专练：立体几何中的几何法求空间角-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：立体几何中的几何法求空间角-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为 （ ） A．∠DD′A B．∠AD′C′ C．∠ADB′ D．∠DAD′ 2．已知二面角α－l－β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为 （ ） A．40° B．50° C．130° D．140° 3．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则直线AC1与直线BD所成的角的大小为 （ ） A． B． C． D． 4．羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色，如图1，碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑．现有一碉楼，其主体部分可近似看成正四棱台ABCD－A1B1C1D1，如图2，已知该棱台的体积为224 m3，AB＝8 m，A1B1＝4 m，则二面角A1－AB－C的正切值为 （ ） A．3 B． C． D． 5．正四面体S－ABC中，M是侧棱SA的中点，若异面直线MB与AC所成的角为α，直线MB与平面ABC所成的角为β，二面角M－BC－A的平面角为γ，则 （ ） A．α<β<γ B．β<α<γ C．β<γ<α D．γ<α<β 二、多项选择题 6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则下列选项正确的是 （ ） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为2π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 7．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是 （ ） A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成角的大小等于45° D．AB与SC所成角的大小等于30° 三、填空题 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是________． 9．已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B－CD－A的正切值为________． 四、解答题 10．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值． 11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1＝AB＝2. （1）求证：AB1∥平面C1BD； （2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为，求四棱锥B－AA1C1D的体积． 能力提升练 12．刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB＝25 m，BC＝AD＝10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为.现为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为 （ ） A．102 m B．112 m C．117 m D．125 m 13．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，BC⊂α，若平面α绕BC旋转，则直线DP与平面α所成角的余弦值的最小值为________． 14．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝AB＝1，平面ABB1A1⊥平面ABC. （1）求证：AB1⊥A1C. （2）从条件①AC1＝A1C，条件②A1B＝这两个条件中选择一个作为已知，当直线A1C与平面ABC所成角为30°时， ①求证：平面ABC⊥平面ACC1A1； ②求二面角B－A1C－A的正弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 专练：立体几何中的几何法求空间角-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为 （ ） A．∠DD′A B．∠AD′C′ C．∠ADB′ D．∠DAD′ 解析：由图可知，DD′∥BB′，所以∠DD′A即为异面直线D′A与BB′所成的角，故选A. 答案：A 2．已知二面角α－l－β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为 （ ） A．40° B．50° C．130° D．140° 解析：如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，OB∥a，由a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，得∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则有∠AOB＝130°，因为OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°－130°＝50°. 答案：B 3．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则直线AC1与直线BD所成的角的大小为 （ ） A． B． C． D． 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D.∵CD＝CB，CC1＝CC1，∠C1CB＝∠C1CD，∴△CDC1≌△CBC1，∴DC1＝C1B.∵底面ABCD是菱形，∴OB＝OD，∴OC1⊥BD.∵AC⊥BD，AC∩OC1＝O，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，∴直线AC1与直线BD所成的角的大小为.故选A. 答案：A 4．羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色，如图1，碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑．现有一碉楼，其主体部分可近似看成正四棱台ABCD－A1B1C1D1，如图2，已知该棱台的体积为224 m3，AB＝8 m，A1B1＝4 m，则二面角A1－AB－C的正切值为 （ ） A．3 B． C． D． 解析：取正四棱台上、下底面的中心分别为O1，O，如图所示，分别取AB，A1B1的中点E，M，连接OO1，O1M，OE，ME，作MN∥OO1交OE于点N，则∠MEN为二面角A1－AB－C的平面角．该棱台的体积V＝(82＋42＋)OO1，即224＝(64＋16＋32)OO1，解得OO1＝6 m．在Rt△MEN中，MN＝OO1＝6 m，EN＝＝2(m)，故tan ∠MEN＝＝＝3. 答案：A 5．正四面体S－ABC中，M是侧棱SA的中点，若异面直线MB与AC所成的角为α，直线MB与平面ABC所成的角为β，二面角M－BC－A的平面角为γ，则 （ ） A．α<β<γ B．β<α<γ C．β<γ<α D．γ<α<β 解析：如图，在正四面体S－ABC中，取BC的中点D，连接AD，MD，SD，过M作MH⊥AD于H，连接HB.过M作AC的平行线交SC于N，连接BN，因为异面直线MB与AC所成的角为α，所以∠BMN＝α.因为△SBC，△ABC均为等边三角形，所以SD⊥BC，AD⊥BC，又SD∩AD＝D，SD，AD⊂平面SAD，所以BC⊥平面SAD，又MD⊂平面SAD，所以MD⊥BC，又AD⊥BC，所以∠MDH＝γ.由BC⊥平面SAD，BC⊂平面ABC可得平面ABC⊥平面SAD，又平面ABC∩平面SAD＝AD，MH⊂平面SAD，MH⊥AD，所以MH⊥平面ABC，则∠MBH＝β.因为sin β＝<＝sin γ，且β，γ∈(0，)，所以β<γ.设正四面体的棱长为1，则AM＝，SM＝MN＝，由BM＝BN可知cos α＝，cos γ＝>，因为HD＝AD－AH＝－×＝>＝，所以cos γ>cos α，又α，γ∈(0，)，所以γ<α.综上，β<γ<α. 答案：C 二、多项选择题 6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则下列选项正确的是 （ ） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为2π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 解析：依题意，∠APB＝120°，PA＝2，则OP＝1，OA＝OB＝.对于A选项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，正确；对于B选项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，正确；对于C选项，设D是AC的中点，连接OD，PD，易得AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OD＝OP＝1，故AD＝CD＝＝，则AC＝2，正确；对于D选项，PD＝＝，所以S△PAC＝×2×＝2，错误．故选ABC. 答案：ABC 7．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是 （ ） A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成角的大小等于45° D．AB与SC所成角的大小等于30° 解析：如图，当几何体S－ABCD为“阳马”时，SD⊥平面ABCD.对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故正确；对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故正确；对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，因为SA＝，OA＝，所以∠ASO＝30°，故不正确；对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故不正确． 答案：AB 三、填空题 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是________． 解析：易知AA1∥DD1，所以∠DD1B即直线BD1与直线AA1所成的角．不妨设正方体的棱长为a，则BD＝＝a，BD1＝＝a，所以cos ∠DD1B＝＝＝. 答案： 9．已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B－CD－A的正切值为________． 解析：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，所以∠ACB为二面角B－CD－A的平面角．因为BC⊥CD，所以BD＝＝.因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，所以AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝＝1. 答案：1 四、解答题 10．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值． 解：由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，在平面ADC中，过点E作AD的平行线交AC于点F，则F为AC的中点，则∠BEF为二面角A－CD－B的平面角．∵EF＝，BE＝，BF＝，∴cos ∠BEF＝＝＝. 11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1＝AB＝2. （1）求证：AB1∥平面C1BD； （2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为，求四棱锥B－AA1C1D的体积． 解：（1）证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，连接B1C，交BC1于点E，连接DE，如图，由四边形BCC1B1为平行四边形，则E为B1C的中点， 又D为AC的中点，于是AB1∥DE， 又DE⊂平面C1BD， AB1⊄平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD. （2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由AB⊥BC，得∠CAB为锐角，显然AB∥A1B1，则∠CAB为异面直线AC和A1B1所成的角， 即cos ∠CAB＝， 由AA1＝AB＝2，得AC＝＝，BC＝＝3， 所以S△ABC＝AB·BC＝3， VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝6， VC1－BCD＝S△BCD·CC1 ＝×S△ABC·AA1 ＝1， VB－A1B1C1＝S△A1B1C1·BB1＝S△ABC·AA1＝2， 所以VB－AA1C1D＝VABC－A1B1C1－VC1－BCD－VB－A1B1C1＝3. 能力提升练 12．刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB＝25 m，BC＝AD＝10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为.现为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为 （ ） A．102 m B．112 m C．117 m D．125 m 解析：根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，设E，F在底面矩形的射影点分别为M，N，设AD与BC的中点分别为P，Q，则M，N在线段PQ上，如图，过M，N分别作AB的垂线，垂足分别为G，H，连接HF，FQ，EG，EP，则根据题意及三垂线定理易得tan ∠EPM＝tan ∠EGM＝tan ∠FHN＝tan ∠FQN＝，又MG＝NH＝5，∴EM＝FN＝，∴PM＝QN＝5，∴EP＝FQ＝＝，∴MN＝PQ－PM－QN＝AB－PM－QN＝25－5－5＝15，∴EF＝MN＝15，又易知BC⊥QN，FN⊥底面矩形ABCD，∴根据三垂线定理可知BC⊥FQ，又BQ＝5，FQ＝， ∴FB＝＝8，∴ED＝EA＝FC＝FB＝8，∴该多面体的所有棱长和为8×4＋(25＋10)×2＋15＝117.故所需灯带的长度为117 m. 答案：C 13．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，BC⊂α，若平面α绕BC旋转，则直线DP与平面α所成角的余弦值的最小值为________． 解析：如图，设过BC的一个平面BCMN(不与平面ABCD重合)与正方体相交于MC，MN，BN，取CC1的中点Q，过Q作QT∥CM，过P作PK∥BN，连接KT，则平面PQTK∥平面BCMN. 过D作DF⊥QT于F，连接PF，由于PQ⊥平面CDD1C1，DF⊂平面CDD1C1，故PQ⊥DF，又TQ∩PQ＝Q，TQ，PQ⊂平面PQTK，故DF⊥平面PQTK，所以∠DPF为DP与平面PQTK所成的角，也为DP与平面BCMN所成的角．设正方体的棱长为2，则DP＝＝3，cos ∠DPF＝＝.要使cos ∠DPF最小，则需DF的值最大，当Q与F重合时，DF取最大值，连接DQ，则DQ＝＝，此时cos ∠DPF＝＝. 答案： 14．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝AB＝1，平面ABB1A1⊥平面ABC. （1）求证：AB1⊥A1C. （2）从条件①AC1＝A1C，条件②A1B＝这两个条件中选择一个作为已知，当直线A1C与平面ABC所成角为30°时， ①求证：平面ABC⊥平面ACC1A1； ②求二面角B－A1C－A的正弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）证明：因为∠ABC＝90°， 所以AB⊥BC， 因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形， 因为AA1＝AB，所以平行四边形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B. 因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC. 因为A1C⊂平面A1BC，所以AB1⊥A1C. （2）若选择条件①： ①因为AC1＝A1C，所以平行四边形ACC1A1为矩形，所以AA1⊥AC， 由（1）知，BC⊥平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以AA1⊥BC. 因为AC∩BC＝C，BC，AC⊂平面ABC， 所以AA1⊥平面ABC. 因为AA1⊂平面ACC1A1， 所以平面ABC⊥平面ACC1A1. ②因为AA1⊥平面ABC， 所以直线A1C与平面ABC所成的角为∠A1CA，所以∠A1CA＝30°. 因为AA1＝AB＝1，所以A1C＝2，AC＝，BC＝，A1B＝. 如图，作BD⊥AC于点D， 因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C. 作DE⊥A1C于E，连接BE， 因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C⊥平面BDE， 因为BE⊂平面BDE，所以A1C⊥BE， 所以∠BED是二面角B－A1C－A的平面角． 因为AC·BD＝AB·BC，所以BD＝. 因为A1C·BE＝A1B·BC，所以BE＝1， 所以sin ∠BED＝＝， 所以二面角B－A1C－A的正弦值为. 若选择条件②： 因为AA1＝AB＝1， 所以AA＋AB2＝A1B2，所以AA1⊥AB， 由（1）知，BC⊥平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以AA1⊥BC， 因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC， 以下同选择条件①. 学科网（北京）股份有限公司 $