， 则由长方体的性质得平面且三角形为直角三角形， 而平面，所以平面平面EFG， 作于，因平面平面， 平面，故平面，故为截面圆的圆心. 又， 故截面圆的半径为， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上， 故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为． 故选：D． 【例10.5.】 在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，根据外接球半径求出正三棱柱的高，取的中点，连接，证明出面面平行，从而当在线段上时，平面，故平面，故点Q运动轨迹的长度为的长，求出. 【详解】设正三棱柱的外接球半径为， 则，解得， 设的中点分别为，连接， 在上分别取，使得， 故分别为等边三角形和等边三角形的中心， 连接，则的中点即为正三棱柱的外接球球心， 即，设正三棱柱的高为，则，， 因为，所以，， 则，解得， 因为P为的中点，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 取的中点，连接，则，同理可证平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，平面，故平面， 故点Q运动轨迹的长度为的长，.    故选：A 【例10.6.】 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 【例10.7.】 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接，    因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示，    当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示，      易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 【例10.8.】 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】取的中点，连接、、，根据题意判断平面平面，得出是点在底面内的轨迹，计算的值即可． 【详解】取的中点，连接、、，如图所示： 由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面， 又且，于是为平行四边形，则， 平面，平面，则平面，又，平面， 因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面， 又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面， 于是是点在底面内的轨迹， 又正方体的棱长为，则， 所以点的轨迹长度为. 故选：B 【例10.9.】 如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由线面角的大小求值 【分析】过作平面，为等边的中心，由等体积发可得，则与平面所成角为，所以，的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 【详解】过作平面，因为， 所以是边长为2的等边三角形，易知为的中心， 由，则， 则，与平面所成角为， 因为与平面所成角的正切值为，所以， 解得，所以的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 根据，可知四边形是菱形，且， 根据对称性可知：所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故的轨迹长为． 故选：C 【例10.10.】 已知四面体满足，它的体积为，其外接球球的表面积为，则点在球表面的轨迹长度为__________；线段长度的最小值为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题、柱、锥、台体的轴截面 【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径，再根据勾股定理求出球心到平面的距离，再由锥体体积求出点A到平面的距离，直观想象可得点A在球表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点A在圆上运动，到定点的距离最值转化为圆台母线最短求解即可. 【详解】设外接球半径为， 因为外接球的表面积为，则，解得， 设的中心为，则， 如图过点作球的轴截面， 则， 设点A到平面的距离为， ，解得. 则由题意知，点A在以为半径的球面上，且距离平面为的平面内， 则点A在球表面的轨迹为圆，设圆心为，且 则， 即圆的半径为， 所以点A在球表面的轨迹长度为； 由题意可看作点A在圆台底面圆周上运动， 则当为圆台母线时，最小， 即当四点共面时，取最小值， 如图，. 故答案为：；. 题型11：立体几何中的交线与截面问题 【例11.1.】 已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 【例11.2.】 已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 【例11.3.】 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 【例11.4.】 已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】分情况讨论，作出截面，结合截面形状可得的范围. 【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 【例11.5.】 正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥中截面的有关计算 【分析】画出图形，求出，说明是矩形，结合图形，说明点在平面时，面积最小，求出即可得到范围 【详解】如图所示： 由正三棱锥的底面边长是2， 因为、、、分别是、、、的中点， 所以， 则， 所以是平行四边形 因为正三棱锥， 则对棱，的中点连线与 对棱，的中点连线相等， 即，所以四边形是矩形， 所以， 设的中心为， 则， 所以的面积 所以四边形EFGH面积的取值范围是： 故选：B． 【例11.6.】 已知四棱锥的底面是边长为8的正方形，平面，且，E，F，M为，，的中点，则经过E，F，M的平面截四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】取中点，的四等分点，顺次连接、、、、，则平面就是经过，，的平面截四棱锥所得截面，由此能求出经过，，的平面截四棱锥所得截面的面积． 【详解】解：取中点，的四等分点，顺次连接、、、、，设MG交BD于N，连接交EF于J，则N也为BD的四等分点， ∵INPB，MEPB，则MEIN，同理GFIN，则、、、、共面， 则平面就是经过，，的平面截四棱锥所得截面， 四棱锥的底面是边长为8的正方形，，，，为，，的中点， ， ，，且是矩形， ，, 经过，，的平面截四棱锥所得截面的面积为： ． 故选：B． 【例11.7.】 已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 【例11.8.】 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.51 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算求解截面圆的直径即可. 【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切， 因为正方形的面积为12，所以， 如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为， 平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径， 易知， 易知， 故，所以， 所以截面圆周长为. 【例11.9.】 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、台体体积的有关计算、棱台中截面的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作， 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，. 取，的中点，，连接，，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面. 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为. 故答案为:. 【例11.10.】 （多选）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【难度】0.5 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 【例11.11.】 （多选）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 【例11.12.】 互相垂直的两平面将球分隔为四个几何体，这四个几何体的体积之和为，表面积之和为，若球上的两点在的交线上，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径为，根据体积解得，两个截面圆面积之和的二倍为，互相垂直，设球心到平面的距离分别为，求出，设的中点为，求出，得到答案. 【详解】设球的半径为，则，解得， 故外接球的表面积为，又四个几何体的表面积之和为， 所以两个截面圆面积之和的二倍为， 互相垂直，设球心到平面的距离分别为， 故两个截面圆面积之和的二倍为， 解得，即， 设的中点为，由对称性可知，四点共面，且四边形为矩形， 故，则， 则的长为. 故选：B 【例11.13.】 已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.54 【知识点】正棱柱及其有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外接球的球心位置，再计算球心到的距离. 因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径,即可求得答案. 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 【例11.14.】 （多选）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行 【分析】设中点为，易证四边形为平行四边形，可得，根据线面平面的判定即可证明平面确定A；由题可得为直角三角形，为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径，利用球的表面积公式即可判断B；利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C；易知六面体与七面体无公共部分即可判断D. 【详解】设中点为，又为中点，所以，且， 又为中点，所以，且， 即，且，则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 根据题意，易得 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，所以为直角三角形， 为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径， 则球的表面积为，故B错误； 设分别为的中点，平面截球的截面半径为， 易得平面，则， 所以球与上底面的交线如图，，， ，则为等边三角形， 所以，则，由对称性与底面的交线长也为， 因为分别为的中点，所以， 又平面，所以平面， 设平面截球的截面半径为，， 所以球与面的交线如图，，， ，所以， ，根据对称性可知与面的交线长也为， 易知与面无交线， 所以球表面与三棱柱表面的交线长度之和为，故C正确； 根据图像六面体与七面体无公共部分，故D错误； 故选：AC. 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