5.3　分式方程 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦分式方程，系统梳理概念、解法及应用。通过实际问题导入，联系整式方程，以“定义特征—列方程—解方程—应用题”为脉络，搭建递进式学习支架，帮助学生构建知识体系。 其亮点在于情境化设计与核心素养融合，以端午节购物、《九章算术》古题等实例，培养数学眼光；强调转化思想与检验步骤，发展数学思维；结合跨学科问题（如音乐调和数），提升数学语言表达能力。学生能增强应用意识，教师可依托分层练习实施精准教学。

第五章　分式与分式方程 3 分式方程 第五章　分式与分式方程 分式方程(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 　　分母中含有　　　　　的方程叫作分式方程。特征：(1)是等式；(2)含分母；(3)分母中含有未知数。  课堂精要·梳理内容 未知数 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．下列关于x的方程是分式方程的是(　　)。 A．＝1－ B．＝2＋x C．＝1 D．＝1 D 2．端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一。某超市豆沙粽的进价比蜜枣粽的进价每盒便宜2元，用6 000元购进豆沙粽的盒数和用8 000元购进蜜枣粽的盒数相同。设豆 沙粽每盒的进价为x元，则可列方程为(　　)。 A． B． C． D． B 3．中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因。为传承优秀传统文化，某校为各班购买《三国演义》和《水浒传》若干套，其中每套《三国演义》的价格比每套《水浒传》的价格贵60元，用4 800元购买《水浒传》的套数是用 3 600元购买《三国演义》套数的2倍。设每套《水浒传》的价格为x元，根据题意可列方程为(　　)。 A．×2＝ B．×2 C．×2＝ D．×2 D 4．小聪和小宇作为图书馆的志愿者，负责整理读者阅览后的图书。已知小聪平均每小时整理图书的数量是小宇平均每小时整理图书数量的1.3倍，小聪整理156本图书所用的时间比小宇整理100本图书所用的时间多15 min。小宇平均每小时整理多少本图书？设小宇平均每小时整理x本图书，则可列方程为(　　)。 A． B． C．＝1.5 D．＝15 B 5．某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花电费24元；沿相同路线返程时纯用燃油行驶，花油费72元。已知每行驶1 km，纯用燃油费用比纯用电费用多0.6元。晓华根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义为_________________ 　　　　　　 　。  每行驶1 km纯用电 的费用 6．假设杭州到北京的铁路长1 487 km，火车的原平均速度为x km/h，提速后平均速度增加了70 km/h，因此杭州到北京的行驶时间缩短了3 h， 则可列方程为　　　　　　 　　　　。  7．某水果店搞促销活动，对某种水果打八折出售，若用60元买这种水果，可以比打折前多买3 kg。设该种水果打折前的价格为x元/kg，根据 题意，可列方程为　　　　　 　　　　。  ＝3 ＝3 强化提高 8．某服装专卖店销售的A款西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服每件的售价。若设今年该款西服每件的售价为x元，那么可列方程为(　　)。 A． B． C． D． A 9．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度。如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12 m。在绿灯亮时，小丽共用22 s通过AC，其中通过BC的平均速度是通过AB的平均速度的1.2倍，求小丽通过AB时的平均速度。设小丽通过AB时的平均速度是x m/s，则可列方程为 　　　　　　 　　。  ＝22 10． 【综合与实践】如图所示的是学习分式方程时，老师板书的问题和两名同学所列的方程。 甲、乙两人在果园帮助果农采摘苹果，已知甲采摘125 kg与乙采摘75 kg所用时间相等，甲每小时比乙多采摘20 kg，求甲每小时采摘苹果的质量是多少。 小明：； 小亮：＝20。 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明所列方程中的x表示　　　　　　　　　　 　，小亮所列方程中的y表示　　　　　　 　　　　　　； (2)两个方程中任选一个，写出它的等量关系。 甲采摘125 kg苹果所用的时间(或乙采摘75 kg苹果所用的时间) 甲每小时采摘苹果的质量 解：小明所列方程的等量关系：甲采摘125 kg与乙采摘75 kg所用时间相等。 小亮所列方程的等量关系：甲每小时比乙多采摘20 kg苹果。(任选一个即可) 11．某工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。 (1)设甲队单独完成这项工程需要x天，请完成下表；   工作总量 所用时间/天 工作效率 甲队       乙队       x＋6 1 x 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程。 解：·3＋＝1。 课堂延伸·提升素养 12． 【数学应用】根据分式方程＝6编一道应用题。 解：甲、乙两人做某种零件，乙每小时比甲多做15个，甲做80个的时间和乙做70个的时间加在一起恰好是6 h，甲每小时可以做多少个这种零件？(答案不唯一) 第五章　分式与分式方程 分式方程(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 1．解分式方程的步骤： (1)先确定分式方程中的分式有意义的条件； (2)化：　　　　　　　　　　　 　； (3)解：　　　　　　 　　； (4)检验：　　 　　　　　　　　。  2．分式方程的增根：　 　　　　　　　　。 课堂精要·梳理内容 使得原分式方程的分母为零的根 把方程的解代入原分式方程的分母进行检验 解这个整式方程 将分式方程化为整式方程 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．解分式方程＝2时，我们通过去分母，即方程两边都乘最简公分母x－1，把分式方程变形为整式方程求解。 解决这个问题的方法用到的数学思想是(　　)。 A．数形结合 B．转化思想 C．模型思想 D．特殊到一般 B 2．把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同时乘 (　　)。 A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 3．解分式方程－4＝时，去分母后可得(　　)。 A．1－4(2x－3)＝－5 B．1－4(2x－3)＝5 C．2x－3－4＝－5 D．2x－3－4＝5(2x－3) A D 4．方程＝0的解是(　　)。 A．x＝3 B．x＝－2 C．x＝2 D．x＝5 5．若x＝3是分式方程＝0的根，则a的值是　　　　。  5 C 6．如图，数轴上的点A，B所对应的数分别为－2，，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为　　　　。  －2 7．解方程： (1)＋1＝； 解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠1。方程的两边都乘2(x－1)，得2＋2x－2＝3。 解这个方程，得x＝。 经检验，x＝是原方程的根。 (2)－3； (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。 方程的两边都乘(x－3)，得1－x＝－2－3(x－3)。 解这个方程，得x＝3。 经检验，x＝3是原分式方程的增根。 所以原方程无解。 (3)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠－2。 方程的两边都乘(x2－4)，得 4＋(x＋3)(x＋2)＝(x－1)(x－2)。 解这个方程，得x＝－1。 经检验，x＝－1是原方程的根。 (3)。 强化提高 8．若关于x的分式方程－3＝有增根，则m的值是(　　)。 A．1 B．－1 C．2 D．－2 9．如果关于x的分式方程＝1的解是负数，那么实数m的取值范围是　 　　　。  m<－1且m≠－2 C 10． 【跨学科】数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do，mi，so。研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称15，12，10为一组调和数。现有三个数：8，6，x(x＞6，且x为整数)，若要组成调和数，则x的值为　 　　　。  12 11．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc。请你根据上述规定求出下面等式中x的值：＝1。 解：由二阶行列式的运算法则得＝1，解得x＝4。 经检验，x＝4是分式方程的解。所以x的值是4。 课堂延伸·提升素养 12． 【综合与实践】阅读下面材料，解答后面的问题。 解方程：＝0。 解：设y＝，则原方程化为y－＝0，方程的两边都乘y，得y2－4＝0， 解得y＝±2。 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的根。 当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝。 经检验，x＝－1和x＝都是原分式方程的根。 上述这种解分式方程的方法称为换元法。 问题： (1)若在方程＝0中，设y＝，则原方程可化为 　　　　　　；  (2)若在方程＝0中，设y＝，则原方程可化为 　　　　　　 ；  (3)模仿上述换元法解方程：－1＝0。 ＝0 y－＝0 (3)解：原方程可化为＝0， 设y＝，则原方程化为y－＝0。 方程的两边都乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1。 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解。 当y＝1时，＝1，该方程无解； 当y＝－1时，＝－1，解得x＝－。 经检验，x＝－是原分式方程的解。 第五章　分式与分式方程 分式方程(第3课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 　　列分式方程解应用题，关键要　　 　　，合理地　　　　　　，然后正确地用分式表示一些基本数量关系，找出等量关系，列出方程，求出方程的根后，不仅要检验求得的根是不是　　 　　，而且还要检验根是否　　 　　。  课堂精要·梳理内容 审清题意 符合题意 增根 设未知数 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．为扎实推进“五育并举”工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具。开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%。设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是(　　)。 　 　　　　 　　　　 　　　 A． B． C． D． D 2．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本价格的1.2倍。已知学校用12 000元购买的文学类图书比用这些钱购买的科普类图书多100本，那么学校购买文学类图书平均每本的价格是(　　)。 A．20元 B．18元 C．15元 D．10元 A 3．某城区对一条全长12 000 m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x 满足的方程为时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是(　　)。 A．实际每天比计划多完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的 B．实际每天比计划少完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的 C．实际每天比计划多完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的 D．实际每天比计划少完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的 A 4．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程s(单位：km)与所需费用y(单位：元)的关系。已知纯电动汽车行驶每千米所需的费用比燃油汽车行驶每千米所需费用少0.54元。设纯电动汽车行驶每千米所需费用为x元，则可列方程为(　　)。 A． B． C． D． C 5． 【数学文化】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道古题的大意是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间。设规定时间为x天，则 可列方程为　　　　　　　　　。(1里＝500 m)  ×2＝ 6．在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。求乘高铁列车从甲地到乙地的时间。老师要求同学先用列表方式分析再解答。下面是两个小组分析时所列的表格。 小组甲：设特快列车的平均行驶速度为x km/h。   时间/h 平均行驶速度/ (km/h) 路程/km 高铁列车     1 400 特快列车   x 1 400 2.8x 小组乙：设乘高铁列车从甲地到乙地的时间为y h。   时间/h 平均行驶速度/ (km/h) 路程/km 高铁列车 y   1 400 特快列车     1 400 (1)根据题意，填写表格中空缺的量； (2)结合表格，选择一种方法进行解答。 y＋9 (2)解：利用乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，得出等量关系。 方法一：由题得－9＝，解得x＝100。 经检验，x＝100是原方程的根。 ∴＝5。故乘高铁列车从甲地到乙地的时间为5 h。 方法二：由题得×2.8， 解得y＝5。经检验，y＝5是原方程的根。 故乘高铁列车从甲地到乙地的时间为5 h。 (任选一种方法即可) 强化提高 7． 【跨学科】为配制一定浓度的盐水溶液，在一个足够大的容器中，先加入10 g的盐和一定量的水。由于实验的需要，又加入5 g的盐和40 g的水，恰好与原来配制的浓度相同，则原来盐水溶液的质量为　 g。 90 8．我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务。一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h。求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米。 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km。 根据题意，得＝22，解得x＝2。 经检验，x＝2是原方程的根。 故一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km。 9． 【数学应用】某店在开学初用880元购进若干个科学计算器，按每个50元销售，很快就销售一空。据了解，学生还急需3倍数量的这种计算器，于是该店又用2 580元购进所需计算器。由于量大，每个计算器进价比上次优惠了1元。该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折售出，该店销售这两次计算器共盈利了多少钱？ 解：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据题意，得 ＋1。 解这个方程，得x＝20。经检验，x＝20是所列方程的根。 则该店共盈利： ［50×(20＋20×3－4)＋4×50×90%］－(880＋2 580)＝520(元)。 课堂延伸·提升素养 10． 【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。 (1)如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°。图②右侧的阴影部分可以看成左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是　　　　。同理，如图③，再进行一次切割平移，即图④可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图④所示的图形，平面镶嵌成如图⑤所示的图形，则图⑤中的图形的面积是　　　　。  3 18 (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图⑥所示的空白，经测量可以按图⑦所示方式，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌。小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2 500元购买正六边形瓷砖的数量相等。 ①请问两种瓷砖每块各多少元？ (2)①解：设正三角形瓷砖每块x元，则正六边形瓷砖每块(x＋40)元。由题意得，解得x＝10。经检验，x＝10是所列方程的解。 x＋40＝50。 故正三角形瓷砖每块10元，正六边形瓷砖每块50元。 ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少。按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要　　　　元。 520 谢谢观看! $