8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.已知直线l⊥平面α，则过l且与α垂直的平面（　　） A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 2.在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（　　） A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ACD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADB 3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（　　） A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定 4.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且满足l⊥α，m⊂β，则“l∥m”是“α⊥β”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为（　　） A. B. C. D. 6.若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ，则θ（　　） A.一定是锐角 B.一定是钝角 C.可能是直角 D.可能是锐角或钝角，但不是直角 7.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，将△ABC沿AD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为（　　） 　 A.30° B.45° C.60° D.90° 8.（多选）如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°.下列结论中，正确的有（　　） A.平面VAC⊥平面ABC B.平面VAB⊥平面ABC C.平面VAC⊥平面VBC D.平面VAB⊥平面VBC 9.（多选）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，得到四棱锥P－EBCD，则（　　） A.平面PED⊥平面EBCD　 B.PC⊥ED C.二面角P－DC－B的大小为 D.直线PC与平面PED所成的角的正切值为 10.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论中，正确的有（　　） A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1－D1PC的体积为定值 D.∠APD1的取值范围是 二、填空题 11.已知两个不重合的平面α，β，若直线l⊂α，则当 时，可得到α⊥β. 12.在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是 . 13.如图所示，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 . 三、解答题 14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点. 证明： （1）直线A1B1∥平面ABD； （2）平面ABD⊥平面BCC1B1. 15.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上. （1）证明：平面DBC'⊥平面ADC'； （2）求二面角C'－AD－B的余弦值. 16.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且PE⊥EB，得到四棱锥P－BCDE，已知M为棱PB的中点，N为棱BC上的动点（与点B，C不重合）. （1）证明：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 参 考 答 案 一、选择题 1.已知直线l⊥平面α，则过l且与α垂直的平面（　C　） A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 解析： 由面面垂直的判定定理知，任何过l的平面都垂直于平面α，∴这样的平面有无数个. 2.在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（　B　） A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ACD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADB 解析： 如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ADC，∴平面ACD⊥平面BCD. 3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（　B　） A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定 解析： 如图所示，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°. 4.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且满足l⊥α，m⊂β，则“l∥m”是“α⊥β”的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 当l∥m时，结合l⊥α，可得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；当α⊥β，l⊥α，m⊂β时，l与m不一定平行，∴“l∥m”是“α⊥β”的充分不必要条件. 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为（　C　） A. B. C. D. 解析： 如图所示，连接AC，与BD交于点O，连接A1O.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝＝，即二面角A1－BD－A的正切值为. 6.若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ，则θ（　B　） A.一定是锐角 B.一定是钝角 C.可能是直角 D.可能是锐角或钝角，但不是直角 解析： 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，连接AC，作AE垂直于SB，垂足为E，连接CE，易知CE⊥SB，则∠AEC为二面角A－SB－C的平面角θ.由题得AE＜AB，CE＜CB.在正方形ABCD中，由勾股定理得AC2＝AB2＋CB2，∴AC2＞AE2＋CE2.在△AEC中，由余弦定理得cosθ＝cos∠AEC＝＜0，∴θ∈，则θ一定是钝角. 7.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，将△ABC沿AD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为（　C　） 　 A.30° B.45° C.60° D.90° 解析： 已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°. 8.（多选）如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°.下列结论中，正确的有（　ABD　） A.平面VAC⊥平面ABC B.平面VAB⊥平面ABC C.平面VAC⊥平面VBC D.平面VAB⊥平面VBC 解析： ∵VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA⊂平面VAB，VA⊂平面VAC， ∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC⊂平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，D正确. 9.（多选）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，得到四棱锥P－EBCD，则（　AC　） A.平面PED⊥平面EBCD　 B.PC⊥ED C.二面角P－DC－B的大小为 D.直线PC与平面PED所成的角的正切值为 解析： ∵PD＝AD＝＝＝2，∴在△PDC中，可得PD2＋CD2＝PC2，∴PD⊥CD.又CD⊥DE，PD∩DE＝D，∴CD⊥平面PED，又CD⊂平面EBCD，∴平面PED⊥平面EBCD，A正确；假设PC⊥ED，则由ED⊥CD，PC∩CD＝C，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA，不符合题意，假设不成立，B错误；易知二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，根据题意知∠PDE＝∠ADE＝，C正确；由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝＝，D错误. 10.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论中，正确的有（　ABC　） A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1－D1PC的体积为定值 D.∠APD1的取值范围是 解析： 连接PB1，∵CB⊥平面BB1P，CB⊂平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，A正确；连接DC1，CD1，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，B正确；连接CD1，C1P，三棱锥C1－D1PC的体积等于三棱锥P－C1D1C的体积，底面积S△C1D1C为定值，高BC为定值，因此体积为定值，C正确；连接AD1，取P为A1B的中点时，不妨设AP＝1，则AD1＝2，PD1＝＝，可得AP2＋P＝A，∴∠APD1＝，D错误. 二、填空题 11.已知两个不重合的平面α，β，若直线l⊂α，则当　l⊥β　时，可得到α⊥β. 解析： 由面面垂直的判定定理知，两个不重合的平面α，β，若直线l⊂α，则当l⊥β时，可得到α⊥β. 12.在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是　垂直　. 解析： ∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上， 又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC. 13.如图所示，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是　　. 解析： 如图所示，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ， 由图得sin θ＝＝·＝sin 30°×sin 60°＝. 三、解答题 14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点. 证明： （1）直线A1B1∥平面ABD； 证明：（1）由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB， ∵A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD， ∴直线A1B1∥平面ABD. （2）平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明：（2）∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1.又AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BCC1B1. 又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1. 15.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上. （1）证明：平面DBC'⊥平面ADC'； （1）证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上，即OB为BC'在平面ABD上的射影，而AB⊥AD，∴BC'⊥AD， ∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D，∴BC'⊥平面ADC'，又BC'⊂平面DBC'， ∴平面DBC'⊥平面ADC'. （2）求二面角C'－AD－B的余弦值. （2）解：由（1）知，BC'⊥AC'，在Rt△AC'B中， 有AC'＝3，即C'A2＋AD2＝C'D2， ∴C'A⊥AD，又AB⊥AD，C'A∩AB＝A，即AD⊥平面C'AB， ∴二面角C'－AD－B的平面角是∠C'AB， ∴cos∠C'AB＝＝， ∴二面角C'－AD－B的余弦值是. 16.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且PE⊥EB，得到四棱锥P－BCDE，已知M为棱PB的中点，N为棱BC上的动点（与点B，C不重合）. （1）证明：平面EMN⊥平面PBC； （1）证明：∵PE⊥ED，PE⊥EB，EB∩ED＝E，∴PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，∴PE⊥BC.∵BC⊥EB，EB∩PE＝E，∴BC⊥平面PEB，又EM⊂平面PEB，∴BC⊥EM.∵PE＝EB，PM＝MB，∴EM⊥PB，又BC∩PB＝B，∴EM⊥平面PBC.∵EM⊂平面EMN，∴平面EMN⊥平面PBC. （2）是否存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. （2）解：假设存在点N满足题意，过点M作MQ⊥EB于点Q，∵PE⊥EB，∴PE∥MQ，由（1）知PE⊥平面EBCD，∴MQ⊥平面EBCD，又EN⊂平面EBCD，∴MQ⊥EN.过点Q作QR⊥EN于点R，连接MR，∵MQ∩QR＝Q，∴EN⊥平面MQR，又MR⊂平面MQR，∴EN⊥MR，∴∠MRQ为二面角B－EN－M的平面角.不妨设PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1，在Rt△EBN中，设BN＝ x（0＜x＜2），∵Rt△EBN∽Rt△ERQ，∴＝，∴＝，得RQ＝，∴tan∠MRQ＝＝＝，可得x＝1，此时N为BC的中点.综上，存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为，此时N为BC的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $