精品解析：山东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

初三数学练习题 一、选择题（本题10小题，请把正确的选项填在下面的表格中） 1. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式、将式子化简计算即可判断． 【详解】解：（2﹣）×（2+）＝1，故A项符合题意； （2﹣）×2＝4﹣2，故B项不符合题意； （2﹣）×＝2-3，故C项不符合题意； （2-）（2-）＝7﹣4，故D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数与无理数的判断，熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式的运用是解题的关键． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 3. 如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定． 先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可． 【详解】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 4. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识及计算是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 5. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 6. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、二次根式运算等知识，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分两种情况讨论已知边为底边或腰的情况，即可获得答案． 【详解】解：当已知边为底边时，底边长为，设腰长为， 则周长为：， 解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系， 因此腰长为； 当已知边为腰时，腰长为，设底边长为， 则周长为，解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系，，因此此情况不符合题意． 综上，该三角形的腰长为． 故选：D． 7. 如图，实数、在数轴上的位置，化简：（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，由数轴得到，，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 8. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 9. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 8 C. 50 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．熟练掌握解一元二次方程，菱形的性质，是解此题的关键． 先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：设菱形为，交点为O，, 解方程， 得或4， ∵菱形两条对角线的长度是方程的两根， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故选：A． 10. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接，作于，则，，求出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：∵在矩形中 ，，， ∴， 如图，连接，作于， 由题意可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共5个小题） 11. 如图是由四个全等的直角三角形，，，）组成的新图形．若，．则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 则正方形的边长为． 故答案为：． 12. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：（舍去）． 则该群一共有10人 故答案为：10． 13. 在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 14. 已知，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式的变形进行二次根式的运算． 首先求出，，然后利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 15. 对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4或1 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算顺序是解答关键． 先利用因式分解法解方程得到方程的两个根分别为3，2，则或当，然后利用新定义计算的值． 【详解】解：方程的两个根分别为3，2， 当时，，则； 当时，则． 所以的值为4或1． 故答案为：4或1． 三、解答题（本题共8个小题） 16. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 根据菱形的性质可得，进而得到，再通过证明即可得到结论． 【详解】略 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先把每项化成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）首先利用平方差公式计算，化简二次根式，好计算加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的作法： （1）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 【答案】证明：由作法得垂直平分，则， 而， 所以四边形为平行四边形， 而， 所以四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的判定．先利用作法判定，，则根据平行四边形的判定方法判断四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形为矩形． 【详解】略 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 ，， 解得，． 20. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 21. 新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为元，市场调研表明；当销售价定为元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【详解】解：设每台冰箱的定价应为元， 依题意得：， 解方程得， 经检验符合题意． 答：每台冰箱的定价应为元． 22. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根， ∴，∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证； （2）通过证明得到，即，求解即可； （3）连接，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作于M，于N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学练习题 一、选择题（本题10小题，请把正确的选项填在下面的表格中） 1. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 6. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A. B. 或 C. 或 D. 7. 如图，实数、在数轴上的位置，化简：（ ） A. 0 B. C. D. 8. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 8 C. 50 D. 10 10. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本题共5个小题） 11. 如图是由四个全等的直角三角形，，，）组成的新图形．若，．则正方形的边长为___________． 12. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 13. 在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 14. 已知，，则___________． 15. 对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 三、解答题（本题共8个小题） 16. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 17. 计算： （1） （2） 18. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的作法： （1）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 21. 新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为元，市场调研表明；当销售价定为元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的定价应为多少元？ 22. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $