专题：几何法求空间角 课后训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 练习以“几何法求空间角”为核心，分三个题组（3:2:5题量配比），梯度从基础概念辨析到综合应用，强化空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|异面直线所成角（概念判断、简单计算）|多选判断平行与异面关系，基础填空求正切值，夯实空间观念| |题组二|线面角（证明与计算结合）|以阳马模型为载体，设置线面平行、面面垂直证明及线面角计算，培养推理能力| |题组三|二面角（综合应用）|含翻折问题、体积关联二面角求解，选择判断二面角大小，深化模型意识与综合思维|

课后训—几何法求空间角- 日期：2026. 时长：50-60分钟/次 【题组一 异面直线所成角】 （中位线平移法） 1．（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． （平行四边形平移法） 2．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，，， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. （补形后平移） 3．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体. 如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． ， ， ， ， 在中，由余弦定理可得，， 则直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为：. 【题组二 线面角】 （直接：垂线法） 4．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. (1)证明： 平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则 ，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由 ，可得，，再利用面面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 由分别为的中点， 所以 且， 又因为 且，所以 且， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面，所以 平面. （2）因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为 ，，所以，， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以 ， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. （间接：等体积法） 5．如图，四棱锥中，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，即可证明；方法二：取的中点，连接，通过证明平面平面，从而证明平面； （2）方法一：利用等体积法求出点到平面的距离，与平面所成角的正弦值即为；方法二：以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】（1）方法一：取中点，连接， 则，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面 所以平面． 方法二：取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）方法一：设点到平面的距离为， 因为点为中点，所以点到平面的距离为， ， ， 又， 所以，即， 解得， 易得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则，， 所以， 设与平面所成角的大小为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 【题组三 二面角】 （定义法） 6．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】 如图，取中点，连接， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故答案为：. （三垂线法） 7．在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. （射影面积法） 8．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过作于，利用面面垂直的判定性质，结合点到平面距离的意义求解. （3）由（2）中信息，确定两个平面的夹角，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. （垂面法） 9．从空间一点P向二面角α﹣L﹣β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF=30°，则二面角α﹣L﹣β的平面角的大小是 A．30° B．150° C．30°或150° D．不确定 【答案】C 【详解】试题分析：首先，确定∠EPF就是两个平面α和β的法向量的夹角，然后，利用二面角的平面角和法向量的夹角直接的关系确定即可． 解：∠EPF就是两个平面α和β的法向量的夹角， 它与二面角的平面角相等或互补， ∵∠EPF=30°， ∴二面角α﹣l﹣β的大小为30°或150°． 如图：图一是互补情况，图二，是相等情况． 故选C． 考点：二面角的平面角及求法． 10．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______． 【答案】 【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为. 【详解】∵，又点为的中点， ∴， ∵垂直平分，，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥， ∵⊥平面，平面 ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥，⊥， 故是平面与平面的二面角， 设，则，故， ∵⊥， ∴， 故， 故， ∴. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $课后训一专题：几何法求空间角- 日期：2026 时长：50-60分钟/次 【题组一异面直线所成角】 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，则下 列结论正确的是() A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线MN与AC所成的角为60° D.M,N,B,A1四点共面 D M B 2.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的正三角形，点C,D是底面弧AB的两个三等分点，则异面 直线SC与BD所成角的正切值为 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=3,∠ACB=90,点D是线段AA1 上靠近A1的三等分点，则直线C1D与B:C所成角的余弦值为 D B 第1页 【题组二线面角】 4.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖懦”，这里 所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥P一ABCD为阳马， PA1底面ABCD,AB=V2,PA=AD=1,E,F分别为AB,PC的中点 (I)证明：EF‖平面PAD; (2)证明：平面BEF⊥平面PCD; (3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小 D D E B 第2页 5.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB//CD,PA=AB=AD=2CD=2, ∠ADC=90°，点E为PB的中点. (1)求证：CE//平面PAD: (2)求CE与平面PAC所成角的正弦值. D 【题组三二面角】 6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E-DB-C的正弦值 为 D C B D 第3页 7.在四面体P-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,PA⊥底面ABC,M、N、Q分别是 PB、PA、BN的中点，点E在线段PC上，且PE=3EC. (1)求证：EQ//平面ABC: (2)若三棱锥P一ABC的体积为5，求平面MAC与平面ACB的夹角的大小. 第4页 8.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将△ABD沿BD翻折至△ABD, 使得平面ABD与平面CBD垂直. (I)证明：AC⊥BD: (2)求点D到平面ABC的距离： (3)求平面ABC与平面DBC的夹角的余弦值. A D: B 第5页 9.从空间一点P向二面角a-L-B的两个面a,B分别作垂线PE,P℉，E、F为垂足，若∠EPF-30°， 则二面角@-L-的平面角的大小是() A.30° B.150° C.30°或150° D.不确定 10.如图在三棱锥S-ABC中，SAL底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于 D、E,又SA=AB,BS=BC,则以BD为棱，平面BDE与平面BDC的二面角的大小为· S E D. 第6页