精品解析：山东淄博市桓台县2025--2026学年下学期八年级 期中测试数学

2025--2026学年下学期桓台县八年级 期中测试数学 本试卷共6页．满分150分．考试时长120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 9. 如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______ ． 14. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 15. 如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，则_____． 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各小题： （1）； （2）． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 19. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求AC的长． 21. 阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： （1）已知，试证明为定值． （2）已知，求的值． 22. 某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于．预计划活动区造价60元/．绿化区造价50元/．设绿化区域较长直角边为． （1）用含的代数式表示出口区的宽度为___________，绿化区总造价为___________元，活动区总造价为___________元 （2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能，请说明理由？ （3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 23. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年下学期桓台县八年级 期中测试数学 本试卷共6页．满分150分．考试时长120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】、，不能与合并，故本选项错误； 、，能与合并，故本选项正确； 、，不能与合并，故本选项错误； 、，不能与合并，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 5. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点． ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 8. 如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 9. 如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质结合角平分线的定义求得，推出，利用矩形的性质求得，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【解析】 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______ ． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，理解题意，得，，将代数式变形为，然后代入进行求解，即可作答． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， 即， 又∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得， ∴ ， 故答案为：2026． 14. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长．由菱形的性质得到，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论． 【详解】解：如图，交轴于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，首先结合正方形性质可证得，推出为等腰直角三角形，结合，推出为等腰直角三角形，，再证明，设，得，，然后在中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在中，根据勾股定理求出长，即可求出长． 【详解】解：连接、、， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵设， 又∵，， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴． 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各小题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式乘除法则计算各部分后，再进行加减运算即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开原式后，合并化简即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 ，． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）． （1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程的两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：方程有实数根，即方程根的判别式， 对于方程，其中，，， ∴， 化简得，解该一元一次不等式得， 故答案为． 【小问2详解】 解：∵、为该方程的两个实数根， ∴实数m应满足（1）中的要求，即， 根据方程根与系数的关系， ∴， ， ∵， 故， 解得，（不满足，舍去）， ∴实数m的取值为． 19. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ． 20. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【小问1详解】 解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 21. 阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： （1）已知，试证明为定值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 即为定值； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 得， ，即： ， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 22. 某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于．预计划活动区造价60元/．绿化区造价50元/．设绿化区域较长直角边为． （1）用含的代数式表示出口区的宽度为___________，绿化区总造价为___________元，活动区总造价为___________元 （2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能，请说明理由？ （3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 【答案】（1），， （2）所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； （3）原计划每天绿化 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积． （1）根据图形可得结论； （2）根据面积造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得与的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得的取值范围，业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论； （3）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验． 【小问1详解】 解：由题意可得，出口的宽度为； 绿化区直角三角形的较短直角边为， 所以绿化区总造价为元， 所以活动区总造价为元， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图， 设工程队总造价元， 由题意可得，， ， ， ， ， 令， 解得，（舍去）， ，对称轴为直线， ∴在时，， 所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程， 当为整数时，所有工程方案如下： ①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； 【小问3详解】 解：在中随的增大而减小， 当时，有最小值， 绿化面积平方米， 设原计划每天绿化，则在实际施工中，每天绿化， 则， 解得：或（舍， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天绿化． 23. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】（1）；；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $