第十一章 因式分解单元练习 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

**基本信息** 青岛版七年级下册因式分解单元卷，覆盖基础应用与综合探究，通过数形结合、整体思想等设计，培养抽象能力、推理意识与创新意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平方差公式、公因式确定等|第10题数形结合体现几何直观| |填空题|5/15|多项式分解等|开放题（13题）培养模型意识| |解答题|11/75|整体思想、分组分解法等|17题分步探究发展推理能力，21题综合应用提升创新意识|

第十一章因式分解同步练习2025-2026学年青岛版数学七年级下册 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 A. B. C. D. 2.（3分）因式分解： A. B. C. D. 3.（3分）已知，，计算：等于    A. B. C. D. 4.（3分）下列因式分解正确的是 A. B. C. D. 5.（3分）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.（3分）是多项式分解因式的结果，则的值是 A. B. C. D. 7.（3分）已知、、皆为正整数，且、两数的最大公因数与最小公倍数分别为与关于、、三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下：  甲：、、三数的最大公因式可能比大  乙：、、三数的最小公倍数可能比小  对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？ A. 甲、乙皆正确 B. 甲、乙皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 8.（3分）计算后的结果是 A. B. C. D. 9.（3分）多项式的公因式是 A. B. C. D. 10.（3分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式 成立的是（ ） A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）分解因式：______． 12.（3分）因式分解：______ . 13.（3分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ______ . 14.（3分）若，，则的值为______  . 15.（3分）分解因式：______ . 三 、解答题（本大题共11小题，共75分） 16.（8分）因式分解：  ；  17.（11分）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解∶设 原式 (第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______A、提取公因式法 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？__________填彻底或不彻底若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________ (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 18.（8分）阅读材料：  因式分解：  解：将“”看成整体，令，则原式  再将“”还原，可以得到：原式  上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法请利用“整体思想”解答下列问题：  因式分解：；  因式分解： 19.（8分）先化简，再求值： 19-1.，其中，． 19-2.已知，，求的值． 20.（8分）已知，  求的值；  先将分解因式，再求值. 21.（10分）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解 ________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ① ； ② ． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足 ，求 的值． 22.（10分）（1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解： ． 解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ． 再将“A”还原，得原式 ． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解： ． ②因式分解： ． 23.（12分）利用完全平方公式，将多项式 变形为 的形式． 例如：① ② 根据以上材料，解答下列问题： 23-1.将 变形为 的形式，并求出 的最小值； 23-2.分解因式： ； 23-3.如图①所示的长方形边长分别是 ， ，面积为 ，如图②所示的长方形边长分别是 、 面积为 ．试比较 与 的大小，并说明理由． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章因式分解同步练习2025-2026学年青岛版数学七年级下册 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 A. B. C. D. 2.（3分）因式分解： A. B. C. D. 3.（3分）已知，，计算：等于    A. B. C. D. 4.（3分）下列因式分解正确的是 A. B. C. D. 5.（3分）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.（3分）是多项式分解因式的结果，则的值是 A. B. C. D. 7.（3分）已知、、皆为正整数，且、两数的最大公因数与最小公倍数分别为与关于、、三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下：  甲：、、三数的最大公因式可能比大  乙：、、三数的最小公倍数可能比小  对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？ A. 甲、乙皆正确 B. 甲、乙皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 8.（3分）计算后的结果是 A. B. C. D. 9.（3分）多项式的公因式是 A. B. C. D. 10.（3分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式 成立的是（ ） A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）分解因式：______． 12.（3分）因式分解：______ . 13.（3分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ______ . 14.（3分）若，，则的值为______  . 15.（3分）分解因式：______ . 三 、解答题（本大题共11小题，共75分） 16.（8分）因式分解：  ；  17.（11分）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解∶设 原式 (第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______A、提取公因式法 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？__________填彻底或不彻底若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________ (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 18.（8分）阅读材料：  因式分解：  解：将“”看成整体，令，则原式  再将“”还原，可以得到：原式  上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法请利用“整体思想”解答下列问题：  因式分解：；  因式分解： 19.（8分）先化简，再求值： 19-1.，其中，． 19-2.已知，，求的值． 20.（8分）已知，  求的值；  先将分解因式，再求值. 21.（10分）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解 ________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ① ； ② ． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足 ，求 的值． 22.（10分）（1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解： ． 解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ． 再将“A”还原，得原式 ． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解： ． ②因式分解： ． 23.（12分）利用完全平方公式，将多项式 变形为 的形式． 例如：① ② 根据以上材料，解答下列问题： 23-1.将 变形为 的形式，并求出 的最小值； 23-2.分解因式： ； 23-3.如图①所示的长方形边长分别是 ， ，面积为 ，如图②所示的长方形边长分别是 、 面积为 ．试比较 与 的大小，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】D; 2.【答案】A; 3.【答案】B; 4.【答案】B; 5.【答案】B; 6.【答案】C; 7.【答案】B; 8.【答案】C; 9.【答案】B; 10.【答案】B; 11.【答案】; 12.【答案】  13.【答案】答案不唯一  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】解：    ；          17.【答案】解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选； 原式； 18.【答案】; 【解析】令，  原式    ；  令，  原式          19.【答案】 解： 当 ， ， 原式 ； (2)小问详解： 解： ， 当 ， 时，原式 ． 20.【答案】，，          ；  ，，              21.【答案】 解：（1） ， 故答案为： ． （2）① ． ② ． （3） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 22.【答案】 解：（1）① ； ② ； （2）①令 ， ∴原式 ； ②令 ， ∴原式 ． 23.【答案】 (1)解： ， 当 时，原式最小 ； (2)解： ； (3)解： ． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $