专题08 数学百花园（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 聚焦鸽巢问题与和差问题，构建"概念-方法-应用"三阶体系，通过原理推导与变式训练培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |鸽巢问题初步|1典例+3变式|平均分思想，最不利原则，至少数=商+1|从鸽巢/鸽子概念到原理核心，通过"至少"含义解析构建解题步骤| |和差问题|1典例+3变式|线段图法，大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2|从问题特征(已知和与差)到线段图直观建模，推导公式并验证关系|

专题08 数学百花园 目录概览 题型一、鸽巢问题初步 1 题型二、和差问题 3 题型演练 题型一、鸽巢问题初步 知识积累 1. 基本概念 (1)鸽巢（抽屉）：用来装物体的容器或分类的标准，通常数量较少。 (2)鸽子（物体）：需要被分配的具体物品或对象，通常数量较多。 (3)原理核心：把 个物体放入 个抽屉里（ ），如果 （ ），那么总有一个抽屉里至少放进了 个物体。 2. “至少”的含义 (1)“总有”意味着一定存在，不管怎么分都会出现这种情况。 (2)“至少”表示最少的数量，实际可能更多，但我们只保证这个最小值。 3. 解题步骤 解决鸽巢问题通常采用“平均分”的思路，即考虑最坏（最不利）的情况： (1)平均分：尽量让每个抽屉里的物体数量一样多。 (2)看余数：如果有余数，剩下的物体无论放入哪个抽屉，都会使该抽屉的数量加 1。 (3)得结论：至少数 = 商 + 1。 例题讲解 【典例1】将11颗玻璃珠放入3个盘子里，总有一个盘子里至少放( )颗玻璃珠。 【答案】4 【分析】要保证“总有一个盘子里至少放几颗”，就要先考虑“平均分配时，每个盘子里放得尽量平均”的情况，再看剩余的珠子怎么分配。11颗玻璃珠放入3个盘子里，用除法计算平均分配的结果，再根据余数判断“至少数”。 【详解】11÷3＝3……2（颗） 剩余的2颗玻璃珠放入2个盘子中： 3＋1＝4（颗） 举一反三 【变式1-1】皮鞋店购进6种品牌的皮鞋共50双，总有一种品牌的皮鞋不少于（    ）双。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，先将50双皮鞋平均分给6种品牌，每种品牌分得8双，还剩下2双，这2双皮鞋，无论分给哪种品牌，总有一种品牌至少有9双皮鞋。 【详解】50÷6＝8（双）……2（双） 8＋1＝9（双） 【变式1-2】文林小学六年级有428人，至少有( )人的生日是在同一天。六（2）班有42名学生，至少有( )人的生日是在同一个月。 【答案】 2 4 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】将对应总人数看作放在抽屉里的物体，一年的天数和总月数看作抽屉数。 一年有365天，428÷365＝1（人）……63（人），1＋1＝2（人） 至少有2人的生日是在同一天。 一年有12个月，42÷12＝3（人）……6（人），3＋1＝4（人） 至少有4人的生日是在同一个月。 【变式1-3】把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 【答案】8个 【分析】利用抽屉原理反向求最多盒子数，先把每个盒子先放4个，余下的1个任意放就满足至少有1盒有5个，用总数减1再除以4即可算出最多盒子数。 【详解】 答：最多有8个盒子。 题型二、和差问题 知识积累 1. 问题特征：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数分别是多少。 2. 解题思路：线段图法 画线段图是解决和差问题最直观的方法。 (1)用一条线段表示大数，另一条较短的线段表示小数。 (2)在图上标出两数之和（总长度）和两数之差（多出的部分）。 3. 核心公式 (1)求大数： 理解：假设给小数补上“差”的部分，使其和大数一样多，此时总和变成了“和+差”，且相当于 2 个大数。 (2)求小数： 理解：假设从大数里去掉“差”的部分，使其和小数一样多，此时总和变成了“和-差”，且相当于 2 个小数。 (3)验证关系： 例题讲解 【典例2】三只小白兔比赛拔萝卜，已知第一名比第二名多拔了7个萝卜，第二名比第三名多拔了11个萝卜，三只小白兔一共拔了80个萝卜，那么第一名拔了( )个萝卜。 【答案】35 【分析】从题意中可知，第一名和第三名都是和第二名比较的，假设三只小白兔都拔萝卜的个数是第二名的数量，则第一名比第二名多拔了7个萝卜，也就是说第一名要减去7个萝卜就是第二名的数量，则需要在总数上减去7个。同理第二名比第三名多拔了11个萝卜，也就是说第三名要加上11个萝卜就是第二名的数量，即在总数上加上11个。这样三个小兔子的萝卜的个数相等，且拔的萝卜总数为84个。那么第二名的数量＝总数÷3。则第一名的数量＝第二名的数量＋7。 【详解】（80－7＋11）÷3 ＝84÷3 ＝28（个） 28＋7＝35（个） 则第一名拔了35个。 举一反三 【变式2-1】全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 【答案】C 【分析】男生的人数＋女生的人数＝45人，男生的人数－女生的人数＝3人，则女生人数＝男生人数－3人，男生人数＋男生人数－3人＝45人，因此用45人加3人后，再除以2即可得到男生人数，依此计算。 【详解】45＋3＝48（人） 48÷2＝24（人） 即男生有24人 故答案为：C 【点睛】熟练掌握和差问题的计算是解答此题的关键。 【变式2-2】在“垃圾分类知多少”知识竞赛中，曲米和曲妍一共得了8.68分，已知曲米比曲妍多得2.68分，两人各得了多少分？ 【答案】曲妍3分，曲米5.68分 【分析】根据和差公式：（和－差）÷2＝小数，即可求出曲妍得多少分，再加上曲米比曲妍多得分数，即可求出曲米得多少分；据此解答。 【详解】曲妍得分： （8.68－2.68）÷2 ＝6÷2 ＝3（分） 曲米得分：3＋2.68＝5.68（分） 答：曲妍得了3分，曲米得了5.68分。 【点睛】掌握和差问题的计算方法是解答本题的关键。 【变式2-3】四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 【答案】图见详解；男生24人；女生36人 【分析】先根据已知条件把线段图补充完整，因为男生比女生少12人，所以虚线部分表示少12人，若给男生增加12人，则此时男生与女生人数相同，所以60加12求出和，再用所得和除以2即可求出女生的人数，最后用总人数减女生人数即可求出男生人数。据此解答。 【详解】 （60＋12）÷2 ＝72÷2 ＝36（人） 男生：60－36＝24（人） 答：体操队的男生有24人，女生36人。 【点睛】较大的数＝（和＋差）÷2，较小数＝和－较大数，根据和差问题公式直接计算。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数学百花园 目录概览 题型一、鸽巢问题初步 1 题型二、和差问题 2 题型演练 题型一、鸽巢问题初步 知识积累 1. 基本概念 (1)鸽巢（抽屉）：用来装物体的容器或分类的标准，通常数量较 。 (2)鸽子（物体）：需要被分配的具体物品或对象，通常数量较 。 (3)原理核心：把 个物体放入 个抽屉里（ ），如果 （ ），那么总有一个抽屉里至少放进了 个物体。 2. “至少”的含义 (1)“总有”意味着 存在，不管怎么分都会出现这种情况。 (2)“至少”表示 的数量，实际可能更多，但我们只保证这个最小值。 3. 解题步骤 解决鸽巢问题通常采用“平均分”的思路，即考虑最坏（最不利）的情况： (1)平均分：尽量让每个抽屉里的物体数量一样多。 (2)看余数：如果有余数，剩下的物体无论放入哪个抽屉，都会使该抽屉的数量加 1。 (3)得结论：至少数 = 商 + 1。 例题讲解 【典例1】将11颗玻璃珠放入3个盘子里，总有一个盘子里至少放( )颗玻璃珠。 举一反三 【变式1-1】皮鞋店购进6种品牌的皮鞋共50双，总有一种品牌的皮鞋不少于（    ）双。 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-2】文林小学六年级有428人，至少有( )人的生日是在同一天。六（2）班有42名学生，至少有( )人的生日是在同一个月。 【变式1-3】把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 题型二、和差问题 知识积累 1. 问题特征：已知两个数的 与这两个数的 ，求这两个数分别是多少。 2. 解题思路：线段图法 画线段图是解决和差问题最直观的方法。 (1)用一条线段表示 ，另一条较短的线段表示 。 (2)在图上标出两数之 （总长度）和两数之 （多出的部分）。 3. 核心公式 (1)求大数： 理解：假设给小数补上“差”的部分，使其和大数一样多，此时总和变成了“和+差”，且相当于 2 个大数。 (2)求小数： 理解：假设从大数里去掉“差”的部分，使其和小数一样多，此时总和变成了“和-差”，且相当于 2 个小数。 (3)验证关系： 例题讲解 【典例2】三只小白兔比赛拔萝卜，已知第一名比第二名多拔了7个萝卜，第二名比第三名多拔了11个萝卜，三只小白兔一共拔了80个萝卜，那么第一名拔了( )个萝卜。 举一反三 【变式2-1】全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 【变式2-2】在“垃圾分类知多少”知识竞赛中，曲米和曲妍一共得了8.68分，已知曲米比曲妍多得2.68分，两人各得了多少分？ 【变式2-3】四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $