精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题

数学练习 一、选择题 1. 下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 3. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义， ∵分式有意义时分母不能为， ∴， 解得：． 4. 在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标平移的规律，牢记规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得出结果． 【详解】解：∵点 向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为； 再向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 5. 已知中，两直角边长分别为、，斜边为，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形勾股定理结合完全平方公式变形求出两直角边的乘积，再根据直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，中满足：， ∵， ∴等式两边平方得：  ∵​， ∴ ， 将 代入上式得： ， 解得， 直角三角形面积 ． 6. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 7. 某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为​小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得： ． 8. 如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程 ， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程 本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入 得： ， 解得， 综上，的值为或． 10. 如图，在一个长方形的长为3，宽为2，内有一个边长为1的等边三角形．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点的运动轨迹由两段弧组成，分别是第一次绕点旋转和第三次绕点旋转产生的，第二次绕点旋转时点为旋转中心路程为0，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，第1次翻转得，第2次翻转得，第3次翻转得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴翻转三次后顶点C经过的路程为． 二、填空题 11. 若，则______．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式基本性质，两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变即可解决． 【详解】解：若，则． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于原点对称，横坐标变为，纵坐标变为， 故对称点为． 故答案为：． 13. 如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则_________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 15. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 16. 如图，中，，，，点E、F分别在边、上，且，在上方作等腰直角，，当之间距离最小时，的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判断出线段与的交点是平行四边形的对称中心，过对称中心作线段的垂线，线段的位置和长度均固定不变，过点作，过点作构造全等三角形找出点的运动轨迹，确定最小时，点G的位置，从而求出答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作垂直，交于点，交于点，过点作垂直于点，过点作，交延长线于点，交于点，过点作，垂足为， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段的中点，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ ∴点G在经过点M且位于直线上的一条线段上运动，矩形是正方形， ∴当点G与点重合时，取得最小值， 此时是正方形的对角线， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ． 三、解答题 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）运用提公因式法进行因式分解，即可作答； （）先提取公因式，再对剩余的用平方差公式继续分解，即可作答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解有 【解析】 【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为 ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是要注意解分式方程时要检验．根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：去分母可得， 解得， 检验：把代入最简公分母，得， 所以，原分式方程的解是． 20. 先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】，-1. 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 = ， 由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键. 21. 如图，已知四边形是矩形．求作菱形，使得点、分别在、边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线分别交于点E，于点F，则四边形即为所作菱形． 【详解】解：作图方法：作对角线的垂直平分线，分别交于点Ｅ、交于点Ｆ，连接、，四边形即为所求作的菱形． 理由如下， 设交于点O，如图所示， 由作图知垂直平分， ， ∵矩形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 22. 如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，得到，据此证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 （2）购买跳绳所需最少费用是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得：， 答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 【小问2详解】 解：设购买型跳绳根． 班级计划购买，两型跳绳共48根 购买型跳绳根． 根据题意得： 解得：． 设购买跳绳所需费用为元， 则 即 ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是元． 24. 【问题探究】 （1）如图①，已知中，平分交于，，，则______． （2）如图②，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图③，某植物园计划开垦一片劳动实践区四边形，按设计要求，，，对角线平分，．实践区计划在区域内种植辣椒，在区域内种植西红柿，同时在实践区外围修建篱笆（篱笆宽度忽略不计），若保持实践区面积不变，那么修建篱笆的长度，即四边形的周长是否发生变化？若不变化，请求出这个周长；若变化，请求出四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2），见详解 （3）四边形周长会变化，它的最小值为 ，见详解 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后过点作于，利用角平分线的性质定理可知，再根据面积的不同表示方法列方程求解即可； （2）首先利用菱形的对称性，点与点关于对角线对称，因此，于是 ．由于点E也是动点，所以当、、 三点共线且时，最小，然后求出边上的高即为最小值； （3）结合条件可知，对于和，如果分别选择为底，那么这两个三角形的高均为定值，因此首先求出这两条边上的高，然后根据四边形的面积不变可以确定也为定值，再根据已知条件分别表示出，通过探究的变化情况来确定四边形周长的变化情况即可． 【小问1详解】 解：，理由： 在 中，，，， ． 如图1，过点作于点， 平分，且，， ． ， ，即， 解得； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，，． 在中，． 如图2，连接，由菱形的对称性可知，点、关于对称， ， ． 如图3，当 、、 三点共线，且 时， 取得最小值，最小值为菱形边上的高． ， 又 ， ， 所以的最小值为； 【小问3详解】 解：四边形周长会变化，它的最小值为．理由： 平分，， ， 如图4，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ， ， ． ，， ， ． 设 ，则 ，，， 在中， ， 在中， ， 表示的代数式的几何意义如图5所示， 其中，， ， 则 . 根据两点之间线段最短可知，连接，交于点O，则的长度即为的最小值， 由图5易知 ，， 此时有 ，解得，即，的实际位置如图6所示，满足，的条件． 如图5，在中， ， ． ∵四边形的周长 ， ∴L的最小值为， 即四边形的周长会发生变化，其最小值为 ． 【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、菱形的性质、轴对称、勾股定理、含角的直角三角形．准确理解角平分线性质定理的内涵和作用，熟悉常见的基本模型，如“将军饮马”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题 1. 下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，两直角边长分别为、，斜边为，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在一个长方形的长为3，宽为2，内有一个边长为1的等边三角形．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若，则______．（填“>”或“<”） 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 13. 如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则_________． 14. 如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 15. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 16. 如图，中，，，，点E、F分别在边、上，且，在上方作等腰直角，，当之间距离最小时，的面积为________． 三、解答题 17. 因式分解 （1） （2） 18. 解不等式，并写出它的所有非负整数解． 19. 解方程：． 20. 先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 21. 如图，已知四边形是矩形．求作菱形，使得点、分别在、边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22. 如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 23. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 24. 【问题探究】 （1）如图①，已知中，平分交于，，，则______． （2）如图②，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图③，某植物园计划开垦一片劳动实践区四边形，按设计要求，，，对角线平分，．实践区计划在区域内种植辣椒，在区域内种植西红柿，同时在实践区外围修建篱笆（篱笆宽度忽略不计），若保持实践区面积不变，那么修建篱笆的长度，即四边形的周长是否发生变化？若不变化，请求出这个周长；若变化，请求出四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $