专题03 平行与相交（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 以“概念-操作-应用”为主线，系统整合平行垂直特征、画图方法及距离应用，通过步骤化方法提炼与变式训练，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行与垂直的特征、性质|1典例+3变式|位置关系分类、定义性质辨析|从平面内直线位置关系切入，构建平行与垂直的概念体系| |画平行线|1典例+3变式|“一贴二靠三移四画”四步法|工具操作与几何原理结合，强化规范作图能力| |画垂线|1典例+3变式|直线上/外点垂线画法，垂线段最短|从作图步骤到性质应用，形成操作-原理认知链| |点到直线的距离|1典例+3变式|距离定义及实际应用（跳远、修路）|概念内涵延伸至生活场景，发展应用意识|

专题03 平行与相交 目录概览 题型一、平行与垂直的特征、性质 1 题型二、画平行线 2 题型三、画垂线 4 题型四、点到直线的距离 5 题型演练 题型一、平行与垂直的特征、性质 知识积累 1.同一平面内的两条直线的位置关系： (1)在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种： 和 。 (2)注意：“同一平面”是前提，不在同一平面内的两条直线既不相交也不平行（称为异面直线，初中阶段学习）。 2.平行的定义与性质： (1)定义：在同一个平面内， 的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2)表示方法：直线 与直线 平行，记作 ，读作“ ”。 (3)性质： (4)平行线之间的距离处处 。 (5)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 。 3.垂直的定义与性质： (1)定义：两条直线相交成 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做 。 (2)表示方法：直线 与直线 垂直，记作 ，读作“ ”。 (3)性质： (4)过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。 (5)如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相 。 4.特殊情况：长方形和正方形的相邻两边互相 ，相对的两边互相 。 例题讲解 【典例1】在同一平面内的两条直线的位置关系有( )和( )，不相交的两条直线互相( )，相交成直角的两条直线互相( )。 举一反三 【变式1-1】下面是4位同学学习“同一平面内两条直线的位置关系”这一知识后所画的关系图，你认为合理的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1-2】把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．可能互相垂直，也可能互相平行 C．互相垂直 D．相交但不垂直 【变式1-3】有4条直线（如图），其中，与直线垂直的直线有( )条，直线与直线( )平行。 题型二、画平行线 知识积累 1.工具准备：画平行线通常需要用到 和 。 2.画图步骤（“一贴、二靠、三移、四画”）： (1)一贴：将三角尺的一条直角边贴在已知直线上。 (2)二靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（或斜边，视具体操作习惯，通常靠住非贴合边以固定方向）。 (3)三移：固定直尺不动，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的贴合边经过指定的点（如果是过点画平行线）或到达指定位置。 (4)四画：沿三角尺的贴合边画出直线。 (5)标注：画上平行符号 。 3.注意事项：平移过程中，直尺必须保持固定不动，三角尺必须紧贴直尺滑动，以确保角度不变。 例题讲解 【典例2】如图，过已知直线外一点A，分别画出已知直线的平行线。 举一反三 【变式2-1】在如图所示中画出两条互相平行的直线。 【变式2-2】作图。过B点作直线b的平行线。 【变式2-3】按要求在下面的方格图上画一画。 过点C作直线的平行线。 题型三、画垂线 知识积累 1.过直线上一点画垂线： (1)步骤： ①　将三角尺的一条直角边与已知直线 。 ②　沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点 。 ③　沿三角尺的另一条直角边画直线。 ④　标出 。 2.过直线外一点画垂线： (1)步骤： ①　将三角尺的一条直角边与已知直线 。 ②　沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。 ③　沿这条直角边画直线，经过已知点。 ④　标出 和 。 3.核心结论：从直线外一点到这条直线所画的线段中， 最短。 例题讲解 【典例3】过A点画一条直线与已知直线垂直。 举一反三 【变式3-1】过点A和点B分别画直线l的垂线。 【变式3-2】过A点画已知直线的平行线和垂线。 【变式3-3】如图，过C点作一条与AB平行的直线，再过B点作一条与AC垂直的直线。 题型四、点到直线的距离 知识积累 1.定义： (1)从直线外一点到这条直线所画的 的长度，叫做这点到直线的距离。 (2)注意：距离是指线段的 （数值），而不是线段本身。 2.性质应用： (1)垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 。 (2)实际应用： (3)测定跳远成绩时，测量的是从起跳线到落地点之间的 距离。 (4)修路时，从村庄向公路修一条最短的路，应沿 方向修建。 (5)测量房屋宽度或高度时，卷尺要与地面或墙面 。 3.平行线间的距离： (1)两条平行线之间可以画 条垂直线段。 (2)这些垂直线段的长度都 ，所以平行线间的距离处处相等。 例题讲解 【典例4】小明想把大街上的自来水管道接到家，怎样接比较合适？画出示意图来。 举一反三 【变式4-1】体育课上练习跳远。小明在点A处起跳，落在了点B处。要测量他的跳远成绩，应该测量哪一段的长度，请你在下图中画出来。 【变式4-2】某村庄在107国道的西侧。为了方便村民，村里决定从甲处修一条路通往107国道，怎样修路线最近？请在图中画出来，并说明理由。 【变式4-3】工人要从自来水主水管接一条分水管到李新家里，怎样规划最节省水管？请画图表示。并说出理由。 理由：________________________________________。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行与相交 目录概览 题型一、平行与垂直的特征、性质 1 题型二、画平行线 3 题型三、画垂线 6 题型四、点到直线的距离 9 题型演练 题型一、平行与垂直的特征、性质 知识积累 1.同一平面内的两条直线的位置关系： (1)在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行 和 相交。 (2)注意：“同一平面”是前提，不在同一平面内的两条直线既不相交也不平行（称为异面直线，初中阶段学习）。 2.平行的定义与性质： (1)定义：在同一个平面内，不相交 的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2)表示方法：直线 与直线 平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 (3)性质： (4)平行线之间的距离处处 相等。 (5)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行。 3.垂直的定义与性质： (1)定义：两条直线相交成 直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做 垂足。 (2)表示方法：直线 与直线 垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 (3)性质： (4)过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直。 (5)如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相 平行。 4.特殊情况：长方形和正方形的相邻两边互相 垂直，相对的两边互相 平行。 例题讲解 【典例1】在同一平面内的两条直线的位置关系有( )和( )，不相交的两条直线互相( )，相交成直角的两条直线互相( )。 【答案】 相交 平行 平行 垂直 【分析】根据平行线的含义：在同一个平面内两条不相交的直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；据此解答。 【详解】在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交，不相交的两条直线互相平行，相交成直角的两条直线互相垂直。 举一反三 【变式1-1】下面是4位同学学习“同一平面内两条直线的位置关系”这一知识后所画的关系图，你认为合理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线叫做相交直线。根据平行、垂直和相交的特点，垂直一定相交，相交不一定垂直，但平行的两条直线一定不相交，据此解答即可。 【详解】A．它表示的是相交的两条直线会出现平行的情况，这是错误的，不符合题意。 B．它表示的是平行的两条直线一定不相交，两条直线相交时出现垂直的情况，符合题意。 C．它表示的是相交的两条直线都是垂直的，这是错误的，不符合题意。 D．它表示的是相交的两条直线不会出现垂直的情况，这是错误的，不符合题意。 【变式1-2】把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．可能互相垂直，也可能互相平行 C．互相垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】在同一平面内不相交的两条直线互相平行，在同一平面内相交成直角的两条直线互相垂直；根据题意，如果把一张长方形纸两次对折的方向相同，则对折后展开的图形如图，两条折痕互相平行；如果把一张长方形纸两次对折的方向不同，则对折后展开的图形如图，则两条折痕互相垂直。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是，可能互相垂直，也可能互相平行。 【变式1-3】有4条直线（如图），其中，与直线垂直的直线有( )条，直线与直线( )平行。 【答案】 2 【分析】从图中可以明显看出，直线a和直线b都与直线c相交且形成直角，根据垂直的定义，在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，所以与直线c垂直的直线有2条。同时，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a和直线b在图中没有交点，所以直线a与直线b平行。 【详解】根据分析可知，与直线垂直的直线有2条，直线与直线b平行。 题型二、画平行线 知识积累 1.工具准备：画平行线通常需要用到 三角尺 和 直尺。 2.画图步骤（“一贴、二靠、三移、四画”）： (1)一贴：将三角尺的一条直角边贴在已知直线上。 (2)二靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（或斜边，视具体操作习惯，通常靠住非贴合边以固定方向）。 (3)三移：固定直尺不动，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的贴合边经过指定的点（如果是过点画平行线）或到达指定位置。 (4)四画：沿三角尺的贴合边画出直线。 (5)标注：画上平行符号 。 3.注意事项：平移过程中，直尺必须保持固定不动，三角尺必须紧贴直尺滑动，以确保角度不变。 例题讲解 【典例2】如图，过已知直线外一点A，分别画出已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过A点画平行线方法：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来与已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 【点睛】熟练掌握过一点画已知直线的平行线的方法是解答此题的关键。 举一反三 【变式2-1】在如图所示中画出两条互相平行的直线。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此作图。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。 【变式2-2】作图。过B点作直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】把三角板的一条直角边与直线b重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】作图如下： 【变式2-3】按要求在下面的方格图上画一画。 过点C作直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】观察方格图可知，直线AB是沿方格的水平横向直线，方格中同一方向的水平格线互相平行； 只需要过点C沿水平横向格线画一条直线，这条直线就是AB的平行线，作图即可。 【详解】如图： 题型三、画垂线 知识积累 1.过直线上一点画垂线： (1)步骤： ①　将三角尺的一条直角边与已知直线 重合。 ②　沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点 重合。 ③　沿三角尺的另一条直角边画直线。 ④　标出 直角符号。 2.过直线外一点画垂线： (1)步骤： ①　将三角尺的一条直角边与已知直线 重合。 ②　沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。 ③　沿这条直角边画直线，经过已知点。 ④　标出 直角符号 和 垂足。 3.核心结论：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段 最短。 例题讲解 【典例3】过A点画一条直线与已知直线垂直。 【答案】见详解。 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】如图： 【点睛】本题考查了作垂线段的方法，要灵活运用三角尺的直角边画图。 举一反三 【变式3-1】过点A和点B分别画直线l的垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A、B点重合，过A、B沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图： 【点睛】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。 【变式3-2】过A点画已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】根据画平行线和画垂线的方法作图：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使A点在三角尺上，沿直角边过A点画出另一条直线即可。用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】过A点画已知直线的垂线，过A点画已知直线的平行线，画图如下： 【变式3-3】如图，过C点作一条与AB平行的直线，再过B点作一条与AC垂直的直线。 【答案】见详解 【分析】把三角尺的一条直角边和已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过C点与AB平行的直线。 用直角三角尺的一条直角边和AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线，即可画出经过B点与AC垂直的直线。 【详解】 题型四、点到直线的距离 知识积累 1.定义： (1)从直线外一点到这条直线所画的 垂直线段 的长度，叫做这点到直线的距离。 (2)注意：距离是指线段的 长度（数值），而不是线段本身。 2.性质应用： (1)垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。 (2)实际应用： (3)测定跳远成绩时，测量的是从起跳线到落地点之间的 垂直 距离。 (4)修路时，从村庄向公路修一条最短的路，应沿 垂直 方向修建。 (5)测量房屋宽度或高度时，卷尺要与地面或墙面 垂直。 3.平行线间的距离： (1)两条平行线之间可以画 无数 条垂直线段。 (2)这些垂直线段的长度都 相等，所以平行线间的距离处处相等。 例题讲解 【典例4】小明想把大街上的自来水管道接到家，怎样接比较合适？画出示意图来。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短； 从小明家向大街边（离小明家较近的一边）作垂线交大街边于一点，从小明家到这点的距离最近，这样接比较合适，据此解答即可。 【详解】根据分析画图如下： 举一反三 【变式4-1】体育课上练习跳远。小明在点A处起跳，落在了点B处。要测量他的跳远成绩，应该测量哪一段的长度，请你在下图中画出来。 【答案】见详解 【分析】测量时，以后面脚印的脚后跟（B点）与起跳线的垂线段的长度作为他的跳远成绩。 【详解】从后面脚印的脚后跟（B点）作起跳线的垂线段即可。 【变式4-2】某村庄在107国道的西侧。为了方便村民，村里决定从甲处修一条路通往107国道，怎样修路线最近？请在图中画出来，并说明理由。 【答案】画图见详解；理由：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。 【分析】点到直线的距离，垂线段最短。把甲处看作一个点，国道看作一条直线，根据“垂线段最短”的性质，从甲处画一条到公路边的垂线，按照这条线来修路，就是最近的路。据此解答。 【详解】 理由：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。 【变式4-3】工人要从自来水主水管接一条分水管到李新家里，怎样规划最节省水管？请画图表示。并说出理由。 理由：________________________________________。 【答案】 图见详解；理由见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要规划最节省水管，则从李新家向主水管作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 理由： 直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段长度最短，因此这样规划最节省水管。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $