精品解析：四川泸州市泸县普通高中共同体2025-2026学年高一下学期期中素养评价数学试题

2026年春期普通高中共同体高一半期素养评价 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边过点， 所以. 3. 下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可. 【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误； 对B，函数是非奇非偶函数，故错误； 对C，函数是非奇非偶函数，故错误； 对D，幂函数是奇函数，在上单调递增，故正确. 故选：D 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得或， “或”不能推出“”， 而“”能推出“或”， ∴“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 6. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 7. 在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得. 【详解】由点E为上靠近点B的三等分点，则， 故， 则 . 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为2 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，则的虚部为2，故A正确； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D正确. 10. 已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 是锐角三角形 D. 以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量坐标的计算公式判断A，利用投影向量的定义计算判断B，先求出三边长，确定最大角，再由向量数量积的符号判断C；先由向量的夹角公式求出一个内角的余弦，再由三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因， 则在上的投影向量为，故B错误； 对于C，由，，可得， 故角为的最大角，由可知角为钝角，故为钝角三角形，即C错误； 对于D，由上分析，得，则， 故，于是的面积为， 而以A，B，C为顶点的平行四边形的面积都是的面积的两倍，故D正确. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项： 借助放缩角度，利用正弦函数的单调增性质与特殊值比较，B选项： 逆用二倍角公式化简表达式，再结合余弦函数的单调减性质与特殊值比较，C选项： 构造两数之比转化为正切函数，直接利用正切函数性质判定出从而排错，D选项： 运用辅助角公式将和式化一，通过正切单调性估算整体角的范围，再结合正弦函数单调性求解. 【详解】对于A，因为，所以， 因在内单调递增，则，故 ，故A正确； 对于B，，因为，则， 而在上单调递减，则，即，故B正确； 对于C，，在内，由正切函数的性质有， 以下为证明过程： 设，则 ， 在内，，单调递增，所以，即， 因此，即 ，且，所以，故C错误； 对于D，，其中锐角满足， 原不等式等价于，即. 因为，即 ，则 ， ，因为在内，单调递增，所以， 又由A知，则，因为在内，单调递增， 所以成立，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. __________. 【答案】2 【解析】 【分析】由对数的运算法则直接求解. 【详解】. 故答案为：2. 13. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】观察图像，先求出半周期，进而求，再通过极差求出，最后代入最低点坐标求出 求出解析式，再求出即可. 【详解】由题意易知，周期，所以，所以. 考虑图中最低点，其横坐标为，纵坐标为，代入得 ， 解得 ， ，又因为，，所以 ， 所以. 14. 已知线段，O为平面上动点，若对，恒成立，则当取最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由恒成立可得动点O到直线AB的最短距离为3，设D为AB中点，有，OD取最小值3时最小且有，先求，再由倍角公式求. 【详解】设（E在直线AB上），则， 所以对，恒成立，即恒成立， 即动点O到直线AB的最短距离为3，设D为AB中点， 则， 当OD取最小值3时最小，此时且． ∴. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，满足，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义，向量数量积的运算律即可求解； （2）法一：由列出等式求解即可；法二：通过，再结合即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 所以． 【小问2详解】 法一：若，则， 所以， 即，解得． 法二：如图：，，，则， 则以，为邻边的平行四边形为菱形，即， 又，， 则， 又，则，即. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求． 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简可得，进而根据正弦型函数的周期公式求解即可，再根据正弦函数的单调性求解即可； （2）由可得，令，，结合正弦函数的图象可得，法一：可得 ，进而得到，进而求解即可；法二：可得，进而代值求解即可. 【小问1详解】 由 ， 则函数的最小正周期为． 令 ，解得 ， 所以函数的单调递增区间为 【小问2详解】 法一：令，即， 令，则由，得． 因为有两解，则这两解与关于对称，所以， 即 ，则，所以， 则． 法二：同法一可得，则， 即 ． 18. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， （1）若，，求； （2）若，求； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可. （2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可； （3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程 有正根，然后分情况讨论进而计算结果. 【小问1详解】 法一：， 则 ． 法二：过点D作的平行线交于点H， 在中，，， 由余弦定理： 法三：在中，由余弦定理： 又，则， 则. 法四：因为，则平分角C， 由， 即. 【小问2详解】 法一：因为，则与相似， 则，即，所以， 则，，则． 法二：设，因为，则 在中，由正弦定理知① 在中，由正弦定理知② ， ，则有 又，． 【小问3详解】 ，平方得． 即，又 令，则，. 法一： 令，则， ， ． 的取值范围为 法二：令，则方程 有正根． ， ①若，方程没有正根，不符合题意； ②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去） ③若，且，得：， ⅰ 若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意； ⅱ 若方程有两个正根，则，得或， ⅲ 若方程有1个正根，一个负根， ，得， 综上： ， 的取值范围为. 19. 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”． （1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值； （3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”． 【答案】（1）函数在上是“2－利普希茨条件函数” （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，判断与的大小关系即可. （2）根据定义，转化为恒成立即可. （3）根据定义，转化为，利用不等式性质结合已知计算即可得出结果. 【小问1详解】 已知且，则. 因为，，所以， 则0，即， 所以存在常数，使得在内任意，(，都有， 故函数在上是“利普希茨条件函数”. 【小问2详解】 已知且， 则. 因为，所以，则，那么， 所以，即. 因为函数在上是“利普希茨条件函数”， 所以，则的最小值为. 【小问3详解】 要证明是“2026－利普希茨条件函数”． 只需证在任意区间，存在常数， 使得内任意，都有. 因为 ， 且即只需恒成立即可. 因为时，，所以当时，， 当时，，即对，都有. 不妨设，则， 所以恒成立， 故存在常数，使得在内任意，，都有， 即函数是“利普希茨条件函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期普通高中共同体高一半期素养评价 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为2 B. C. D. 10. 已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 是锐角三角形 D. 以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. __________. 13. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________ 14. 已知线段，O为平面上动点，若对，恒成立，则当取最小值时，______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，满足，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若，求实数的值． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求． 18. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， （1）若，，求； （2）若，求； （3）求的取值范围． 19. 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”． （1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值； （3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $