5.2　分式的运算 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦分式的运算，涵盖乘除、加减及混合运算。通过分数运算类比导入，梳理法则后分4课时递进，从基础巩固到综合应用，构建递进式学习支架。 其亮点是分层设计与实际应用结合，如“丰收号”小麦产量比较培养数学眼光，接力游戏化简和错误辨析题发展运算能力与推理意识。学生能理解数学与现实联系，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第五章　分式与分式方程 2 分式的运算 第五章　分式与分式方程 分式的运算(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 1．分式乘法的法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为　　　　的分子，把分母相乘的　　　　作为　　　　　的分母。用式子表示为＝　　　　。 2．分式除法的法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒　　 后再与被除式　　　　。用式子表示为·　　　　＝　　　　。 3．＝　　　　。(其中n是正整数) 课堂精要·梳理内容 积 积 积 相乘 位置 基础巩固 1．的值等于(　　)。 A． B． C． D． 2．计算的结果是(　　)。 A． B．x C．2x D．2y 课堂精练·发展能力 B C 3．计算的结果是(　　)。 A．m－1 B．m C． D． 4．计算的结果是(　　)。 A． B．－ C． D．－ D A 5．若m等于它本身的倒数，则分式÷(m－2)的值为(　　)。 A． B．1 C．或1 D．以上都不对 6．化简的结果是　　 　。  7．计算a÷a·的结果是　　　　。  C 8．计算： (1)(－a)2·；　 (2)； (3)÷(m2－mn)； (4)。 解：(1)原式＝a2·。 (2)原式＝。 (3)原式＝。 (4)原式＝。 接力中，自己负责的一步出现错误的同学是(　　)。 A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 强化提高 9． 【数学游戏】如图所示的是程老师设计的接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简。 D 10．若÷m＝，则m为(　　)。 A． B． C． D． 11．化简，其结果是　　　　。  －2 B 12．下面是小宇计算的过程。 解： 　＝÷(－1)……第一步 　＝……第二步 　＝。……第三步 上述过程是否有错？若有错，请找出是从第几步开始出错的，并写出正确的计算过程。 解：有错，是从第一步开始出错的。正确的计算过程如下： 。 13．如图，程老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，并提出了如下问题： (1)求被手遮住部分的代数式。 解：(1)被手遮住部分的代数式为： 。 (2)这个等式左边代数式的值不可能为零。理由如下： ∵等式右边的代数式为，要使等式左边代数式的值为零，则＝0， ∴x＋3＝0，且x－3≠0，∴x＝－3。 当x＝－3时，等式左边的分式没有意义， ∴等式左边代数式的值不可能为零。 (2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值；如果不可能，请说明理由。 课堂延伸·提升素养 14． 【数学应用】如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞2)的正方形去掉一个边长为2 m的正方形蓄水池后余下的部分。如图②，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－2)m的正方形。两块试验田的小麦都收获了500 kg。 (1)哪种小麦的单位面积产量高？ 解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－4) m2，单位面积产量是 kg；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－2)2 m2，单位面积产量是 kg。 ∵a＞2， ∴(a－2)2＞0，a2－4＞0， ∴a2－4－(a－2)2＝4a－8＞0， ∴a2－4＞(a－2)2， ∴。 ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高。 (2)∵ ＝， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍。 (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 第五章　分式与分式方程 分式的运算(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 1．同分母的分式相加减，分母　　　　，把分子　　　　。用式子表示为：＝　　　　。 2．分母互为相反数的分式相加减，改变分母和分式本身的符号转化为 　　 　　，按照　　　　的分式加减法法则计算，即＝ 　　 　　＝　　　　。 课堂精要·梳理内容 同分母 同分母 相加减 不变 基础巩固 1．计算的结果是(　　)。 A． B． C． D．1 课堂精练·发展能力 D 2．下列计算正确的是(　　)。 A． B．－＝－ C．＝0 D．＝0 D 3．给出下面的分式化简过程，对于所列的每一步运算，依据错误的是(　　)。 计算：。 解：原式＝ ① ＝ ② ＝ ③ ＝4。 ④ A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质 D 4．若＝　　　　＋，则　　　　中的数是(　　)。 A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 5．化简的结果是　　　　。 x＋1 B 6．计算：(1)； (2)； (3)。 解：(1)原式＝。 (2)原式＝＝1。 (3)原式＝＝x＋1。 7．先化简，再求值： ，其中x＝－2。 解：原式＝＝x－1。 当x＝－2时， 原式＝x－1＝－2－1＝－3。 强化提高 8． 【数学应用】随着农业技术的现代化发展，节水型滴灌得到逐步推广，使用传统的漫灌灌溉a亩土地需要用水20 m3，滴灌比漫灌节水30%， 滴灌比漫灌平均每亩可以节约用水　　　　　m3。(用含a的代数式表示) (1亩≈666.7 m2)  9．某救灾小队接到命令后第一时间赶往相距30 km的灾区救援。 原计划每时步行a km，实际步行速度是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前 了　　　　h到达。(用含a的代数式表示)  10．阅读下面题目的计算过程： 　① ＝x－3－2x＋2 ② ＝－x－1。 ③ (1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？该步骤的序号是　　　　。  (2)错误的原因是　　　　　 　　。 (3)请写出本题的正确解答过程。 漏掉了分母 ② (3)解：原式＝＝－。 11．先化简，再求值： (1)，其中2x＋4y－1＝0； 解：(1)原式＝ ＝。 ∵2x＋4y－1＝0，∴x＋2y＝。 ∴原式＝＝2。 (2)原式＝ ＝。 ∵y＝－2，由二次根式的被开方数的非负性可知3－x≥0，3x－9≥0， ∴x＝3，∴y＝－2，原式＝＝－3。 (2)，其中y＝－2。 课堂延伸·提升素养 12． 【综合与实践】【类比定义】我们知道分式和分数有着很多相似点。如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等。小学里，把分子比分母小的分数叫作真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式。 【拓展定义】任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝1＋ ＝2＋。 【理解定义】 (1)下列分式属于真分式的是　　　　，属于假分式的是　　　　。 (填序号) ①；②；③；④。 ①②④ ③ (2)解：＝2＋。 【拓展应用】 (2)将分式化成整式与真分式的和的形式。 (3)将假分式化成整式与真分式的和的形式。 (3)解：＝a＋1＋。　 第五章　分式与分式方程 分式的运算(第3课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 1．根据分式的　　 　　，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的　　　　。通分的关键是确定　　 　　。  2．确定最简公分母的方法：(1)各分母能因式分解的先因式分解；(2)将各分母系数的　　　 　，相同字母(因式)的　 　　　和单独出现的字母(因式)的幂的乘积作为最简公分母。  3．异分母的分式相加减，先　　　　，化为　　　　的分式，然后再按　　 　　的加减法法则进行计算。这一法则可以用式子表示为：＝　　　　。  课堂精要·梳理内容 最简公分母 通分 基本性质 最小公倍数 最高次幂 同分母分式 同分母 通分 基础巩固 1．下列各题中，所求的最简公分母错误的是(　　)。 A．的最简公分母是6x2 B．的最简公分母是3a2b3c C．的最简公分母是m2－n2 D．的最简公分母是ab(x－y)(y－x) 课堂精练·发展能力 D 2．化简，可得(　　)。 A． B．－ C． D． 3．计算的结果是(　　)。 A．0 B． C． D． D B 4．计算的结果是　 　　。  5．已知，则的值是　 　　。  6．按照计划，大巴车将会在行驶t h后到达距离出发点s km的研学基地。因路上车流量大，出现拥堵，大巴车比原计划晚到了a h，则大巴车的平 均速度比原计划慢了　 　　km/h。  －2 7．计算： (1)； (2)。 解：(1)原式＝。 (2)原式＝ ＝ ＝ ＝。 8．先化简，再求值： ，其中x＋y＝3。 解：原式＝ ＝ ＝ ＝。 ∵x＋y＝3， ∴原式＝。 强化提高 9．轮船由甲地到乙地顺流航行40 km，然后又返回甲地。已知水流的速度是2 km/h，设轮船在静水中的速度为x km/h，则轮船往返一次共用的时间为(　　)。 A． h B． h C． h D． h D 10． 【跨学科】照相机成像的原理可以用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头 的距离。已知u，v，则f的值为　　　　。  11．已知，则实数A＝　　　　， B＝　　　　。  －2 4 12． 【综合与实践】下面是小丽进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务。 解： 　＝..........................................................................第一步 　＝.......................................................................................第二步 　＝..................................................................................第三步 　＝......................................................................................第四步 　＝.........................................................................................第五步 　＝－。...............................................................................................第六步 任务一：①在以上化简步骤中，第　　　步是进行分式的通分，通分的依据是_________________________________________________________ 　　　　　　　　　 　　　；  ②第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________ 　　　　　　　　　　　 　　　　　。  任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果。 掉括号后，括号里的第二项没有变号 括号前是“－”，去 五 零的整式，分式的值不变］ 分式的基本性质［或分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为 三 －。 13．已知代数式，回答下列问题： (1)化简这个代数式。 (2)“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由。 解：(1)原式＝ ＝ ＝。 (2)这个说法不正确。理由如下：当x＝1时，无意义。 课堂延伸·提升素养 14． 【数学应用】某校八年级学生进行长跑比赛。甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，跑步途中都使用了两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)。甲前一半路程跑步的速度为v1，后一半路程跑步的速度为v2；乙前一半时间跑步的速度为v1，后一半时间跑步的速度为v2。 (1)设甲、乙两人从A地到达B地的平均速度分别为v甲， v乙， 则v甲＝　 　　　，v乙＝　　　　　　。  解：v乙－v甲＝。 ∵0＜v1＜v2，∴v乙－v甲＞0，∴乙先到达B地。 (2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达B地。 第五章　分式与分式方程 分式的运算(第4课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 1．先算　　　　，再算　　　　，最后算　　　　，有括号的，先算 　　　　内的，后算　　　　内的，再算　　　　内的。  2．同级运算，按　　 　　的运算顺序进行。  3．运算过程中，实数的　　　　对分式同样适用。  4．将运算结果化为　　 　　或　　　　。  课堂精要·梳理内容 加减　 乘除　 乘方　 整式 最简分式　 运算 从左往右 大括号 中括号　 小括号　 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．化简的结果为(　　)。 A． B． C． D． 2．计算的结果等于(　　)。 A．－1 B．x－1 C． D． C D 3．化简－(a＋1)的结果是(　　)。 A． B．－ C． D．－ 4．化简的结果是(　　)。 A． ＋1 B． C． D． －1 D A 5．化简的结果是　　　　。  6．计算1－·(x＋1)的结果是　　　　。  7．计算的结果为　　　　。  － 8．计算： (1)－a＋b； 解：(1)原式＝ ＝ ＝ ＝。 (2)原式＝ ＝ ＝。 (2)。 9．先化简，再求值： ，其中a＝，b＝。 解：原式＝， 当a＝，b＝时，原式＝。 强化提高 10．(1＋)÷化简后的结果为1＋，则“”所表示的代数式是 (　　)。 A．1 B．x C．x－1 D．x2－1 A 11． 【数学应用】某市计划对一条长为x m的公路进行改造铺设。有甲、乙两个工程队，甲工程队单独铺设需要2a天，乙工程队单独铺设需要3a 天，则甲工程队比乙工程队每天多铺设　　　　m，甲、乙两队一起铺 设这段公路需要　　　　天。  12．若a＋3b＝0，则的值为　　　　。　  　 13．化简，并从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值。 解： ＝ ＝ ＝。 由不等式组得－3＜x≤2， 又由题意知，x≠1且x≠0且x≠－2，x为整数，故x可取2。 当x＝2时，原式＝。 (求值答案不唯一) 课堂延伸·提升素养 14． 【综合与实践】化简：。下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式＝·＝… 乙同学 解：原式＝＝… (1)甲同学解法的依据是　　　，乙同学解法的依据是　　　；(填序号)  ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④乘法交换律。 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程。 ③ ② 解：选择甲同学的解法： 原式＝ ＝ ＝ ＝2x。 选择乙同学的解法： 原式＝ ＝ ＝x－1＋x＋1 ＝2x。 (答案不唯一，选择一种即可) 谢谢观看! $