第11章 因式分解 单元卷 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“因式分解”单元，通过选择、填空、解答题（30+18+72分）覆盖概念辨析、方法应用及综合创新，适配单元复习，突出抽象能力、推理意识与模型观念的核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、公因式、公式法|第5题结合密码情境，体现数学眼光的应用意识；第6题图形验证平方差公式，强化几何直观| |填空题|6/18|完全平方、因式分解参数计算|第16题通过正方形面积差考因式分解，渗透空间观念；第14题代数式求值，培养运算能力| |解答题|8/72|十字相乘法、换元法、配方法|19题看错系数还原多项式，发展推理意识；23题“完美数”证明与图形面积计算，融合模型观念与创新意识；24题配方法解决最值问题，体现数学思维的严谨性|

第11章 因式分解 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2. 若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 3.多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4.已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 5.小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 6. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 7.若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 8. 若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9.下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果是一个完全平方式，则__________． 12. 若多项式含有因式，则的值是________． 13.计算：______． 14. 已知，则代数式的值为 15.若，，则 (填“”“”或“”)． 16.如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，其中17-19题每题6分，20-21每题9分，22-24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）； （2）． 18.先化简，再求值：，其中，． 19.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 20.材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 21.先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 22.阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 24.阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 因式分解 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 2. 若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 3.多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式的公因式是． 4.已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 5.小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 【答案】C 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 6. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 7.若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【详解】解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 8. 若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， ． 9.下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用完全平方公式分解因式； ③不能用公式法因式分解； ④，能用平方差公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； ⑥不能用公式法因式分解； 综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个． 10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为整数)的规律， ， A、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； B、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”， 不符合题意； C、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； D、令，解得：，是整数， ∴“神秘数”，符合题意； 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果是一个完全平方式，则__________． 【答案】-1或3 【详解】解：∵=， ∴2(m-1)x=±2×x×2， 解得m=-1或m=3． 故答案为-1或3 12. 若多项式含有因式，则的值是________． 【答案】2 【详解】解：∵多项式含有因式， ∴设另一个因式是， 则， ∵ ， ∴，， 解得：，， 故答案为：2． 13.计算：______． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：2035. 14. 已知，则代数式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 15.若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 16.如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】12 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 故答案为：12 三、解答题：本题共8小题，其中17-19题每题6分，20-21每题9分，22-24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18.先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 把，代入上式， 故， 故答案为，． 19.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； （2）解：． 20.材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得： 21.先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 22.阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①设， 原式 ， 故答案为：； ②； 【小问3详解】 设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）420 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 证明：设两个连续的偶数为、，n为正整数，则完美数为， ∴ ， ∵n为正整数， ∴为奇数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； 小问3详解】 解：根据题意，得 ． 24.阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $