专题01 长方体和正方体（专项训练）五年级数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 以16类题型构建长方体和正方体完整知识体系，融合概念认知、公式推导与实际应用，通过“知识积累-典例讲解-举一反三”强化空间观念与解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认识|3题型|展开图“1-4-1”等口诀、相对面判断法|从面/棱/顶点特征到立体与平面转化| |度量计算|8题型|表面积变式（无盖/通风管）、体积通用公式、单位换算规律|从棱长到表面积/体积/容积的度量进阶| |综合应用|5题型|切拼表面积变化规律、排水法测体积、涂色正方体计数公式|从单一立体到组合体/不规则物体的空间推理|

专题01 长方体和正方体 目录概览 题型一、长方体和正方体的认识 1 题型二、长方体和正方体的棱长 3 题型三、长方体和正方体的展开图 4 题型四、长方体表面积的计算 5 题型五、长方体表面积的应用 6 题型六、正方体表面积的计算 7 题型七、正方体表面积的应用 8 题型八、体积、容积单位 9 题型九、体积、容积单位进率及换算 10 题型十、长方体和正方体的体积 11 题型十一、长方体和正方体体积的应用 12 题型十二、长方体和正方体的容积 14 题型十三、立体图形的切拼 15 题型十四、组合体的表面积和体积 16 题型十五、不规则物体的体积算法 18 题型十六、表面涂色的正方体 19 题型演练 题型一、长方体和正方体的认识 知识积累 1.长方体的特征： (1)面：长方体有 个面，每个面都是 （特殊情况有两个相对的面是正方形）。相对的面完全 。 (2)棱：长方体有 条棱，相对的棱长度 。可以分为 3 组，每组有 4 条棱，分别叫做长、宽、高。 (3)顶点：长方体有 个顶点。 (4)相交于一个顶点的三条棱：分别叫做长方体的 、 、 。 2.正方体的特征： (1)正方体是特殊的 。 (2)面：有 个面，每个面都是完全相同的 。 (3)棱：有 条棱，所有棱的长度都 。 (4)顶点：有 个顶点。 3.关系： (1)长方体和正方体都有 个面、 条棱、 个顶点。 (2)正方体可以看作是长、宽、高都 的长方体。 例题讲解 【典例1】有一个长方体，其中两组相对面如下所示，那么，这个长方体的另一组相对面是（    ）。 A．长、宽分别为5cm、2cm的长方形 B．长、宽分为5cm、3cm的长方形 C．长、宽分为3cm、2cm的长方形 D．长、宽分别为5cm、5cm的长方形 举一反三 【变式1-1】一个长方体纸箱，长6分米，宽5分米，高2分米。它的最大的一个面的面积是( )平方分米，最小的一个面的面积是( )平方分米。 【变式1-2】正方体有( )个面，这些面都是( )形，它所有面的面积( )，它有( )条棱，正方体是特殊的( )。 【变式1-3】因为正方体是长、宽、高都( )的长方体，所以( )是特殊的长方体。长方体和正方体的关系可以用( )表示（填序号）。 ①    ②    ③    ④ 题型二、长方体和正方体的棱长 知识积累 1.长方体棱长总和公式： (1) (2)或者： 2.正方体棱长总和公式： 3.逆运算： (1)已知长方体棱长总和，求长+宽+高： 棱长总和 。 (2)已知正方体棱长总和，求棱长： 棱长总和 。 例题讲解 【典例2】做一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体框架需要( )cm长的铁丝；若用同样长的铁丝做一个正方体，这个正方体的棱长是( )cm。 举一反三 【变式2-1】用一根长72厘米的铁丝可以焊成一个长6厘米，宽5厘米、高( )厘米的长方体框架。 【变式2-2】李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员需要用多长的彩带才可以把礼品盒扎起来？（扎法如下图，打结处彩带长2分米） 【变式2-3】教具室里有一根铁丝，刚好能焊接成一个棱长为10厘米的正方体框架。现在要用这根铁丝焊接一个长为15厘米、高为6厘米的长方体教具盒框架，最后铁丝剩余6厘米。这个长方体教具盒的宽为多少厘米？（接头处不计） 题型三、长方体和正方体的展开图 知识积累 1.长方体展开图： (1)相对的面在展开图中通常 （中间隔一个面或呈“Z”字形两端）。 (2)常见的展开图类型有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型等。 2.正方体展开图： (1)正方体展开图共有 11 种情况。 (2)口诀记忆：“中间四个一连串，两边各一随便放”（1-4-1型，共6种）；“二三紧连错一个，三一相连一随便”（2-3-1型，共3种）；“两两相连各错一”（2-2-2型，1种）；“三个两排一对齐”（3-3型，1种）。 (3)注意：“田”字形、“凹”字形、“7”字形（一线超过4个）不能 折叠成正方体。 例题讲解 【典例3】如图是正方体的展开图。 A面与( )面相对，B面与( )面相对，C面与( )面相对。 举一反三 【变式3-1】下面展开图中不能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-2】下面的展开图中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-3】下图是一个正方体纸盒的展开图，表面上分别写着“我爱数学说理”六个字，“说”字与“( )”字相对，“爱”字与“( )”字相对。 题型四、长方体表面积的计算 知识积累 1.定义：长方体 个面的总面积，叫做它的表面积。 2.公式： (1) (2)字母表示： 例题讲解 【典例4】计算该长方体的表面积。 举一反三 【变式4-1】一个长方体长5分米、宽3分米、高2分米，它的底面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【变式4-2】计算下面长方体的表面积。 【变式4-3】根据展开图，求长方体的表面积。（单位：厘米）         题型五、长方体表面积的应用 知识积累 1.实际生活中的变式： (1)无盖长方体（如鱼缸、游泳池）：少算 个上面。 (2) (3)通风管/烟囱（无底无盖）：只算 个侧面。 (4) 或 底面周长 (5)粉刷教室：通常不刷 地面，且要扣除 门窗 和 黑板 的面积。 (6) 门窗面积 例题讲解 【典例5】一个长方体游泳池长50米，宽25米，深2米，如果在它的四周和底面贴瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少？ 举一反三 【变式5-1】学校要粉刷教室，已知教室长8米，宽6米，高是3.8米，门窗和黑板的面积是16.2平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，刷这个教室需要多少涂料费？ 【变式5-2】一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 【变式5-3】一个长方体茶叶盒，长30厘米，宽20厘米，高10厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 题型六、正方体表面积的计算 知识积累 1.公式： (1) (2)字母表示： 2.逆运算：已知表面积求一个面的面积： 。 例题讲解 【典例6】一个正方体的棱长总和是36厘米，表面积是( )平方厘米。 举一反三 【变式6-1】一个无盖正方体水槽的表面积是20 ，底面积是( ) 。 【变式6-2】一个正方体的表面积是54平方分米，它的棱长是( )分米。 【变式6-3】计算下面各立体图形的表面积。 题型七、正方体表面积的应用 知识积累 1.无盖正方体容器 (1)如无盖盒子、水槽等，只需计算 个面。 (2)公式： 。 2.拼接与切割对表面积的影响 (1)拼接：把两个正方体拼成一个长方体，表面积会 减少，减少了 2 个面的面积。 (2)切割：把一个正方体切成两个长方体，表面积会 增加，增加了 2 个切面的面积。 例题讲解 【典例7】水陆缸是以山水脉络为基础构建的微型生态景观系统，由水上景观与水下景观共同构成。王叔叔想利用一个正方体玻璃缸制作一个水陆缸，且这个正方体玻璃缸是无盖的，棱长为5分米。若制作一个这样的正方体玻璃缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ 举一反三 【变式7-1】竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 【变式7-2】如图，一个正方体方凳的底面积是16平方分米，要给这个方凳表面都包上绒布罩子（方凳下面不包），至少需要( )平方分米，制作50个这样的方凳绒布罩子，需要( )平方米的绒布。 【变式7-3】快递站要定制一批正方体快递盒，棱长为30厘米。制作一个这样的快递盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 题型八、体积、容积单位 知识积累 1.体积单位： (1)常用的体积单位有： ( )、 ( )、 ( )。 (2)感知： (3)棱长 的正方体，体积是 1 （约手指尖大小）。 (4)棱长 的正方体，体积是 1 （约粉笔盒大小）。 (5)棱长 的正方体，体积是 1 （约洗衣机大小）。 2.容积单位： (1)计量液体的体积，常用容积单位： ( ) 和 ( )。 (2)对应关系： (3)1 (4)1 例题讲解 【典例8】在括号里填上合适的单位。 酸奶盒的容积约是240( )                一本字典的体积约是560( ) 一台洗衣机的体积约是1( )            汽车油箱的容积约是60( ) 举一反三 【变式8-1】下列物体中，体积最接近2dm3的是（    ）。 A．一本数学书 B．一个书柜 C．一台冰箱 D．一包200抽的抽纸 【变式8-2】一个水池能盛水100m3，指的是这个水池的（    ）是100m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【变式8-3】填上适当的单位。 (1)一个牙膏盒的体积约是500( )。 (2)一台微波炉的容积约是20( )。 (3)一间实验室的体积约是200( )。 (4)一支眼药水约5( )。 题型九、体积、容积单位进率及换算 知识积累 1.进率： (1)相邻两个体积单位之间的进率是 。 (2) (3) (4) 2.换算方法： (1)高级单位 低级单位： 进率（小数点向右移动3位）。 (2)低级单位 高级单位： 进率（小数点向左移动3位）。 (3)实例： (4) (5) (6) 例题讲解 【典例9】在横线上填上合适的数。 0.87m3＝( )dm3        1240mL＝( )L       5.08dm3＝( )mL 举一反三 【变式9-1】在（    ）里填上适当的数。 730立方分米＝( )立方米       560毫升＝( )升        7.25升＝( )升( )毫升 【变式9-2】在括号里填上合适的数。 4.5升＝( )立方厘米            245立方厘米＝( )立方分米 7.08立方米＝( )立方分米        80毫升＝( )升 【变式9-3】570cm3＝( )dm3            2.08L＝( )mL 5.02m3＝( )m3( )dm3        10.08dm3＝( )L( )mL 题型十、长方体和正方体的体积 知识积累 1.长方体体积公式： (1) (2)字母表示： (3)通用公式： （ ） 2.正方体体积公式： (1) (2)字母表示： （读作：a的立方，表示3个a相乘） (3)通用公式： （ ，其中 ） 3.区别： 表示 ； 表示 或 。两者意义 不同。 例题讲解 【典例10】计算下面各立体图形的体积。 举一反三 【变式10-1】一个正方体的底面积是36，它的体积是( )。 【变式10-2】一个长方体的底面是一个正方形，侧面展开后也是一个正方形，已知它的高是20cm，那么它的表面积是( )，体积是( )。 【变式10-3】计算下列图形的表面积和体积。 （1） （2） 题型十一、长方体和正方体体积的应用 知识积累 1.已知体积求高： 或 2.已知体积求底面积： 3.实物应用：计算沙坑填沙量、水箱装水量等，需注意单位统一。若题目给出的是“占地面积”，即为 。 例题讲解 【典例11】一根长方体石料，长米，横截面是边长为4分米的正方形。如果每立方分米石料重千克，这根长方体石料重多少千克？ 举一反三 【变式11-1】一个长方体的无盖玻璃水族箱，长是6米，宽是60厘米，高是1.5米。制作这个水族箱需要用多少平方米的玻璃？它的体积是多少？ 【变式11-2】建筑工地上要用混凝土浇筑一个棱长为2.5米的正方体桥墩基座，浇筑这个基座需要多少立方米的混凝土？ 【变式11-3】小老鼠杰瑞做了一些奶酪，汤姆想：“一定很好吃，我要吃大的。”汤姆选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？（尺寸如图，单位：厘米） 题型十二、长方体和正方体的容积 知识积累 1.定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 2.计算方法： (1)计算方法与体积 。 (2)关键区别：计算体积时，数据从物体 测量；计算容积时，数据从物体 测量。 (3)因此，对于有厚度的容器，容积通常 体积。 3.单位选择：固体一般用体积单位；液体和气体一般用容积单位（升、毫升）。 例题讲解 【典例12】要建一个长方体水池，池壁厚0.25米，水池的占地面积是多少平方米？它的容积是多少立方米？（水池底部厚度忽略不计） 举一反三 【变式12-1】一个油箱从里面量，长6分米，宽4分米，深14厘米，如果每升柴油重0.82千克，这个油箱能装柴油多少千克？（得数保留一位小数） 【变式12-2】一种牛奶用塑料盒密封包装（如图）。从外面量长是6cm，宽是5cm，高是10cm。盒上注明“净含量：350mL”，请分析注明的内容是否真实。     【变式12-3】有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后，正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。（铁皮厚度忽略不计） (1)求这个铁盒的容积。 (2)做这个铁盒需要多少铁皮？ 题型十三、立体图形的切拼 知识积累 1.切割（增加表面积）： (1)每切一刀，增加 个切面。 (2)增加的表面积 = 。 (3)体积不变：切割前后，总体积 。 2.拼接（减少表面积）： (1)每拼接一次（两个面重合），减少 个接触面。 (2)减少的表面积 = 。 (3)体积不变：拼接前后，总体积 （等于各部分体积之和）。 例题讲解 【典例13】把3个棱长是4厘米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比这3个正方体木块的表面积的和少( )平方厘米。拼成的长方体的体积是( )立方厘米。 举一反三 【变式13-1】一个正方体木块截成两个同样的长方体后，表面积增加了8平方分米，原来正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【变式13-2】在修复一处古代宫殿模型时，将一块长方体木料沿高截去2cm，变成了一个正方体，表面积减少了48cm2。原来长方体的体积是( )cm3。 【变式13-3】一根木料长1.2米，将它按图中所示锯成三段后表面积增加了24平方分米，这根木料的体积是多少立方米？ 题型十四、组合体的表面积和体积 知识积累 1.组合体体积： (1)方法：分割法或填补法。 (2)总体积 = 各部分体积之 。 2.组合体表面积： (1)原则：只计算暴露在外部的面的面积。 (2)方法： (3)平移法：将凹陷部分的面向外平移，补成一个大长方体，再减去或加上多算/少算的部分。 (4)直接计算法：分别计算各个暴露面的面积，然后相加。 (5)注意：重叠部分的面积不计入表面积。 例题讲解 【典例14】求下面图形的表面积和体积。 举一反三 【变式14-1】计算下图的表面积和体积。（单位：cm） 【变式14-2】计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：分米） 【变式14-3】计算下面图形的表面积和体积。 题型十五、不规则物体的体积算法 知识积累 1.排水法： (1)适用于： 且不吸水的物体。 (2)原理：物体体积 = 排开水的体积 = 水面上升部分的体积。 (3)公式： 或 。 (4)注意：物体必须 在水中。 2.溢水法： (1)适用于：容器已满的情况。 (2) 水的体积。 例题讲解 【典例15】一个长方体玻璃容器，从里面量长3分米、宽2分米。向容器中倒入7.5升水，把一个苹果放入水中完全浸没，这时测得容器内的水面高度为13.5厘米。这个苹果的体积是多少立方分米？ 举一反三 【变式15-1】计算出石头的体积是多少立方厘米？ 【变式15-2】一个从里面量长是6分米、宽是4分米、高是3分米的长方体容器中装着一些清水，测量后发现水深2.5分米。小明将一块假山石放入该容器中，完全浸没后，容器中水溢出0.3升。这个假山石的体积是多少立方分米？ 【变式15-3】小亮在一个长12厘米、宽10厘米、高28厘米的长方体容器中做实验（测量一个土豆的体积）。请根据他的实验过程，计算这个土豆的体积是多少立方厘米？ 题型十六、表面涂色的正方体 知识积累 前提：将一个棱长为 ( ) 的大正方体表面涂色，然后切成棱长为 1 的小正方体。 1.三面涂色： (1)位置：大正方体的 处。 (2)数量：固定为 个。 2.两面涂色： (1)位置：大正方体的 中间（除去顶点）。 (2)数量： 。 3.一面涂色： (1)位置：大正方体的 中心（除去棱和顶点）。 (2)数量： 。 4.没有涂色： (1)位置：大正方体的 核心。 (2)数量： 或 总数 - (三面+两面+一面)。 例题讲解 【典例16】将一个棱长5cm的正方体表面涂色后切成棱长1cm的小正方体，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块。 举一反三 【变式16-1】将一个正方体木块的6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小正方体，其中有两个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．1 【变式16-2】在一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的表面涂色，然后把它切成棱长为1cm的小正方体。在这些小正方体中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，三面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【变式16-3】如图，一块长方体木块，长是6dm，宽是4dm，高是4dm，先在它的六个面上都涂上色，然后把它锯成棱长都是1dm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 长方体和正方体 目录概览 题型一、长方体和正方体的认识 1 题型二、长方体和正方体的棱长 4 题型三、长方体和正方体的展开图 5 题型四、长方体表面积的计算 8 题型五、长方体表面积的应用 10 题型六、正方体表面积的计算 12 题型七、正方体表面积的应用 13 题型八、体积、容积单位 15 题型九、体积、容积单位进率及换算 18 题型十、长方体和正方体的体积 20 题型十一、长方体和正方体体积的应用 22 题型十二、长方体和正方体的容积 24 题型十三、立体图形的切拼 27 题型十四、组合体的表面积和体积 30 题型十五、不规则物体的体积算法 34 题型十六、表面涂色的正方体 36 题型演练 题型一、长方体和正方体的认识 知识积累 1.长方体的特征： (1)面：长方体有 6 个面，每个面都是 长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。相对的面完全 相同。 (2)棱：长方体有 12 条棱，相对的棱长度 相等。可以分为 3 组，每组有 4 条棱，分别叫做长、宽、高。 (3)顶点：长方体有 8 个顶点。 (4)相交于一个顶点的三条棱：分别叫做长方体的 长、宽、高。 2.正方体的特征： (1)正方体是特殊的 长方体。 (2)面：有 6 个面，每个面都是完全相同的 正方形。 (3)棱：有 12 条棱，所有棱的长度都 相等。 (4)顶点：有 8 个顶点。 3.关系： (1)长方体和正方体都有 6 个面、12 条棱、8 个顶点。 (2)正方体可以看作是长、宽、高都 相等 的长方体。 例题讲解 【典例1】有一个长方体，其中两组相对面如下所示，那么，这个长方体的另一组相对面是（    ）。 A．长、宽分别为5cm、2cm的长方形 B．长、宽分为5cm、3cm的长方形 C．长、宽分为3cm、2cm的长方形 D．长、宽分别为5cm、5cm的长方形 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面相等。已知长方体的两组相对的面分别长5cm，宽2cm，长5cm，宽3cm，那么另一组相对面的长是3cm，宽是2cm，据此解答。 【详解】已知长方体的两组相对的面分别长5cm，宽2cm，长5cm，宽3cm，那么另一组相对面的长是3cm，宽是2cm。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用。 举一反三 【变式1-1】一个长方体纸箱，长6分米，宽5分米，高2分米。它的最大的一个面的面积是( )平方分米，最小的一个面的面积是( )平方分米。 【答案】 30 10 【分析】根据题意可知，最大的一个面的面积＝长×宽；最小的一个面的面积＝宽×高，代入计算即可。 【详解】6×5＝30（平方分米），它的最大的一个面的面积是30立方分米。 5×2＝10（平方分米），最小的一个面的面积是10平方分米。 【点睛】此题考查了长方体的特征，认真解答即可。 【变式1-2】正方体有( )个面，这些面都是( )形，它所有面的面积( )，它有( )条棱，正方体是特殊的( )。 【答案】 6 正方 相等 12 长方体 【分析】根据正方体的特征：正方体有6个面、12条棱、8个顶点，每个面都是正方形，而且面积相等，每条棱的长度都相等，正方体是特殊的长方体，据此解答。 【详解】由分析可得：正方体有6个面，这些面都是正方形，它所有面的面积相等，它有12条棱，正方体是特殊的长方体。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征。 【变式1-3】因为正方体是长、宽、高都( )的长方体，所以( )是特殊的长方体。长方体和正方体的关系可以用( )表示（填序号）。 ①    ②    ③    ④ 【答案】相等；正方体；② 【分析】正方体的长、宽、高长度都相等，它是具有这种特殊特征的长方体，即正方体是特殊的长方体，长方体包含正方体，它们的关系用②表示。 【详解】根据分析可知： 因为正方体是长、宽、高都（相等）的长方体，所以（正方体）是特殊的长方体。长方体和正方体的关系可以用（②）表示（填序号）。 题型二、长方体和正方体的棱长 知识积累 1.长方体棱长总和公式： (1)长 宽 高 4 (2)或者： 长 宽 高 2.正方体棱长总和公式： 棱长 12 3.逆运算： (1)已知长方体棱长总和，求长+宽+高： 棱长总和 4。 (2)已知正方体棱长总和，求棱长： 棱长总和 12。 例题讲解 【典例2】做一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体框架需要( )cm长的铁丝；若用同样长的铁丝做一个正方体，这个正方体的棱长是( )cm。 【答案】 72 6 【分析】铁丝长度相当于长方体和正方体的棱长总和。长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长＝棱长总和÷12。 【详解】铁丝长度：（8＋4＋6）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 正方体的棱长：72÷12＝6（cm） 举一反三 【变式2-1】用一根长72厘米的铁丝可以焊成一个长6厘米，宽5厘米、高( )厘米的长方体框架。 【答案】7 【分析】用一根72厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架，则这个长方体的棱长总和为72厘米，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用72除以4求出一组长宽高的和，再依次减去长和宽，即可求出高。 【详解】72÷4＝18（厘米） 18－6－5＝7（厘米） 【变式2-2】李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。售货员需要用多长的彩带才可以把礼品盒扎起来？（扎法如下图，打结处彩带长2分米） 【答案】26分米 【分析】观察图中的捆扎方式，彩带总长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结处长度，代入数据计算即可。 【详解】已知长4分米、宽3分米、高2.5分米，打结处彩带长2分米。 彩带长度：2×4＋2×3＋4×2.5＋2 ＝8＋6＋10＋2 ＝26（分米） 答：售货员需要用26分米长的彩带才可以把礼品盒扎起来。 【变式2-3】教具室里有一根铁丝，刚好能焊接成一个棱长为10厘米的正方体框架。现在要用这根铁丝焊接一个长为15厘米、高为6厘米的长方体教具盒框架，最后铁丝剩余6厘米。这个长方体教具盒的宽为多少厘米？（接头处不计） 【答案】7.5厘米 【分析】先根据正方体的棱长总和＝棱长×12求出铁丝的总长度；然后减去剩余的铁丝长度，求出焊接长方体框架实际使用的铁丝长度，即长方体的棱长总和；接着根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4求出一组长、宽、高的和；最后减去已知的长和高，即可求出宽。 【详解】10×12＝120（厘米） 120－6＝114（厘米） 114÷4＝28.5（厘米） 28.5－15－6＝7.5（厘米） 答：这个长方体教具盒的宽为7.5厘米。 题型三、长方体和正方体的展开图 知识积累 1.长方体展开图： (1)相对的面在展开图中通常 不相邻（中间隔一个面或呈“Z”字形两端）。 (2)常见的展开图类型有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型等。 2.正方体展开图： (1)正方体展开图共有 11 种情况。 (2)口诀记忆：“中间四个一连串，两边各一随便放”（1-4-1型，共6种）；“二三紧连错一个，三一相连一随便”（2-3-1型，共3种）；“两两相连各错一”（2-2-2型，1种）；“三个两排一对齐”（3-3型，1种）。 (3)注意：“田”字形、“凹”字形、“7”字形（一线超过4个）不能 折叠成正方体。 例题讲解 【典例3】如图是正方体的展开图。 A面与( )面相对，B面与( )面相对，C面与( )面相对。 【答案】 E D F 【分析】在通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。A面隔一个面与E面相对，B面隔两个面与D面相对，C面隔一个面与F面相对。 【详解】A面与E面相对，B面与D面相对，C面与F面相对。 举一反三 【变式3-1】下面展开图中不能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体展开图的11种模型和“一行不过四，凹田应弃之”的技巧判断。 【详解】A．符合“1－4－1型”，能围成长方体。 B．符合“2－3－1型”，能围成长方体。 C．属于“凹”字型，不能围成长方体。 D．符合“2－2－2型”，能围成长方体。 【变式3-2】下面的展开图中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有多种类型，有1－4－1型，2－3－1型，2－2－2型和3－3型这4种类型11种图形。由此判断各选项是否为正方体展开图，从而确定能否围成正方体。 【详解】A.图形是2－2－2型，通过折叠可以折成正方体。 B.图形有田字格，在正方体展开图中，出现田字格一定不能折成正方体。 C.图形是1－4－1型，通过折叠可以折成正方体。 D.图形是3－3型，通过折叠可以折成正方体。 【变式3-3】下图是一个正方体纸盒的展开图，表面上分别写着“我爱数学说理”六个字，“说”字与“( )”字相对，“爱”字与“( )”字相对。 【答案】 数 学 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详解】把这个正方体纸盒展开图折成正方体，可以想象成：“学”是下面，“数”是左面，“说”是右面，“我”是后面，“理”是前面，“爱”是上面。 填空如下： 表面上分别写着“我爱数学说理”六个字，“说”字与“（数）”字相对，“爱”字与“（学）”字相对。 题型四、长方体表面积的计算 知识积累 1.定义：长方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。 2.公式： (1)长 宽 长 高 宽 高 2 (2)字母表示： 例题讲解 【典例4】计算该长方体的表面积。 【答案】190dm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】（10×3＋10×5＋3×5）×2 ＝（30＋50＋15）×2 ＝（80＋15）×2 ＝95×2 ＝190（dm2） 举一反三 【变式4-1】一个长方体长5分米、宽3分米、高2分米，它的底面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 15 62 【分析】长方体的底面是一个长5分米、宽3分米的长方形，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，求出长方体的底面积；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出长方体的表面积。 【详解】5×3＝15（平方分米） （5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方分米） 所以，它的底面积是15平方分米，表面积是62平方分米。 【变式4-2】计算下面长方体的表面积。 【答案】424cm² 【分析】长方体表面积计算公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据即可求解。 【详解】（15×4＋15×8＋4×8）×2 ＝（60＋120＋32）×2 ＝212×2 ＝424（cm²） 长方体的表面积是424cm²。 【变式4-3】根据展开图，求长方体的表面积。（单位：厘米）         【答案】248平方厘米 【分析】由长方体的展开图可知：长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是（28－10×2）÷2＝4（厘米）。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（10×6＋10×4＋6×4）×2可求出这个长方体的表面积。 【详解】高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（平方厘米） 题型五、长方体表面积的应用 知识积累 1.实际生活中的变式： (1)无盖长方体（如鱼缸、游泳池）：少算 1 个上面。 (2) (3)通风管/烟囱（无底无盖）：只算 4 个侧面。 (4) 或 底面周长 高 (5)粉刷教室：通常不刷 地面，且要扣除 门窗 和 黑板 的面积。 (6) 门窗面积 例题讲解 【典例5】一个长方体游泳池长50米，宽25米，深2米，如果在它的四周和底面贴瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少？ 【答案】平方米 【分析】长方体有个面，长方体游泳池贴瓷砖的部分是底面和四周侧面，不含顶面，需计算个底面与个侧面共个面的面积之和。题中的深对应长方体的高，可利用无盖长方体的表面积公式：无盖长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2进行计算。 【详解】 （平方米） 答：贴瓷砖部分的面积是平方米。 举一反三 【变式5-1】学校要粉刷教室，已知教室长8米，宽6米，高是3.8米，门窗和黑板的面积是16.2平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，刷这个教室需要多少涂料费？ 【答案】829.2元 【分析】粉刷教室不需要粉刷地面，因此需要计算长方体上面、前面、后面、左面、右面这5个面的面积之和。求出这5个面的总面积后，减去门窗和黑板的面积，得到实际粉刷面积。最后用实际粉刷面积乘每平方米的涂料费，即可求出总费用。 【详解】8×6＋（8×3.8＋6×3.8）×2－16.2 ＝48＋（30.4＋22.8）×2－16.2 ＝48＋53.2×2－16.2 ＝48＋106.4－16.2 ＝154.4－16.2 ＝138.2（平方米） 138.2×6＝829.2（元） 答：刷这个教室需要829.2元涂料费。 【变式5-2】一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 【答案】152平方分米；608元 【分析】长方体无盖玻璃鱼缸，即少上面，说明只需要计算长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积。 根据“总价＝单价×数量”，用每平方分米玻璃的单价乘玻璃的总面积，求出买玻璃需要的钱数。 【详解】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋80＋40 ＝152（平方分米） 4×152＝608（元） 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃，买玻璃需要608元。 【变式5-3】一个长方体茶叶盒，长30厘米，宽20厘米，高10厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【答案】1000平方厘米 【分析】根据题意，可知需要计算的是长方体前、后、左、右四个面的面积之和。前、后面的面积等于长乘高乘2，左、右面的面积等于宽乘高乘2，将这两部分面积相加即可求出商标纸的面积。 【详解】30×10×2＋20×10×2 ＝600＋400 ＝1000（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少是1000平方厘米。 题型六、正方体表面积的计算 知识积累 1.公式： (1) 棱长 棱长 6 (2)字母表示： 2.逆运算：已知表面积求一个面的面积： 6。 例题讲解 【典例6】一个正方体的棱长总和是36厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】棱长：36÷12＝3（厘米） 表面积：3×3×6＝54（平方厘米） 举一反三 【变式6-1】一个无盖正方体水槽的表面积是20 ，底面积是( ) 。 【答案】4 【分析】正方体有6个面，每个面的大小相等。无盖正方体水槽有5个大小相等的面，根据题意，这5个面的面积之和是20。要求底面积，用20除以面的个数即可。 【详解】20÷5＝4（） 【变式6-2】一个正方体的表面积是54平方分米，它的棱长是( )分米。 【答案】3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6；代入表面积数值，即可求出棱长。 【详解】54÷6＝9（平方分米） 9＝3×3 所以它的棱长是3分米。 【变式6-3】计算下面各立体图形的表面积。 【答案】1350；248 【分析】根据“”和“”分别求出正方体的表面积和长方体的表面积。 【详解】15×15×6 ＝225×6 ＝1350（） （6×4＋6×10＋4×10）×2 ＝（24＋60＋40）×2 ＝124×2 ＝248（） 题型七、正方体表面积的应用 知识积累 1.无盖正方体容器 (1)如无盖盒子、水槽等，只需计算 5 个面。 (2)公式： 5a2。 2.拼接与切割对表面积的影响 (1)拼接：把两个正方体拼成一个长方体，表面积会 减少，减少了 2 个面的面积。 (2)切割：把一个正方体切成两个长方体，表面积会 增加，增加了 2 个切面的面积。 例题讲解 【典例7】水陆缸是以山水脉络为基础构建的微型生态景观系统，由水上景观与水下景观共同构成。王叔叔想利用一个正方体玻璃缸制作一个水陆缸，且这个正方体玻璃缸是无盖的，棱长为5分米。若制作一个这样的正方体玻璃缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ 【答案】125平方分米 【分析】玻璃的面积＝棱长×棱长×5。 【详解】5×5×5＝125（平方分米） 答：至少需要125平方分米的玻璃。 举一反三 【变式7-1】竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 【答案】216 【分析】由题可知，竹条的总长度等于正方体框架的棱长总和，根据公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，即正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，求出正方体的棱长；给这个框架做包装盒，求所需纸板面积就是求正方体的表面积，根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出至少需要多少平方厘米的纸板。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 即现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要216平方厘米的纸板。 【变式7-2】如图，一个正方体方凳的底面积是16平方分米，要给这个方凳表面都包上绒布罩子（方凳下面不包），至少需要( )平方分米，制作50个这样的方凳绒布罩子，需要( )平方米的绒布。 【答案】 80 40 【分析】正方体每个面的面积都相等，方凳底部不包绒布，因此1个绒布罩只需要包正方体的5个面。先求出一个绒布罩需要的绒布面积，再乘50求出50个这样的方凳绒布罩需要的绒布面积，变换单位即可。 【详解】已知正方体方凳的底面积是16平方分米，所以其他面面积也为16平方分米。 1个方凳绒布罩需要的绒布面积： 16×5＝80（平方分米） 50个方凳绒布罩需要的绒布总面积： 80×50＝4000（平方分米） 4000平方分米＝40平方米 【变式7-3】快递站要定制一批正方体快递盒，棱长为30厘米。制作一个这样的快递盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】5400平方厘米 【分析】制作正方体快递盒所需的硬纸板面积，即为该正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】30×30×6 ＝900×6 ＝5400（平方厘米） 答：至少需要5400平方厘米的硬纸板。 题型八、体积、容积单位 知识积累 1.体积单位： (1)常用的体积单位有：立方厘米 ( )、立方分米 ( )、立方米 ( )。 (2)感知： (3)棱长 1厘米 的正方体，体积是 1 （约手指尖大小）。 (4)棱长 1分米 的正方体，体积是 1 （约粉笔盒大小）。 (5)棱长 1米 的正方体，体积是 1 （约洗衣机大小）。 2.容积单位： (1)计量液体的体积，常用容积单位：升 ( ) 和 毫升 ( )。 (2)对应关系： (3)1 1 (4)1 1 例题讲解 【典例8】在括号里填上合适的单位。 酸奶盒的容积约是240( )                一本字典的体积约是560( ) 一台洗衣机的体积约是1( )            汽车油箱的容积约是60( ) 【答案】 毫升/mL 立方厘米/ 立方米/ 升/L 【分析】常见的体积单位有：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）； 常见的容积单位有：升（L）和毫升（mL）； 1 毫升（mL）大概是一小瓶盖水的容量，而1升（L）通常为一瓶方形的纸盒装牛奶的容量，所以酸奶盒的容积约是240毫升（mL）较为合适，而汽车油箱一般容量较高能存储汽油续航几百公里，所以汽车油箱的容积约是60升（L）。 1 立方厘米（）大概是一粒骰子的大小，1立方分米（）大概是一个粉笔盒大小，1 立方米（）大概是一台常见的家用滚筒洗衣机的大小，所以，一本字典比较小，它的体积约是560立方厘米（），一台洗衣机的体积约是1立方米（）。 【详解】酸奶盒的容积约是240毫升（mL） 一本字典的体积约是560立方厘米（） 一台洗衣机的体积约是1立方米（） 汽车油箱的容积约是60升（L） 举一反三 【变式8-1】下列物体中，体积最接近2dm3的是（    ）。 A．一本数学书 B．一个书柜 C．一台冰箱 D．一包200抽的抽纸 【答案】D 【分析】棱长1dm的正方体，体积是1dm3，大约是2个粉笔盒的大小；棱长1m的正方体，体积是1m3，大约是1台冰箱的大小。 【详解】A．一本数学书比2dm3小得多，排除； B．一个书柜比2dm3大得多，排除； C．一台冰箱比2dm3大得多，排除； D．一包200抽的抽纸接近2dm3。 体积最接近2dm3的是一包200抽的抽纸。 【变式8-2】一个水池能盛水100m3，指的是这个水池的（    ）是100m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【答案】B 【分析】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。一个物体有体积，但它不一定有容积。求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此对于同一个物体，一般来说它的容积要比体积小。 【详解】根据分析可知，一个水池能盛水100m3，指的是这个水池的容积是100m3。 【变式8-3】填上适当的单位。 (1)一个牙膏盒的体积约是500( )。 (2)一台微波炉的容积约是20( )。 (3)一间实验室的体积约是200( )。 (4)一支眼药水约5( )。 【答案】(1)立方厘米/ (2)升/L (3)立方米/ (4)毫升/mL 【分析】（1）1立方厘米是棱长1厘米的小正方体的体积，牙膏盒的尺寸通常是十几厘米长、几厘米宽、几厘米高，体积大约为几百这样的小正方体的大小，所以用“立方厘米”作单位。 （2）1升等于1立方分米，大约是一个粉笔盒的大小。微波炉的内部空间通常可以容纳几碗饭菜，大小和几十个粉笔盒相当，所以用“升”作单位。 （3）1立方米大约是棱长1米的正方体的大小。实验室是较大的房间，长、宽、高通常都在几米以上，所以用“立方米”作单位。 （4）1毫升大约是1立方厘米，体积非常小。眼药水的容量很少，通常只有几毫升，所以用“毫升”作单位。 【详解】（1）一个牙膏盒的体积约是500立方厘米。 （2）一台微波炉的容积约是20升。 （3）一间实验室的体积约是200立方米。 （4）一支眼药水约5毫升。 题型九、体积、容积单位进率及换算 知识积累 1.进率： (1)相邻两个体积单位之间的进率是 1000。 (2) 1000 (3) 1000 (4) 1000 2.换算方法： (1)高级单位 低级单位： 进率（小数点向右移动3位）。 (2)低级单位 高级单位： 进率（小数点向左移动3位）。 (3)实例： (4) 3500 (5) 4 (6) 2050 例题讲解 【典例9】在横线上填上合适的数。 0.87m3＝( )dm3        1240mL＝( )L       5.08dm3＝( )mL 【答案】 870 1.24 5080 【分析】m3化为dm3，进率是1000，用0.87乘1000.； mL化为L，进率是1000，用1240除以1000； dm3化为mL，1dm3＝1L，L和mL的进率是1000，用5.08乘1000。 【详解】0.87×1000＝870（dm3） 0.87m3＝870dm3； 1240÷1000＝1.24（L） 1240mL＝1.24L； 5.08×1000＝5080（mL） 5.08dm3＝5080mL。 举一反三 【变式9-1】在（    ）里填上适当的数。 730立方分米＝( )立方米       560毫升＝( )升        7.25升＝( )升( )毫升 【答案】 0.73 0.56 7 250 【分析】根据体积、容积单位间的进率进行换算：1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1立方分米＝1升；高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【详解】730÷1000＝0.73（立方米） 560÷1000＝0.56（升） 7.25升＝7升＋0.25升 0.25×1000＝250（毫升） 【变式9-2】在括号里填上合适的数。 4.5升＝( )立方厘米            245立方厘米＝( )立方分米 7.08立方米＝( )立方分米        80毫升＝( )升 【答案】 4500 0.245 7080 0.08 【分析】依据体积、容积单位进率：1升＝1000立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升；高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率。 【详解】4.5×1000＝4500（立方厘米）4.5升＝4500立方厘米 245÷1000＝0.245（立方分米）245立方厘米＝0.245立方分米 7.08×1000＝7080（立方分米）7.08立方米＝7080立方分米 80÷1000＝0.08（升）80毫升＝0.08升 【变式9-3】570cm3＝( )dm3            2.08L＝( )mL 5.02m3＝( )m3( )dm3        10.08dm3＝( )L( )mL 【答案】 0.57 2080 5 20 10 80 【分析】根据1dm3＝1000cm3 ，用570除以进率1000，也就是570cm3小数点向左移动三位即可。 1L＝1000mL，用2.08乘进率1000，也就是把2.08的小数点向右移动三位。 1m3＝1000dm3，5.02m3就是5m3和0.02m3，用0.02乘进率1000，也就是把0.02的小数点向右移动三位。再和5m3合起来。 1dm3＝1L＝1000mL，10.08dm3就是10dm3和0.08dm3，0.08dm3就是0.08L，再把0.08L的小数点向右移动三位，转换成mL作单位。 【详解】570cm3＝0.57dm3。 0.08L＝80mL，那么2.08L＝2080mL。 0.02m3＝20dm3，那么5.02m3＝5m320dm3。 0.08dm3＝0.08L＝80mL，所以10.08dm3＝10L80mL。 题型十、长方体和正方体的体积 知识积累 1.长方体体积公式： (1) 长 宽 高 (2)字母表示： (3)通用公式： 底面积 高 （ ） 2.正方体体积公式： (1) 棱长 棱长 棱长 (2)字母表示： （读作：a的立方，表示3个a相乘） (3)通用公式： 底面积 高 （ ，其中 ） 3.区别： 表示 ； 表示 或 。两者意义 不同。 例题讲解 【典例10】计算下面各立体图形的体积。 【答案】180m3；125cm3 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】9×2×10＝180（m3） 5×5×5＝125（cm3） 举一反三 【变式10-1】一个正方体的底面积是36，它的体积是( )。 【答案】216 【分析】计算正方体的体积，要知道棱长。正方体的底面积＝棱长×棱长，可以根据题意求出棱长，再利用公式“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”计算。 【详解】因为36＝6×6，所以正方体的棱长是6dm。 体积：6×6×6＝216（） 【变式10-2】一个长方体的底面是一个正方形，侧面展开后也是一个正方形，已知它的高是20cm，那么它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 450 500 【分析】根据题意，长方体的底面周长等于高。用高除以4算出长方体底面的边长，也是长方体的长和宽。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；把数据代入公式中求解。 【详解】20÷4＝5（cm） 表面积：（5×5＋5×20＋5×20）×2 ＝（25＋100＋100）×2 ＝225×2 ＝450（cm2） 体积：5×5×20＝500（cm3） 【变式10-3】计算下列图形的表面积和体积。 （1） （2） 【答案】（1）1032cm2，2160cm3； （2）150dm2，125dm3 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据进行计算即可； （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据进行计算即可。 【详解】（1）长方体的表面积：（18×10＋18×12＋10×12）×2 ＝（180＋216＋120）×2 ＝516×2 ＝1032（cm2） 长方体的体积：18×10×12 ＝180×12 ＝2160（cm3） （2）正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 正方体的体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 题型十一、长方体和正方体体积的应用 知识积累 1.已知体积求高： 或 2.已知体积求底面积： 3.实物应用：计算沙坑填沙量、水箱装水量等，需注意单位统一。若题目给出的是“占地面积”，即为 底面积。 例题讲解 【典例11】一根长方体石料，长米，横截面是边长为4分米的正方形。如果每立方分米石料重千克，这根长方体石料重多少千克？ 【答案】 千克 【分析】先统一长度单位，再根据长方体体积公式：长方体的体积底面积高（这里的高对应石料的长）求出石料的体积，最后用体积乘每立方分米石料的重量，算出这根长方体石料的总重量。 【详解】米分米 米分米 （平方分米） （立方分米） （千克） 答：这根长方体石料重千克。 举一反三 【变式11-1】一个长方体的无盖玻璃水族箱，长是6米，宽是60厘米，高是1.5米。制作这个水族箱需要用多少平方米的玻璃？它的体积是多少？ 【答案】平方米；立方米 【分析】先换算单位，把厘米换算成米，又因为是无盖，所以计算个面的表面积长宽长高宽高，再根据长方体体积公式长宽高，代入数据得出答案。 【详解】60厘米＝0.6米 6×0.6＋6×1.5×2＋0.6×1.5×2     ＝3.6＋18＋1.8     ＝23.4（平方米）     6×0.6×1.5 ＝3.6×1.5 ＝5.4（立方米） 答：制作这个水族箱需要用23.4平方米的玻璃，它的体积是5.4立方米。 【变式11-2】建筑工地上要用混凝土浇筑一个棱长为2.5米的正方体桥墩基座，浇筑这个基座需要多少立方米的混凝土？ 【答案】15.625立方米 【分析】求浇筑基座需要多少混凝土，即求该正方体基座的体积。 正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】根据分析可知： 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（立方米） 答：浇筑这个基座需要15.625立方米的混凝土。 【变式11-3】小老鼠杰瑞做了一些奶酪，汤姆想：“一定很好吃，我要吃大的。”汤姆选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？（尺寸如图，单位：厘米） 【答案】选择②。 【分析】计算两块奶酪的体积，比大小即可确定汤姆选择哪一个吃的更多。长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝边长×边长×边长。 【详解】8×10×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 480＜512 答：汤姆选择②才能吃到更多的奶酪。 题型十二、长方体和正方体的容积 知识积累 1.定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 2.计算方法： (1)计算方法与体积 相同。 (2)关键区别：计算体积时，数据从物体 外面 测量；计算容积时，数据从物体 里面 测量。 (3)因此，对于有厚度的容器，容积通常 小于 体积。 3.单位选择：固体一般用体积单位；液体和气体一般用容积单位（升、毫升）。 例题讲解 【典例12】要建一个长方体水池，池壁厚0.25米，水池的占地面积是多少平方米？它的容积是多少立方米？（水池底部厚度忽略不计） 【答案】48平方米；103.125立方米 【分析】水池的占地面积等于这个长方体的底面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答，求容积数据应该从里面量，所以长方体的长和宽都要减去两个池壁的厚度，再根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式求出水池的容积。 【详解】8×6＝48（平方米） （8－0.25×2）×（6－0.25×2）×2.5 ＝（8－0.5）×（6－0.5）×2.5 ＝7.5×5.5×2.5 ＝103.125（立方米） 答：占地面积是48平方米，它的容积是103.125立方米。 【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 举一反三 【变式12-1】一个油箱从里面量，长6分米，宽4分米，深14厘米，如果每升柴油重0.82千克，这个油箱能装柴油多少千克？（得数保留一位小数） 【答案】27.6千克 【分析】由题意可知，先求出这个油箱的容积，能放多少升的油，然后再乘每升油的重量可求出这个油箱能装多少千克的油，据此可解答。 【详解】14厘米＝1.4分米 （6×4×1.4）×0.82 ＝33.6×0.82 ≈27.6（千克） 答：这个油箱能装柴油27.6千克。 【点睛】本题考查求长方体的容积，熟记公式的解题的关键。 【变式12-2】一种牛奶用塑料盒密封包装（如图）。从外面量长是6cm，宽是5cm，高是10cm。盒上注明“净含量：350mL”，请分析注明的内容是否真实。     【答案】不真实 【分析】净含量是指盒子内部能装的牛奶体积，也就是盒子的容积；长方体的体积＝长×宽×高，先根据盒子外部的长、宽、高算出盒子的体积，再根据“1cm3＝1mL”进行单位换算；盒子的容积一定小于它的体积（因为塑料盒本身有厚度），将盒子的体积和标注的净含量比较，判断是否真实即可。 【详解】6×5×10＝300（cm3） 300cm3＝300mL 300＜350 答：注明的内容不真实。 【变式12-3】有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后，正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。（铁皮厚度忽略不计） (1)求这个铁盒的容积。 (2)做这个铁盒需要多少铁皮？ 【答案】(1)1875立方厘米 (2)775平方厘米 【分析】（1）铁盒深5厘米，这个深度就是剪去的正方形的边长，也就是铁盒的高；用原来的长减去两个5厘米就是铁盒的长，用原来的宽减去两个5厘米，就是铁盒的宽；长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数值计算即可。 （2）无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数值计算即可。 【详解】（1）35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是1875立方厘米。 （2）25×15＋25×5×2＋15×5×2 ＝375＋125×2＋75×2 ＝375＋250＋150 ＝625＋150 ＝775（平方厘米） 答：做这个铁盒需要775平方厘米铁皮。 题型十三、立体图形的切拼 知识积累 1.切割（增加表面积）： (1)每切一刀，增加 2 个切面。 (2)增加的表面积 = 切面面积 刀数。 (3)体积不变：切割前后，总体积 不变。 2.拼接（减少表面积）： (1)每拼接一次（两个面重合），减少 2 个接触面。 (2)减少的表面积 = 接触面面积 接口数。 (3)体积不变：拼接前后，总体积 不变（等于各部分体积之和）。 例题讲解 【典例13】把3个棱长是4厘米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比这3个正方体木块的表面积的和少( )平方厘米。拼成的长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 64 192 【分析】3个小正方体拼成一个长方体只有一种拼组方法：一字排列法，拼组后长方体的表面积比原来减少了正方体4个面的面积，减少的面积＝正方体棱长×棱长×4；体积是这几个小正方体的体积之和，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】减少的表面积是： 4×4×4＝64（平方厘米） 体积是： 4×4×4×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 举一反三 【变式13-1】一个正方体木块截成两个同样的长方体后，表面积增加了8平方分米，原来正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 24 8 【分析】把正方体截成两个相同的长方体，切一刀会新增2个和原正方体一个面一样大的正方形面；增加面积÷2＝正方体1个面的面积，正方体1个面的面积×6＝原正方体表面积，根据“正方形面积＝棱长×棱长”，求出正方体棱长，将棱长代入公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长即可。 【详解】正方体表面积： 8÷2×6 ＝4×6 ＝24（平方分米） 因为一个正方形面是8÷2＝4（平方分米），4＝2×2，所以正方体棱长是2分米，则体积是：2×2×2＝8（立方分米）。 【变式13-2】在修复一处古代宫殿模型时，将一块长方体木料沿高截去2cm，变成了一个正方体，表面积减少了48cm2。原来长方体的体积是( )cm3。 【答案】288 【分析】根据题意，长方体木料的高截去2cm后，表面积减少48cm2，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是2cm，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以2，即可求出原来长方体的长、宽；用长方体的长或宽加上2厘米，即是原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】长方体的长、宽是： 48÷4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm） 长方体的高是：6＋2＝8（cm） 长方体的体积是： 6×6×8 ＝36×8 ＝288（cm3） 【变式13-3】一根木料长1.2米，将它按图中所示锯成三段后表面积增加了24平方分米，这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.072立方米 【分析】把木料锯成3段需要锯2次，每锯1次都会新增2个横截面，2次一共新增4个横截面，用增加的表面积除以4求出横截面积，换算单位后，根据体积等于横截面乘长度求出体积。 【详解】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 24÷4＝6（平方分米） 6平方分米＝0.06平方米 1.2×0.06＝0.072（立方米） 答：这根木料的体积是0.072立方米。 题型十四、组合体的表面积和体积 知识积累 1.组合体体积： (1)方法：分割法或填补法。 (2)总体积 = 各部分体积之 和。 2.组合体表面积： (1)原则：只计算暴露在外部的面的面积。 (2)方法： (3)平移法：将凹陷部分的面向外平移，补成一个大长方体，再减去或加上多算/少算的部分。 (4)直接计算法：分别计算各个暴露面的面积，然后相加。 (5)注意：重叠部分的面积 不 计入表面积。 例题讲解 【典例14】求下面图形的表面积和体积。 【答案】130平方厘米；87立方厘米 【分析】求长方体的表面积，用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积：长×宽×高；正方体的表面积，用棱长×棱长×6，体积：棱长×棱长×棱长，图形的表面积等于长方体的表面积加正方体的表面积减去2个正方形的面积，图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积。 【详解】长方体的表面积： （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝（35＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 正方体的表面积： 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 图形的表面积：94＋54－2×3×3 ＝148－6×3 ＝148－18 ＝130（平方厘米） 长方体的体积： 5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方厘米） 正方体的体积： 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 图形的体积：60＋27＝87（立方厘米） 举一反三 【变式14-1】计算下图的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】352cm2；384cm3 【分析】该图形的表面积可以由一个棱长为cm的正方体表面积减去两个边长为cm的正方形的面积； 该图形的体积可以用一个棱长为cm的正方体体积减去一个长为cm，宽为cm，高为cm的长方体的体积；再根据，代入数据得出答案。 【详解】 （cm2） （cm3） 【变式14-2】计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】996平方分米；1112立方分米 【分析】“S长方体＝2（ab＋ah＋bh）”“S正方体＝6a2”图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的表面积－重叠部分两个小正方形的面积；“V长方体＝abh”“V正方体＝a3”图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积；据此解答。 【详解】表面积： 2×（2×15＋2×20＋15×20）＋8×8×6－8×8×2 ＝2×（30＋40＋300）＋8×8×6－8×8×2 ＝2×370＋64×6－64×2 ＝740＋384－128 ＝1124－128 ＝996（平方分米） 体积： 2×15×20＋8×8×8 ＝30×20＋64×8 ＝600＋512 ＝1112（立方分米） 【变式14-3】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：216m2；体积：189m3 【分析】在正方体顶点处挖去小正方体，原本被挖掉的3个面，会新露出3个面积相同的面，因此总表面积与原大正方体的表面积相等，根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，求出图形的表面积。 组合图形的体积＝大正方体的体积－被挖去的小正方体的体积，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出图形的体积。 【详解】表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（m2） 体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（m3） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（m3） 216－27＝189（m3） 题型十五、不规则物体的体积算法 知识积累 1.排水法： (1)适用于：下沉 且不吸水的物体。 (2)原理：物体体积 = 排开水的体积 = 水面上升部分的体积。 (3)公式： 或 。 (4)注意：物体必须 完全浸没 在水中。 2.溢水法： (1)适用于：容器已满的情况。 (2) 溢出 水的体积。 例题讲解 【典例15】一个长方体玻璃容器，从里面量长3分米、宽2分米。向容器中倒入7.5升水，把一个苹果放入水中完全浸没，这时测得容器内的水面高度为13.5厘米。这个苹果的体积是多少立方分米？ 【答案】0.6立方分米 【分析】根据“把一个苹果放入水中，这时容器内的水深是13.5厘米”，利用长方体的体积公式V＝abh可以求出水和苹果的总体积，单位不一样，要先把13.5厘米化成1.35分米，再列式为：3×2×1.35＝8.1（立方分米）；然后减去水的体积就是这个苹果的体积。 【详解】13.5厘米＝1.35分米 7.5升＝7.5立方分米 3×2×1.35－7.5 ＝6×1.35－7.5 ＝8.1－7.5 ＝0.6（立方分米） 答：这个苹果的体积是0.6立方分米。 举一反三 【变式15-1】计算出石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】288立方厘米 【分析】水面上升的体积就是石头的体积，由题图可知，水面上升了9－7＝2（厘米），根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】12×12×（9－7） ＝144×2 ＝288（立方厘米） 【变式15-2】一个从里面量长是6分米、宽是4分米、高是3分米的长方体容器中装着一些清水，测量后发现水深2.5分米。小明将一块假山石放入该容器中，完全浸没后，容器中水溢出0.3升。这个假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】 12.3立方分米 【分析】装入清水后，容器剩余高度＝长方体容器的高－水深；容器内空余部分的体积＝长×宽×剩余高度；假山石的体积＝容器内空余部分的体积＋溢出水的体积（注意将溢出水的容积单位换算成体积单位）。 【详解】0.3升＝0.3立方分米 6×4×（3－2.5）＋0.3 ＝6×4×0.5＋0.3 ＝24×0.5＋0.3 ＝12＋0.3 ＝12.3（立方分米） 答：这个假山石的体积是12.3立方分米。 【变式15-3】小亮在一个长12厘米、宽10厘米、高28厘米的长方体容器中做实验（测量一个土豆的体积）。请根据他的实验过程，计算这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】180立方厘米 【分析】水面上升的体积就是土豆的体积，用10.5厘米减去9厘米计算出上升的水的高度，再用底面积×上升的水的高度即可计算出土豆的体积。 【详解】12×10×（10.5－9） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 答：这个土豆的体积是180立方厘米。 题型十六、表面涂色的正方体 知识积累 前提：将一个棱长为 ( ) 的大正方体表面涂色，然后切成棱长为 1 的小正方体。 1.三面涂色： (1)位置：大正方体的 顶点 处。 (2)数量：固定为 8 个。 2.两面涂色： (1)位置：大正方体的 棱 中间（除去顶点）。 (2)数量： 12。 3.一面涂色： (1)位置：大正方体的 面 中心（除去棱和顶点）。 (2)数量： 6。 4.没有涂色： (1)位置：大正方体的 内部 核心。 (2)数量： 或 总数 - (三面+两面+一面)。 例题讲解 【典例16】将一个棱长5cm的正方体表面涂色后切成棱长1cm的小正方体，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块。 【答案】 8 36 【分析】将一个棱长5cm的正方体表面涂色后切成棱长1cm的小正方体，则正方体的每条棱上有5块小正方体。根据正方体表面涂色的特点可知： 三面涂色的小正方体在顶点处，每个顶点上有1块，共有8块； 两面涂色的小正方体在每条棱上，每条棱上有（5－2）块，共有12条棱，据此求出两面涂色的小正方体的总块数。 【详解】每条棱切成小正方体的个数：5÷1＝5（块） 三面涂色的有8块。 两面涂色的有： （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） 举一反三 【变式16-1】将一个正方体木块的6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小正方体，其中有两个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．1 【答案】C 【分析】已知正方体木块被切成27块小正方体，根据27＝3×3×3可得大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；由正方体的认识可知，在各棱处，除去2个顶点的小正方体外其他小正方体都是两面涂色，据此求出一条棱上的两面涂色的小正方体的个数，再乘棱的条数12即可解答。 【详解】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 其中有两个面涂色的小正方体有12个。 【变式16-2】在一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的表面涂色，然后把它切成棱长为1cm的小正方体。在这些小正方体中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，三面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【答案】 52 36 8 24 【分析】三面涂色的在顶点，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；两面涂色的在棱上且不包含顶点，需要分别计算长、宽、高各棱去掉顶点后的数量再求和；一面涂色的在每个面的中间区域，要计算每个面去掉边缘后的面积对应的小正方体数量再求和；没有涂色的在长方体内部，用长、宽、高分别减去2后相乘即可得到内部未涂色的小正方体数量。 【详解】一面涂色：[（6－2）（5－2）＋（6－2）（4－2）＋（5－2）（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 两面涂色：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 三面涂色：8个 没有涂色：（6－2）（5－2）（4－2） ＝4×3×2 ＝24（个） 【变式16-3】如图，一块长方体木块，长是6dm，宽是4dm，高是4dm，先在它的六个面上都涂上色，然后把它锯成棱长都是1dm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 【答案】 32 40 【分析】长方体长6、宽4、高4，两面涂色的在棱上不含顶点，用长、宽、高各减2后分别乘4条棱再相加；一面涂色的在6个面中间不含棱，按三组相对面，用每组面的两条棱各减2相乘再乘2，最后相加。 【详解】两面涂色：（6－2）×4 ＋ （4－2）×4 ＋ （4－2）×4 ＝4×4＋2×4＋2×4 ＝16＋8＋8 ＝32（块） 一面涂色：（6－2）×（4－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2＋（4－2）×（4－2）×2 ＝4×2×2＋4×2×2＋2×2×2 ＝16＋16＋8 ＝40（块） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $