专题03 因数和倍数（专项训练）五年级数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 以“概念-特征-关系-应用”为逻辑主线，系统整合因数和倍数的10类核心题型，通过“知识积累-例题讲解-举一反三”三阶训练，强化抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |基础概念|3题型（因数倍数认识等）|列乘除算式法|从定义出发，构建因数倍数相互依存关系| |特征应用|2题型（2、3、5倍数特征等）|数字特征分析法|由概念衍生奇数偶数等特征判断规则| |数的分类|1题型（质数合数）|定义判断法|基于因数个数实现自然数分类| |关系与应用|4题型（最大公因数/最小公倍数应用）|列举/短除法及实际问题模型构建|从公因数公倍数关系递进至“分割/周期”类问题解决|

专题03 因数和倍数 目录概览 题型一、因数和倍数的认识 1 题型二、找一个数的因数及因数的特征 2 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 2 题型四、2、3、5的倍数特征 3 题型五、奇数与偶数 4 题型六、质数与合数 5 题型七、公因数与最大公因数 5 题型八、用最大公因数解决实际问题 6 题型九、公倍数与最小公倍数 8 题型十、用最小公倍数解决实际问题 9 题型演练 题型一、因数和倍数的认识 知识积累 1.在整数除法中，如果商是 而没有余数，我们就说被除数是除数的 ，除数是被除数的 。 2.为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是 （一般不包括0）。 3.因数和倍数是相互 的，不能单独存在。例如：因为 ，所以 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 例题讲解 【典例1】因为24÷4＝6，所以24是4的( )数，4是24的( )数。 举一反三 【变式1-1】已知（a、b都是大于0的自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．a是b和8的因数 D．a是b和8的倍数 【变式1-2】因为，所以20是倍数，2是因数。( ) 【变式1-3】720÷8＝90，所以( )和( )是( )的因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 知识积累 1.找因数的方法： (1)列乘法算式：想哪两个数相乘等于这个数。例如找18的因数： ， ， 。 (2)列除法算式：用这个数分别除以1, 2, 3...直到商小于除数为止。 2.表示方法：18的因数有： 。 3.因数的特征： (1)一个数的最小因数是 。 (2)一个数的最大因数是 。 (3)一个数的因数的个数是 的。 例题讲解 【典例2】42的因数有( )。 举一反三 【变式2-1】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．12 B．16 C．18 D．24 【变式2-2】18的因数有( )。 【变式2-3】一个数的最大因数是24，这个数是( )，它的因数有( )。 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 知识积累 1.找倍数的方法：用这个数分别乘1, 2, 3, 4, 5... (1)例如：2的倍数有 2.倍数的特征： (1)一个数的最小倍数是 。 (2)一个数 最大的倍数。 (3)一个数的倍数的个数是 的。 例题讲解 【典例3】24的因数有( )；40以内（不含40）8的倍数有( )。 举一反三 【变式3-1】下列各数中，既是6的倍数，又是30的因数的是（    ）。 A．6 B．5 C．12 D．18 【变式3-2】27的因数有( )；40以内9的倍数有( )。 【变式3-3】一个数的最小倍数是27，这个数是( )。 题型四、2、3、5的倍数特征 知识积累 1.2的倍数特征：个位上是 的数。 2.5的倍数特征：个位上是 或 的数。 3.3的倍数特征：一个数 是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.同时是2、3、5的倍数特征： (1)个位必须是 （满足2和5的特征）。 (2)各位数字之和必须是 的倍数。 (3)示例：最小的三位数同时是2、3、5的倍数是 。 例题讲解 【典例4】同时是2和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。同时是2、3和5的倍数的最小的三位数是( )。 举一反三 【变式4-1】将数字5728至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数5，至少减去( )是2、3、5的倍数。 【变式4-2】一个四位数4□3□，它既是2的倍数，又是5的倍数，同时还是3的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式4-3】在数字卡片0、5、6、7中，任意选取三张按要求摆三位数。（每小题写2个即可） (1)是2的倍数：______________________________。 (2)是2的倍数，又有因数3：______________________________。 (3)是5的倍数：______________________________。 (4)同时是2、3、5的倍数：______________________________。 题型五、奇数与偶数 知识积累 1.定义： (1)自然数中，是2的倍数的数叫做 （0也是偶数）。 (2)不是2的倍数的数叫做 。 2.运算规律： (1)奇数 + 奇数 = (2)偶数 + 偶数 = (3)奇数 + 偶数 = (4)奇数 奇数 = (5)偶数 任何整数 = 例题讲解 【典例5】在1～10中，最小的奇数是( )，是偶数又是质数的是( )，是奇数又是合数的是( )。 举一反三 【变式5-1】100以内是3、5的倍数的最小的奇数是（    ）。 A．5 B．15 C．45 D．1 【变式5-2】晚上妈妈正开着灯在厨房做饭，宝宝调皮，按了8下开关，这时灯是( )的（填“开”或“关”） 【变式5-3】从0、3、4、5这四个数字中选三个数字按要求组成不同的三位数。 (1)最小的偶数是( )。 (2)最大的奇数是( )。 (3)同时是2、3和5的倍数的数可能是( )或( )。 题型六、质数与合数 知识积累 1.定义： (1)一个数，如果只有 和 两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 (2)一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做 。 (3) 既不是质数，也不是合数。 2.100以内的质数记忆口诀： (1)二、三、五、七、十一； (2)十三、十七、十九、二十三； (3)二十九、三十一、三十七、四十一； (4)四十三、四十七、五十三、五十九； (5)六十一、六十七、七十一、七十三； (6)七十九、八十三、八十九、九十七。 3.最小的质数是 ，最小的合数是 。 例题讲解 【典例6】一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既是奇数又是合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是（    ）。 A．1249 B．2491 C．4129 D．1429 举一反三 【变式6-1】筷子的标准长度是七寸六分，大约25厘米，一双筷子两根放在一起像数字11，超市里卖的一盒筷子通常是8双或者10双。筷子中的数字：7，6，25，1，2，11，8，10，在以上这些数字中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【变式6-2】50以内最大的质数与最小的合数的和是( )，差是( )。 【变式6-3】在括号里填合适的质数。 30＝( )＋( )        42＝( )×( )×( )        18＝( )＋( ) 题型七、公因数与最大公因数 知识积累 1.概念：几个数公有的因数，叫做这几个数的 ；其中最大的一个，叫做这几个数的 。 2.求法： (1)列举法：分别列出各数的因数，找出公共部分。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质为止，将所有除数 。 3.特殊情况： (1)如果两个数成倍数关系，最大公因数是 。 (2)如果两个数只有公因数1（互质），最大公因数是 。 例题讲解 【典例7】28和42的公因数有( )，最大公因数是( )。 举一反三 【变式7-1】a和b是两个非0自然数，它们的关系如图，则a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )。 【变式7-2】若A＝2×5×7，B＝2×5×5，则A和B的最大公因数是( )。 【变式7-3】写出每组中两个数的最大公因数。 11和33     10和9     20和12     9和15 题型八、用最大公因数解决实际问题 知识积累 1.典型场景：裁纸、分小组、铺地砖等“分割”类问题，要求每份同样多且没有剩余。 2.解题关键：求几个数的 。 例题讲解 【典例8】一个房间长48分米，宽3米。如果要用边长是整分米数的正方形瓷砖铺满（使用的瓷砖必须都是整块）。可以选择边长是多少分米的瓷砖？边长最大是多少分米？ 举一反三 【变式8-1】家政体验课上，同学们被分成了若干个小组去完成叠衣服和包书皮这两项任务。将48件衣服和72本书平均分给每个小组，都刚好分完，最多分成了几个小组？此时每个小组各分得几件衣服和几本书？ 【变式8-2】小优有两条长分别为24分米和20分米的长彩带，剪成长度相等的短彩带且没有剩余，她剪成的短彩带每段最长是多少分米？当剪成的短彩带长度最长时，共能剪多少段？ 【变式8-3】有48个男生和36个女生分别排队，要使每排的人数相等，每排最多有几人？一共排了多少排？ 题型九、公倍数与最小公倍数 知识积累 1.概念：几个数公有的倍数，叫做这几个数的 ；其中最小的一个，叫做这几个数的 。 2.求法： (1)列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个公共的倍数。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质为止，将所有除数和最后的商 。 3.特殊情况： (1)如果两个数成倍数关系，最小公倍数是 。 (2)如果两个数互质，最小公倍数是它们的 。 例题讲解 【典例9】求下列各数的最大公因数和最小公倍数。 24和36        33和66        11和13 举一反三 【变式9-1】在（    ）里直接写出最大公因数和最小公倍数。 9和8( )( )    19和38( )( )    8和12( )( ) 【变式9-2】写出下列每个分数中分子和分母的最大公因数和最小公倍数。 ( )______        ( )______    ( )______    ( )______ 【变式9-3】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 题型十、用最小公倍数解决实际问题 知识积累 1.典型场景：再次相遇、同时发车、周期性重合等“合并/周期”类问题。 2.解题关键：求几个数的 。 例题讲解 【典例10】五年级一班学生在30—40人之间，每4人分一组没有剩余，每6人分一组，也没有剩余，这个班学生有多少人？ 举一反三 【变式10-1】佛山咏春拳是国家级非物质文化遗产之一。六一儿童节，学校组织咏春拳列队表演，参加的人数在100~150之间，如果把他们按每组6人分，多3人；按每组9人分，也多3人。参加咏春拳表演的学生最少有( )人。 【变式10-2】1路公共汽车每8分钟发一次车，3路公共汽车每10分钟发一次车。这两路公共汽车早上6：00同时发车后，什么时候第二次同时发车？ 【变式10-3】为庆祝菊花节，公园在入口的喷泉周围摆放了一圈菊花，每隔6分米摆放一盆，共36盆。现在改为每隔4分米摆放一盆，一共有多少盆花不需要移动？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因数和倍数 目录概览 题型一、因数和倍数的认识 1 题型二、找一个数的因数及因数的特征 2 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 4 题型四、2、3、5的倍数特征 6 题型五、奇数与偶数 8 题型六、质数与合数 10 题型七、公因数与最大公因数 12 题型八、用最大公因数解决实际问题 14 题型九、公倍数与最小公倍数 16 题型十、用最小公倍数解决实际问题 20 题型演练 题型一、因数和倍数的认识 知识积累 1.在整数除法中，如果商是 整数 而没有余数，我们就说被除数是除数的 倍数 ，除数是被除数的 因数 。 2.为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是 自然数 （一般不包括0）。 3.因数和倍数是相互 依存 的，不能单独存在。例如：因为 ，所以 2 和 6 是 12 的因数，12 是 2 和 6 的倍数。 例题讲解 【典例1】因为24÷4＝6，所以24是4的( )数，4是24的( )数。 【答案】 倍 因 【分析】在被除数、除数和商都是整数的除法算式中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】因为24÷4＝6，所以24是4的倍数，4是24的因数。 举一反三 【变式1-1】已知（a、b都是大于0的自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．a是b和8的因数 D．a是b和8的倍数 【答案】D 【分析】因数和倍数：如果a÷b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数；如：36÷4＝9，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此判断。 【详解】根据a÷b＝8可知：a是b和8的倍数，b和8是a的因数。 所以正确的说法是：a是b和8的倍数。 【变式1-2】因为，所以20是倍数，2是因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数：如果a÷b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数；如：36÷4＝9，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在，即必须指明谁是谁的因数，谁是谁的倍数，据此判断。 【详解】根据20÷2＝10可知：20是2和10的倍数，2和10是20的因数；原说法错误。 故答案为：× 【变式1-3】720÷8＝90，所以( )和( )是( )的因数。 【答案】 8 9 720 【分析】据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。 【详解】720÷8＝90 所以8和9是720的因数。 【点睛】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 知识积累 1.找因数的方法： (1)列乘法算式：想哪两个数相乘等于这个数。例如找18的因数： ， ， 。 (2)列除法算式：用这个数分别除以1, 2, 3...直到商小于除数为止。 2.表示方法：18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18 。 3.因数的特征： (1)一个数的最小因数是 1 。 (2)一个数的最大因数是 它本身 。 (3)一个数的因数的个数是 有限 的。 例题讲解 【典例2】42的因数有( )。 【答案】1、2、3、6、7、14、21、42 【分析】在整数除法中，如果商是整数而且没有余数，那么除数和商都是被除数的因数。 【详解】1×42＝42；2×21＝42；3×14＝42；6×7＝42 所以1、2、3、6、7、14、21、42都是42的因数。 举一反三 【变式2-1】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】若a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），则a和b是c的因数，逐一找出各选项中数的因数，再确定个数。 【详解】A．12＝1×12＝2×6＝3×4，12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个； B．16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、2、4、8、16，共5个； C．18＝1×18＝2×9＝3×6，18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个； D．24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 综上，8＞6＞5，因数个数最多的是24。 【变式2-2】18的因数有( )。 【答案】1，2，3，6，9，18 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个。 【详解】18÷1＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 18的因数有1，2，3，6，9，18。 【变式2-3】一个数的最大因数是24，这个数是( )，它的因数有( )。 【答案】 24 1，2，3，4，6，8，12，24 【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数， c是a和b的倍数。一个数（0除外）的最大因数是它本身，最小的因数是1，一个数的因数是有限的。找因数时可以用乘法，一对一对找，本题可以通过1×24＝24；2×12＝24；3×8＝24；4×6＝24，找出24的因数即可。 【详解】一个数的最大因数是24，这个数是24 1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 知识积累 1.找倍数的方法：用这个数分别乘1, 2, 3, 4, 5... (1)例如：2的倍数有 2, 4, 6, 8, 10... 2.倍数的特征： (1)一个数的最小倍数是 它本身 。 (2)一个数 没有 最大的倍数。 (3)一个数的倍数的个数是 无限 的。 例题讲解 【典例3】24的因数有( )；40以内（不含40）8的倍数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 8、16、24、32 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此解答。 【详解】24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 40以内（不含40）8的倍数有8、16、24、32。 举一反三 【变式3-1】下列各数中，既是6的倍数，又是30的因数的是（    ）。 A．6 B．5 C．12 D．18 【答案】A 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；先按顺序列举出30的所有因数，再从里面找出6的倍数。 【详解】30÷1＝30 30÷2＝15 30÷3＝10 30÷5＝6 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，其中6的倍数有6、30。 既是6的倍数，又是30的因数的是6和30。但选项中只有6，因此答案为A。 【变式3-2】27的因数有( )；40以内9的倍数有( )。 【答案】 1、3、9、27 9、18、27、36 【分析】找因数可以用“一对一对找”的方法，从1开始，看哪两个数相乘等于27； 找倍数则用9依次乘 1、2、3……，再筛选出小于40的数即可。 【详解】因为1×27＝27，3×9＝27，所以27的因数有：1，3，9，27。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45，（45＞40，舍去） 所以40以内9的倍数有：9，18，27，36。 【变式3-3】一个数的最小倍数是27，这个数是( )。 【答案】 27 【分析】一个不为0的自然数的最小倍数和最大因数都是它本身。 【详解】一个数的最小倍数是27，这个数是。 题型四、2、3、5的倍数特征 知识积累 1.2的倍数特征：个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数。 2.5的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 3.3的倍数特征：一个数 各位上的数的和 是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.同时是2、3、5的倍数特征： (1)个位必须是 0 （满足2和5的特征）。 (2)各位数字之和必须是 3 的倍数。 (3)示例：最小的三位数同时是2、3、5的倍数是 120 。 例题讲解 【典例4】同时是2和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。同时是2、3和5的倍数的最小的三位数是( )。 【答案】 10 90 120 【分析】同时是2和5的倍数：根据2和5的倍数特征，个位数字必须是0。 两位数范围：最小的两位数是10，最大的两位数是99。在个位是0的两位数中寻找最小和最大值。 同时是2、3和5的倍数：个位数字必须是0（满足2和5的倍数），且各位数字之和必须是3的倍数（满足3的倍数）。 三位数范围：最小的三位数是100。从100开始依次查找符合上述条件的数。 【详解】同时是2和5的倍数的最小两位数是10，最大两位数是90。同时是2、3和5的倍数的最小的三位数是120。 举一反三 【变式4-1】将数字5728至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数5，至少减去( )是2、3、5的倍数。 【答案】 1 2 28 【分析】3的倍数特征是各个数位上数字之和是3的倍数；5的倍数特征是个位上是0或5；2、3、5的倍数特征是个位上是0且各个数位上数字之和是3的倍数。 【详解】5＋7＋2＋8＝22 比22小且是3的倍数的数是21，所以22－21＝1，5728减去1后是3的倍数。 5728个位是8，至少加上2个位变为0，此时有因数5。 5728－8＝5720，5＋7＋2＋0＝14，14不是3的倍数。 5728－18＝5710，5＋7＋1＋0＝13，13不是3的倍数。 5728－28＝5700，5＋7＋0＋0＝12，12是3的倍数，所以5728至少减去28是2、3、5的倍数。 【变式4-2】一个四位数4□3□，它既是2的倍数，又是5的倍数，同时还是3的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 4830 4230 【分析】同时是2和5的倍数，个位必为0，四位数为“4□30”；是3的倍数，各位和能被3整除，即4＋□＋3＋0＝7＋□能被3整除；百位最小取2，7＋2＝9能被3整除，得最小数4230；百位最大取8，7＋8＝15能被3整除，得最大数4830。 【详解】所以，这个数最大是4830，最小是4230。 【变式4-3】在数字卡片0、5、6、7中，任意选取三张按要求摆三位数。（每小题写2个即可） (1)是2的倍数：______________________________。 (2)是2的倍数，又有因数3：______________________________。 (3)是5的倍数：______________________________。 (4)同时是2、3、5的倍数：______________________________。 【答案】(1)560；760 (2)570；576 (3)560；605 (4)570；750 【分析】（1）2的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数。 （2）既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （3）5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 （4）2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】（1）是2的倍数：560，760（答案不唯一）。 （2）是2的倍数，又有因数3：570，576（答案不唯一）。 （3）是5的倍数：560，605（答案不唯一） （4）同时是2、3、5的倍数：570，750。 题型五、奇数与偶数 知识积累 1.定义： (1)自然数中，是2的倍数的数叫做 偶数 （0也是偶数）。 (2)不是2的倍数的数叫做 奇数 。 2.运算规律： (1)奇数 + 奇数 = 偶数 (2)偶数 + 偶数 = 偶数 (3)奇数 + 偶数 = 奇数 (4)奇数 奇数 = 奇数 (5)偶数 任何整数 = 偶数 例题讲解 【典例5】在1～10中，最小的奇数是( )，是偶数又是质数的是( )，是奇数又是合数的是( )。 【答案】 1 2 9 【分析】不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此进行解答。 【详解】根据分析： 在1～10中，最小的奇数是1，是偶数又是质数的是2，是奇数又是合数的是9。 举一反三 【变式5-1】100以内是3、5的倍数的最小的奇数是（    ）。 A．5 B．15 C．45 D．1 【答案】B 【分析】5的倍数的数特征是个位是0或5；3的倍数的数特征是各个数位数字之和是3的倍数；奇数的特征是个位是1、3、5、7、9。 【详解】100以内是5的倍数的数：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100，共20个数； 这20个数中是3的倍数的数：15、30、45、60、75、90，共6个数； 这6个数中是奇数的数：15、45、75，共3个数； 这3个数中最小的奇数：15； 100以内是3、5的倍数的最小的奇数是15。 【变式5-2】晚上妈妈正开着灯在厨房做饭，宝宝调皮，按了8下开关，这时灯是( )的（填“开”或“关”） 【答案】开 【分析】灯原本是开着，按1下，灯会关着； 按2下，灯会打开；按3下，灯会关着； 按4下，灯会打开；按5下，灯会关着； 按6下，灯会打开；按7下，灯会关着； 按8下，灯会打开；…… 【详解】结合分析可知：灯按了奇数下，灯是关着的；灯按了偶数下，灯会打开。8是偶数，所以按了8下开关，这时灯是开的。 【变式5-3】从0、3、4、5这四个数字中选三个数字按要求组成不同的三位数。 (1)最小的偶数是( )。 (2)最大的奇数是( )。 (3)同时是2、3和5的倍数的数可能是( )或( )。 【答案】(1)304 (2)543 (3) 450 540 【分析】（1）首先确定个位数字必须是偶数（0或4），其次要使三位数最小，百位数字应尽可能小（不能为0），十位数字次之。 （2）首先确定个位数字必须是奇数（3或5），其次要使三位数最大，百位数字应尽可能大，十位数字次之。 （3）根据2和5的倍数特征，个位必须是0；根据3的倍数特征，各位数字之和必须是3的倍数。 【详解】（1）要使组成的数是偶数，个位数字只能是0或4。若个位是0，剩下的数字中选最小的非零数字放在百位，即百位是3，十位是4，组成的数是340。若个位是4，剩下的数字中选最小的非零数字放在百位，即百位是3，十位是0，组成的数是304。因为304＜340，所以最小的偶数是304。 （2）要使组成的数是奇数，个位数字只能是3或5。若个位是5，剩下的数字中选最大的数字放在百位，即百位是4，十位是3，组成的数是435。若个位是3，剩下的数字中选最大的数字放在百位，即百位是5，十位是4，组成的数是543。因为543＞435，所以最大的奇数是543。 （3）同时是2和5的倍数，个位数字必须是0。此时还需满足是3的倍数，即各位数字之和是3的倍数。 已选个位0，需从3、4、5中再选两个数字，使它们的和是3的倍数。3＋4＝7，不是3 的倍数；3＋5＝8，不是3的倍数；4＋5＝9，是3的倍数。 所以三个数字是4、5、0。将4和5分别放在百位和十位，可以组成450和540。所以同时是2、3和5的倍数的数可能是450或540。 题型六、质数与合数 知识积累 1.定义： (1)一个数，如果只有 1 和 它本身 两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 (2)一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做 合数 。 (3)1 既不是质数，也不是合数。 2.100以内的质数记忆口诀： (1)二、三、五、七、十一； (2)十三、十七、十九、二十三； (3)二十九、三十一、三十七、四十一； (4)四十三、四十七、五十三、五十九； (5)六十一、六十七、七十一、七十三； (6)七十九、八十三、八十九、九十七。 3.最小的质数是2 ，最小的合数是4 。 例题讲解 【典例6】一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既是奇数又是合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是（    ）。 A．1249 B．2491 C．4129 D．1429 【答案】B 【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；合数是大于1且除了1和它本身还有其他因数的自然数，其中1既不是质数也不是合数；奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数（0也是偶数）。据此解答。 【详解】最小的质数是2，所以千位是2； 最小的合数是4，所以百位是4； 一位数中既是奇数又是合数的是9，所以十位是9； 既不是质数也不是合数的是1，所以个位是1； 这个四位数是2491。 举一反三 【变式6-1】筷子的标准长度是七寸六分，大约25厘米，一双筷子两根放在一起像数字11，超市里卖的一盒筷子通常是8双或者10双。筷子中的数字：7，6，25，1，2，11，8，10，在以上这些数字中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 4 4 3 4 【分析】根据偶数、奇数、质数、合数的定义，逐个判断给定数字的类别，统计各类别的数量。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数是质数，否则是合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】给定数字：7，6，25，1，2，11，8，10 偶数：6，2，8，10，共4个 奇数：7，25，1，11，共4个 质数：7，2，11，共3个 合数：6，25，8，10，共4个 【变式6-2】50以内最大的质数与最小的合数的和是( )，差是( )。 【答案】 51 43 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 50以内最大的质数是47，最小的合数是4，分别求出它们的和与差即可。 【详解】和：47＋4＝51 差：47－4＝43 【变式6-3】在括号里填合适的质数。 30＝( )＋( )        42＝( )×( )×( )        18＝( )＋( ) 【答案】 11 19 2 3 7 5 13 【分析】只有1和它本身两个因数的自然数，叫作质数，如2、3、5、7、11、13、17、19、23等，1不是质数。把一个自然数写成两个质数的和的形式，可以从最小的质数想起，直到找到两个加数都是质数为止；把一个自然数写成几个质数相乘的形式，就是把这个数分解质因数，可以用短除法，从最小的质数除起，除到所有的除数和商都是质数为止，再把所有的除数和商连乘起来。 【详解】根据分析可知： 30＝7＋23（或11＋19或13＋17）（答案不唯一） 42＝2×3×7 18＝5＋13（或7＋11）（答案不唯一） 题型七、公因数与最大公因数 知识积累 1.概念：几个数公有的因数，叫做这几个数的 公因数 ；其中最大的一个，叫做这几个数的 最大公因数 。 2.求法： (1)列举法：分别列出各数的因数，找出公共部分。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质为止，将所有除数 相乘 。 3.特殊情况： (1)如果两个数成倍数关系，最大公因数是 较小数 。 (2)如果两个数只有公因数1（互质），最大公因数是 1 。 例题讲解 【典例7】28和42的公因数有( )，最大公因数是( )。 【答案】 1， 2，7，14 14 【分析】几个数公有的因数是它们的公因数，其中最大的就是它们的最大公因数。 【详解】28的因数有：1，2，4，7，14，28 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42 28和42的公因数有：1，2，7，14 最大公因数是：14 举一反三 【变式7-1】a和b是两个非0自然数，它们的关系如图，则a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )。 【答案】 24 16 8 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。 【详解】由图可知： 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中最大的是24，所以是24。 的因数有：1、2、4、8、16，其中最大的是16，所以是16。 和的公因数有：1、2、4、8，其中最大的是8，所以和的最大公因数是8。 【变式7-2】若A＝2×5×7，B＝2×5×5，则A和B的最大公因数是( )。 【答案】 10 【分析】本题考查利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数。 根据最大公因数的定义，两个数公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数。 题目已经给出了A和B的质因数分解形式，只需找出它们公有的质因数，并将这些公有的质因数相乘即可得出结果。 【详解】因为，，观察A和B的质因数分解式，找出它们公有的质因数。 A和B公有的质因数是2和5。 最大公因数是公有质因数的乘积，即：。 所以A和B的最大公因数是10。 【变式7-3】写出每组中两个数的最大公因数。 11和33     10和9     20和12     9和15 【答案】11；1；4；3 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数；两个数为一般关系时，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数为互质关系时，它们的最大公因数是1。 【详解】11和33是倍数关系，最大公因数是11； 10和9是互质关系，最大公因数是1； 20和12是一般关系，20＝2×2×5，12＝2×2×3，最大公因数是2×2＝4； 9和15是一般关系，9＝3×3，15＝3×5，最大公因数是3。 题型八、用最大公因数解决实际问题 知识积累 1.典型场景：裁纸、分小组、铺地砖等“分割”类问题，要求每份同样多且没有剩余。 2.解题关键：求几个数的 最大公因数 。 例题讲解 【典例8】一个房间长48分米，宽3米。如果要用边长是整分米数的正方形瓷砖铺满（使用的瓷砖必须都是整块）。可以选择边长是多少分米的瓷砖？边长最大是多少分米？ 【答案】1分米、2分米、3分米、6分米；6分米 【分析】先根据1米＝10分米，将宽的单位换算成“分米”。因为要用整块正方形瓷砖铺满，所以瓷砖的边长必须既是房间长的因数，也是房间宽的因数，即长和宽的公因数。要求可以选择的边长，即找出所有的公因数，要求边长最大是多少，即找出最大公因数。 【详解】3米＝30分米 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30 48和30的公因数有：1，2，3，6，其中最大的公因数是6。 答：可以选择边长是1分米、2分米、3分米、6分米的瓷砖，边长最大是6分米。 举一反三 【变式8-1】家政体验课上，同学们被分成了若干个小组去完成叠衣服和包书皮这两项任务。将48件衣服和72本书平均分给每个小组，都刚好分完，最多分成了几个小组？此时每个小组各分得几件衣服和几本书？ 【答案】个；件；本 【分析】根据题意，将48件衣服和72本书平均分给每个小组且刚好分完，说明小组的数量既是48的因数，也是72的因数，即小组数量是48和72的公因数。要求最多分成了几个小组，就是求48和72的最大公因数。求出最大公因数后，再用衣服和书的总数分别除以小组数，即可得到每个小组分得的数量。 【详解】48＝2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24。 48÷24＝2（件） 72÷24＝3（本） 答：最多分成了24个小组，此时每个小组分得2件衣服和3本书。 【变式8-2】小优有两条长分别为24分米和20分米的长彩带，剪成长度相等的短彩带且没有剩余，她剪成的短彩带每段最长是多少分米？当剪成的短彩带长度最长时，共能剪多少段？ 【答案】4分米，11段 【分析】将两条彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，说明短彩带的长度必须是两条彩带长度的公因数。要求每段最长，即求24和20的最大公因数。求出每段最长长度后，分别计算两条彩带能剪成的段数，再求和即可得到总段数。 【详解】 24和20的最大公因数是：2×2＝4 所以每段最长是4分米。 24÷4＋20÷4 ＝6＋5 ＝11（段） 答：她剪成的短彩带每段最长是4分米，共能剪11段 【变式8-3】有48个男生和36个女生分别排队，要使每排的人数相等，每排最多有几人？一共排了多少排？ 【答案】12人；7排 【分析】男生和女生分别排队，且每排的人数相等，说明每排的人数必须是男生人数和女生人数的公因数。要求每排最多有多少人，即求48和36的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数。求出每排人数后，分别用男生人数和女生人数除以每排人数，得到各自的排数，最后将两者相加即为一共排的排数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是2×2×3＝12，每排最多人数是12人。 48÷12＋36÷12 ＝4＋3 ＝7（排） 答：每排最多12人，一共排了7排。 题型九、公倍数与最小公倍数 知识积累 1.概念：几个数公有的倍数，叫做这几个数的 公倍数 ；其中最小的一个，叫做这几个数的 最小公倍数 。 2.求法： (1)列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个公共的倍数。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质为止，将所有除数和最后的商 相乘 。 3.特殊情况： (1)如果两个数成倍数关系，最小公倍数是 较大数 。 (2)如果两个数互质，最小公倍数是它们的 乘积 。 例题讲解 【典例9】求下列各数的最大公因数和最小公倍数。 24和36        33和66        11和13 【答案】24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72； 33和66的最大公因数是33，最小公倍数是66； 11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143。 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。 【详解】24＝2×2×2×3、36＝2×2×3×3 2×2×3＝12、2×2×2×3×3＝72 24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72； 66÷33＝2，66是33的2倍，33和66的最大公因数是33，最小公倍数是66； 11和13是互质数，11×13＝143 11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143。 举一反三 【变式9-1】在（    ）里直接写出最大公因数和最小公倍数。 9和8( )( )    19和38( )( )    8和12( )( ) 【答案】 1 72 19 38 4 24 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则这两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；据此解答即可。 【详解】9和8是互质数，所以最大公因数是1；最小公倍数是8×9＝72； 19和38是倍数关系，所以最大公因数是19，最小公倍数是38； 8和12：8＝2×2×2；12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4；最小公倍数是2×2×2×3＝24。 【变式9-2】写出下列每个分数中分子和分母的最大公因数和最小公倍数。 ( )______        ( )______    ( )______    ( )______ 【答案】 6 18 5 225 4 60 1 323 【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数；当两个数只有公因数1时（互质），它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；当两个数既不成倍数关系也不互质时，通常使用短除法或列举法求出最大公因数和最小公倍数。用短除法时，最大公因数等于左侧所有除数相乘的积，最小公倍数等于左侧和底下所有数相乘的积。 据此解答。 【详解】（1）因为18÷6＝3，即18是6的3倍，6和18成倍数关系。所以，6和18的最大公因数是6，最小公倍数是18。 （2）25和45既不成倍数关系，也不互质。 最大公因数：5 最小公倍数是：5×5×9＝25×9＝225 （3）12和20既不成倍数关系，也不互质。 最大公因数：2×2＝4 最小公倍数是：2×2×3×5＝4×3×5＝12×5＝60 （4）17和19都是质数，它们只有公因数1，属于互质关系。所以，17和19的最大公因数是1，最小公倍数是17×19＝323。 【变式9-3】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 【答案】5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36。 15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 【分析】最大公因数：几个数公有的因数中，数值最大的那个。 最小公倍数：几个数公有的倍数中，数值最小的那个。 （1）5和7都是质数，它们的公因数只有1，属于互质数关系，可直接用互质数的规律求解；互质数的最小公倍数是两数的乘积 （2）36是9的4倍，属于倍数关系，可直接用倍数关系的规律求解，倍数关系最大公因数是较小数本身，倍数关系的最小公倍数是较大数本身。 （3）15和20既不是互质数，也不是倍数关系，属于一般关系，用分解质因数法或短除法求解。 【详解】（1）5的因数：1、5 7的因数：1、7 5×7＝35 所以5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 （2）36÷9＝4，属于倍数的关系 所以9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36； （3）15＝3×5 20＝2×2×5 15的因数：1、3、5、15 20的因数：1、2、4、5、10、20 2×2×3×5＝60 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 题型十、用最小公倍数解决实际问题 知识积累 1.典型场景：再次相遇、同时发车、周期性重合等“合并/周期”类问题。 2.解题关键：求几个数的 最小公倍数 。 例题讲解 【典例10】五年级一班学生在30—40人之间，每4人分一组没有剩余，每6人分一组，也没有剩余，这个班学生有多少人？ 【答案】36人 【分析】根据题意可知，学生人数既是4的倍数，又是6的倍数，即学生人数是4和6的公倍数。据此先求出4和6的最小公倍数（两数的公有质因数与各自的独有质因数的乘积），再找出在30至40范围内的公倍数即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 因此4和6的最小公倍数为：2×2×3＝12 4和6的公倍数有：12、24、36、48…… 因为学生人数在30—40人之间，只有36符合要求，所以这个班学生有36人。 答：这个班学生有36人。 举一反三 【变式10-1】佛山咏春拳是国家级非物质文化遗产之一。六一儿童节，学校组织咏春拳列队表演，参加的人数在100~150之间，如果把他们按每组6人分，多3人；按每组9人分，也多3人。参加咏春拳表演的学生最少有( )人。 【答案】111 【分析】根据题意可知，参加咏春拳表演的学生人数是在100~150之间6和9的公倍数多3人，因此，先找到6和9的最小公倍数，再找到最小公倍数在100~150之间的倍数，这个倍数加上3人后最小的数即为最少的参加表演的人数。 【详解】6＝2×3，9＝3×3， 则6和9的最小公倍数是2×3×3＝18， 18×10＝180，18×9＝162，180和162大于150，舍去； 18×8＝144，144＋3＝147； 18×7＝126，126＋3＝129； 18×6＝108，108＋3＝111； 111＜129＜147，所以参加咏春拳表演的学生最少有111人。 【变式10-2】1路公共汽车每8分钟发一次车，3路公共汽车每10分钟发一次车。这两路公共汽车早上6：00同时发车后，什么时候第二次同时发车？ 【答案】6：40 【分析】两车要同时发车，发车的间隔时间，必须既是8的倍数，又是10的倍数，即它们的公倍数，第二次同时发车，对应的间隔时间就是8和10的最小公倍数。再根据第二次同时发车的时间＝第一次同时发车的时间＋第一次与第二次同时发车的间隔时间，可求出第二次同时发车的时间。 【详解】8的倍数有：8，16，24，32，40，48…… 10的倍数有：10，20，30，40，50…… 8和10的公倍数有：40，80…… 8和10的最小公倍数是40； 6：00＋40分钟＝6：40 答：这两路公共汽车早上6：00同时发车后，6：40第二次同时发车。 【变式10-3】为庆祝菊花节，公园在入口的喷泉周围摆放了一圈菊花，每隔6分米摆放一盆，共36盆。现在改为每隔4分米摆放一盆，一共有多少盆花不需要移动？ 【答案】18盆 【分析】首先根据原来的摆放间隔和盆数，计算出喷泉周围的周长；不需要移动的花盆，其位置必须既是原来间隔的倍数，也是现在间隔的倍数，即两个间隔长度的公倍数，据此求出6和4的最小公倍数；在封闭路线上，花盆数等于间隔数，用总周长除以最小公倍数即可。 【详解】6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32…… 6和4的最小公倍数是：12。 36×6＝216（分米） 216÷12＝18（盆） 答：一共有18盆花不需要移动。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $