精品解析：陕西榆林市榆阳区2025-2026学年高一下学期5月期中质量检测数学试题

2025级高一下学期期中质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 全卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1. 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】，， 由，可得， 解得. 4. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//，m//n，则n// B. 若m//，n//，则m//n C. 若m//，n，则m//n D. 若m//，m，＝n，则m//n 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A，B，C；利用线面平行的性质判断D作答. 【详解】如图，长方体中，平面视为平面， 对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确； 对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确； 对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确； 对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确. 故选：D 5. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得，即，所以， 在中，. 6. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 7. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ） A. P一定在直线上 B. P一定在直线上 C. P在直线或上 D. P既不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【解析】 【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置. 【详解】由题意知：面，又交于一点P， ∴面，同理，面，又面面， 由公理3知：点P一定在直线上. 故选：B. 8. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则． C. 若，则为钝角 D. 若，则为直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦三角函数的性质即可求解；对于B，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C，根据余弦定理可判断C；对于D，利用射影定理计算判断选项. 【详解】对于A，在中，因为，所以，又在上单调递减， 所以，故A错误； 对于B，因为为锐角三角形，可得,则, 因为，所以， 又在上单调递增，所以，故B正确； 对于C，若，则，而， 所以角C为钝角，故C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断. 【详解】由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接， 则点是正的中心，，， 对于A，由，解得，A正确； 对于B，四面体的体积，B错误； 对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似， 其面积为，C正确； 对于D，延长交于，连接，则是的中点，， 过三点的平面截四面体所得的截面为， 其面积为，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，则与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解， 【详解】由题意得，，， 故答案为： 13. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设内切球半径为，由球的体积公式，代入 得 ，解得，即， 圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高， 圆柱表面积为，代入得 . 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形. 由平行线分线段比例可知：， 故，故为等腰直角三角形， 所以，故，则， . 所以五边形的边长为： . 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由虚部为0列式求值. （2）由实部为0，虚部不为0列式求值. （3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围. 【小问1详解】 由为实数，所以虚部为0， 即或. 【小问2详解】 由是纯虚数，所以， 所以. 【小问3详解】 由对应的点位于第四象限，所以， 所以. 所以的取值范围为. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即可. （2）由（1）的结论结合已知，利用正弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 而，所以. 【小问2详解】 由，且，则， 由正弦定理得：，即， 所以. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），通过证明，得证平面； （2）证明平面，由线面平行的性质定理证明. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为是平行四边形，故为中点， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面平面，平面， 所以. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 【答案】（1）该几何体的体积为，表面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）分别求题中的正四棱锥和正四棱柱的体积和表面积，再对应相加可得该几何体的体积与表面积； （2）将侧面和侧面展开，易知的最小值为点到线段上点的最小值，即展开图中的最小值.由已知条件，求出，从而求得，结合余弦定理，判断的最小值为点到的距离，并求得该距离. 【小问1详解】 由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为. 【小问2详解】 如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以. 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为． 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期期中质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 全卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 4. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//，m//n，则n// B. 若m//，n//，则m//n C. 若m//，n，则m//n D. 若m//，m，＝n，则m//n 5. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 6. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ） A. P一定在直线上 B. P一定在直线上 C. P在直线或上 D. P既不在直线上，也不在直线上 8. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则． C. 若，则为钝角 D. 若，则为直角三角形 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，则与的夹角为______. 13. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 四、解答题：本大题共6小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求． 17. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $