专题06 数学百花园（专项训练）五年级数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 聚焦组合体表面积计算与分数转化运算，通过分类规律总结与直观方法提炼，构建“原理-技巧-应用”三阶训练体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |组合体的表面积|1典例+3变式|挖去位置规律（口诀）、平移补全法、六面计数法|从顶点/棱/面挖去分类→特殊“缺角”体→不规则组合体，形成空间几何直观认知链| |分数转化计算|1典例+3变式|裂项相消法（公式+抵消技巧）、数形结合直观|从裂项原理→连锁抵消技巧→图形分割理解，渗透推理意识与极限思想|

专题06 数学百花园 目录概览 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 1 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 4 题型演练 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 知识积累 1. 挖去小正方体后的表面积变化规律 在长方体或正方体的表面挖去一个小正方体时，表面积的变化取决于挖去的位置： (1)顶点处挖去： ①　减少了 3 个面，同时增加了 3 个面。 ②　结论：表面积 不变。 (2)棱上（非顶点）挖去： ①　减少了 2 个面，同时增加了 4 个面。 ②　结论：表面积 增加，实际增加了 2 个小正方形的面积。 (3)面中心（非棱非顶点）挖去： ①　减少了 1 个面，同时增加了 5 个面。 ②　结论：表面积 增加，实际增加了 4 个小正方形的面积。 记忆口诀：顶点挖去不增减，棱上挖去加两面，面中挖去加四面。 2. “缺角”长方体的表面积计算（平移法/补全法） 对于从长方体顶点处切去一个小长方体或小正方体形成的立体图形： (1)原理：利用 平移 的方法，将凹进去的面分别向外平移，可以补成一个完整的长方体。 (2)结论：此类“缺角”立体图形的表面积 等于 原完整长方体的表面积。 (3)计算公式： 2。 3. 不规则组合体的表面积计算 对于由多个小正方体堆叠而成的不规则物体，可以通过数各个方向看到的正方形面数来计算： (1)方法：分别数出从前、后、左、右、上、下六个方向看到的小正方形个数。 ①　前后面看到的个数通常 相等。 ②　左右面看到的个数通常 相等。 ③　上下面看到的个数通常 相等。 (2)总表面积： 每个小正方形的面积。 (3)注意：如果有重叠或被遮挡导致某些方向视图不对称，需单独仔细计数，但大多数规则堆叠体符合上述对称规律。 例题讲解 【典例1】下图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。将它挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来一样 【答案】A 【分析】据图可知，挖掉一个小正方体后，长方体在减少两个边长为1厘米的正方形面的同时增加了4个边长为1厘米的正方形面， 因此，长方体共增加2个边长为1厘米的正方形面，所以表面积比原来大。 【详解】根据分析可知，一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。将它挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，它的表面积比原来大。 举一反三 【变式1-1】下图是由若干个小正方体拼成的立体图形，每个小正方体的棱长都是2厘米，这个立体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．96 C．80 【答案】A 【分析】看图，这个立体图形是长方体缺了一个角，缺角部分少的表面积和由于缺角多出的表面积相等，那么求这个立体图形的表面积，就是求一个完整长方体的表面积。长方体的长、宽、高分别是（3×2）厘米、（2×2）厘米和（2×2）厘米，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式求出这个立体图形的表面积即可。 【详解】3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方厘米） 所以，这个立体图形的表面积是128平方厘米。 故答案为：A 【点睛】本题考查了组合体和长方体的表面积，掌握表面积的定义、长方体的表面积公式是解题的关键。 【变式1-2】用棱长为1cm的小正方体组成一个长方体（如图），挖去( )号小正方体后表面积增加最多。 【答案】③ 【分析】因为每个小正方体的棱长都是1cm，所以小正方体的每个面面积相等，解决时，可以从挖去小正方体后，是增加的面多还是减少的面多去判断。如果挖去后，比原来增加的面越多，表面积增加就越多。 【详解】如果挖去①号小正方体，新增加3个面，减少了3个面，长方体表面积不变； 如果挖去②号小正方体，新增加4个面，减少了2个面，实际增加了2个面； 如果挖去③号小正方体，新增加5个面，减少了1个面，实际增加了4个面； 如果挖去④号小正方体，新增加3个面，减少了3个面，长方体表面积不变。 所以，挖去（ ③ ）号小正方体后表面积增加最多。 【点睛】因为小正方体每个面面积相等，逐个分析挖去小正方体后，增加的面数越多，增加的表面积就越多。 【变式1-3】如图每个小正方体的棱长是1厘米。此不规则物体的表面积是( )平方厘米。 【答案】28 【分析】组合图形朝前、后、左、右的面各包含5个边长1厘米的小正方形，朝上、下的面各包含4个边长1厘米的小正方形，这些小正方形的面积之和即为所求。 【详解】组合图形6个面包含小正方形的个数：5×4＋4×2 ＝20＋8 ＝28（个） 表面积：1×1×28 ＝1×28 ＝28（平方厘米） 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 知识积累 1. 裂项相消法的基本原理 当一个分数的分子是 1，分母是两个连续自然数（或相差为定值的数）的乘积时，可以将该分数拆分为两个分数相减的形式。 (1)基本公式： (2)示例： ①　 ②　 ③　 2. 连锁抵消计算技巧 在计算一串具有上述规律的分数之和时，中间项会相互抵消，只保留首项和末项。 (1)算式结构： (2)拆分过程： (3)最终结果： 。 (4)核心要点：中间所有项全部抵消，结果等于 第一个分数的被减数 减去 最后一个分数的减数。 3. 数形结合理解 (1)借助图形（如正方形面积分割），可以看到 这类算式，随着项数增加，总和越来越接近 1。 (2)对于 类型的计算，可以理解为整体“1”减去最后剩余的极小部分，体现了 极限 思想的初步渗透。 例题讲解 【典例2】先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（    ）（请写出计算过程） 【答案】； ； ； （计算过程见详解） 【分析】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。 （2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。 （3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。 【详解】 ＝ 计算过程如下： ＝ ＝1－ ＝ 【点睛】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。 举一反三 【变式2-1】找规律，写得数。＝1－，＝－，＝－，根据上面的等式，则：＋＋＋＋＝( )。 【答案】 【分析】观察可知，每个分数的分子都是1，分母可以拆成两个连续整数的乘积，这个分数可能拆成：＝＝1－，＝＝－，＝＝－，据此将＋＋＋＋中的每个加数都拆成两数相减的形式，中间抵消，最后只算1－即可。 【详解】 ＝1－ ＝1－ ＝ 【变式2-2】已知，，，那么( )。 【答案】 【分析】根据已知，可以将算式中的转化为，转化为，转化为，再将括号去掉，在去掉括号的过程中，注意括号前面的符号，如果是加号就直接去括号，不改变括号里面的符号，如果括号前面是减号，就要将括号里面的加号便减号，减号变加号，然后再计算，可以简便计算。 【详解】 则 【变式2-3】1＋＋＋＋＋…＋ 【答案】 【分析】通过观察可知，后一个分数是前一个分数的，可以把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后去括号求出结果，据此解答。 【详解】1＋＋＋＋＋…＋ ＝1＋（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－） ＝1＋1－＋－＋－＋－＋…＋－ ＝2－ ＝ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数学百花园 目录概览 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 1 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 3 题型演练 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 知识积累 1. 挖去小正方体后的表面积变化规律 在长方体或正方体的表面挖去一个小正方体时，表面积的变化取决于挖去的位置： (1)顶点处挖去： ①　减少了 个面，同时增加了 个面。 ②　结论：表面积 。 (2)棱上（非顶点）挖去： ①　减少了 个面，同时增加了 个面。 ②　结论：表面积 ，实际增加了 个小正方形的面积。 (3)面中心（非棱非顶点）挖去： ①　减少了 个面，同时增加了 个面。 ②　结论：表面积 ，实际增加了 个小正方形的面积。 记忆口诀：顶点挖去不增减，棱上挖去加两面，面中挖去加四面。 2. “缺角”长方体的表面积计算（平移法/补全法） 对于从长方体顶点处切去一个小长方体或小正方体形成的立体图形： (1)原理：利用 平移 的方法，将凹进去的面分别向外平移，可以补成一个完整的长方体。 (2)结论：此类“缺角”立体图形的表面积 原完整长方体的表面积。 (3)计算公式： 。 3. 不规则组合体的表面积计算 对于由多个小正方体堆叠而成的不规则物体，可以通过数各个方向看到的正方形面数来计算： (1)方法：分别数出从前、后、左、右、上、下六个方向看到的小正方形个数。 ①　前后面看到的个数通常 相等。 ②　左右面看到的个数通常 相等。 ③　上下面看到的个数通常 相等。 (2)总表面积： 每个小正方形的面积。 (3)注意：如果有重叠或被遮挡导致某些方向视图不对称，需单独仔细计数，但大多数规则堆叠体符合上述对称规律。 例题讲解 【典例1】下图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。将它挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来一样 举一反三 【变式1-1】下图是由若干个小正方体拼成的立体图形，每个小正方体的棱长都是2厘米，这个立体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．96 C．80 【变式1-2】用棱长为1cm的小正方体组成一个长方体（如图），挖去( )号小正方体后表面积增加最多。 【变式1-3】如图每个小正方体的棱长是1厘米。此不规则物体的表面积是( )平方厘米。 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 知识积累 1. 裂项相消法的基本原理 当一个分数的分子是 1，分母是两个连续自然数（或相差为定值的数）的乘积时，可以将该分数拆分为两个分数相减的形式。 (1)基本公式： (2)示例： ①　 ②　 ③　 2. 连锁抵消计算技巧 在计算一串具有上述规律的分数之和时，中间项会相互抵消，只保留首项和末项。 (1)算式结构： (2)拆分过程： (3)最终结果： 。 (4)核心要点：中间所有项全部抵消，结果等于 第一个分数的被减数 减去 最后一个分数的减数。 3. 数形结合理解 (1)借助图形（如正方形面积分割），可以看到 这类算式，随着项数增加，总和越来越接近 。 (2)对于 类型的计算，可以理解为整体“1”减去最后剩余的极小部分，体现了 极限 思想的初步渗透。 例题讲解 【典例2】先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（    ）（请写出计算过程） 举一反三 【变式2-1】找规律，写得数。＝1－，＝－，＝－，根据上面的等式，则：＋＋＋＋＝( )。 【变式2-2】已知，，，那么( )。 【变式2-3】1＋＋＋＋＋…＋ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $