精品解析：陕西咸阳市兴平市南郊高级中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题

兴平市南郊高级中学 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一年级数学试题 命题人：林克生 审题人：张萌芽 （时间:120分钟 满分:150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则的共轭复数的虚部为（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，； ，即的共轭复数的虚部为1. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 3. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示. ＝，，所以， 所以原图形的周长为8cm， 故选：D. 4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 6. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以是等腰直角三角形， 所以， 所以. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：D. 8. 若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ） A. 4π B. π C. 2π D. π 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，求出的值，再求出截面圆的半径即得解. 【详解】设球的半径为， 因为球的表面积为，所以，解之得； 因为截面与球心距离为； 所以截面圆的半径； 可得截面圆面积为. 故选：D 【点睛】本题主要考查球的截面圆的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.） 9. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确； 对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确； 对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确. 故选：BD 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若G是的重心，则 C. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D. 已知，，则的最大值为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的夹角判断一个三角形内角为锐角判断A，根据重心的性质及中线的向量表示判断B，根据向量在向量上的投影向量的计算判断C，根据数量积的定义及运算性质判断D. 【详解】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误； 对B，由G是的重心，可知，故B正确； 对C，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对D，因为，当，即同向时等号成立，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）． A. 该三棱台的体积为 B. 该三棱台的表面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】取上、下底面的中心，，连接，，，再结合几何可得高，再利用台体体积公式即可对A求解判断；利用几何知识求出每个侧面的面积，即可对B判断求解；把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，从而可得的最小值为，即可C求解判断；体积为的球的半径为，该球的直径即可对D判断求解. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高． 三棱台的体积，所以A正确； 对B，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为， 在中，， 所以等腰梯形的面积为， 上下底面面积分别为：，， 所以，所以B正确； 对C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 由B知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以C正确； 对D，设体积为的球的半径为，则，解得，该球的直径，则此球不可能在正三棱台内，所以D错误． 故选:ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以. 13. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图， 则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 故，所以. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由，得， 而，则； 【小问2详解】 ， 即与的夹角的余弦值为. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 19. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【小问1详解】 取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴平市南郊高级中学 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一年级数学试题 命题人：林克生 审题人：张萌芽 （时间:120分钟 满分:150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则的共轭复数的虚部为（    ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. ±2 3. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 8. 若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ） A. 4π B. π C. 2π D. π 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.） 9. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若G是的重心，则 C. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D. 已知，，则的最大值为10 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）． A. 该三棱台的体积为 B. 该三棱台的表面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 14. 在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 18. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 19. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $