精品解析：陕西渭南市韩城市2026届高三下学期教学质量检测（III）数学试题

韩城市2026届高三教学质量检测（Ⅲ）数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得： 2. 已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性判断AB，再由函数在时的符号判断CD. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以函数是奇函数，故AB错误；  当时，，又因为，所以，则， 所以当  时，，即  轴右侧附近的图象应在 轴下方， 排除选项D，选项C符合. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】在前提条件下，分别验证充分性和必要性是否成立，即可得解. 【详解】已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 6. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定及线面角的定义求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别是的中点，得， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面， 因此平面，所以直线与平面所成的角为. 7. 如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直以及向量的数量积的运算求解即可. 【详解】因为，所以 已知点和，则. 因为，则 ， 化简得 ，解得. 8. 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，，，，的中位数为，则（ ） A. B. 该组数据的平均数为 C. 该组数据的分位数为 D. 剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数变大 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A .将已知数据从小到大排序 ，插入后，第4，5两数记为，由中位数为17，得 ，即 . 若，排序后第4、5个数为14和18，中位数为16，不符合题意； 当 ，则 ，解得， 若，排序后第4、5个数为18和18，中位数为18，不符， 若，则中位数不小于18，不符合题意；综上，正确. 选项B. 所有数据总和为 ，平均数为 ，B正确. 选项C . ，不是整数，向上取整得第5个数据，排序后第5个数据为18， 故60%分位数为18，错误. 选项D.剔除后，剩余7个数据总和为，平均数为 ，平均数变大，正确. 10. 已知等比数列的前项和为，前项积为．若，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，再逐项判断即可． 【详解】 ， 解得，则公比，，，故A正确； ，故B错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 11. 设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 点的横坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，作出辅助线，由题目条件和双曲线定义，余弦定理得到，，，得到渐近线方程和离心率；C选项，求出，得到三角形面积；D选项，联立直线和双曲线方程，得到点的横坐标. 【详解】A选项，设， 双曲线：的渐近线方程为， 显然与垂直，故直线的方程为， ，故原点到的距离为2，即，故， 过点作⊥，垂足为，则， 又为的中点，故， 因为，所以，， 由勾股定理得， 由双曲线定义得，则， 其中，又，所以， 由余弦定理得， 故，，双曲线的渐近线方程为，A正确； B选项，双曲线的离心率为，B错误； C选项，联立直线：与直线：得， 解得，故， 所以 ，C正确； D选项，联立与双曲线：得， 即，解得或（舍去）， 点的横坐标为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【详解】此题答案应为：1 由纯虚数的定义可知，其实部为0，虚部不为0，将复数问题转化为关于实数的方程问题． 解：∵ = =为纯虚数， ∴a+1≠0且a-1=0， ∴a=1， 故答案为 a=1． 13. 立德中学举行田径运动会，在男子米接力赛预赛中，高一（1）班准备派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，若将甲安排在第一棒或第四棒，则该班不同的接力比赛安排顺序有_____________种． 【答案】12 【解析】 【分析】采用特殊元素优先法，先安排甲，再安排其余学生，然后根据分步乘法计数原理计算即可得解. 【详解】先安排特殊元素甲，由题意可知甲仅可选择第一棒或第四棒，因此甲有种方法； 再安排其余学生，将乙、丙、丁3名学生安排到其余的3棒，有种方法， 根据分步乘法计数原理，可知该班不同的接力比赛安排顺序有种方法. 14. 设函数 ，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将 转化为自变量到对称轴的距离关系 ，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可. 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则 ， 令 ，，代入得： ， 即： ，所以， 化简得 ，所以. 所以 的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若的外接圆半径为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）由（1）及已知，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 在中，由，得 ，而，解得，而， 所以. 【小问2详解】 由及的外接圆半径为，得，则 由余弦定理，得 ， 解得，所以的周长. 16. 已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)根据离心率得到之间的关系，短轴长可得到，根据椭圆中的关系计算出的值，从而得到椭圆的标准方程； (2)设点的坐标，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到中点坐标，通过消参的方法得到轨迹方程，需考虑判别式大于0的条件下参数范围． 【小问1详解】 由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． 【小问2详解】 设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 17. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，． （1）证明：； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直的概念可得. （2）先确定三棱锥外接球的球心位置，再求外接球半径，根据球的体积公式求球的体积. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 如图： 取的中心，因为为等边三角形，所以. 又平面，平面，所以. 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 所以，即. 所以为三棱锥外接球的球心，设其半径为， 则. 所以所求球的体积为. 【小问3详解】 以为原点，，，所在射线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的二面角为， 则. 18. 如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯．依据交通法规：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转、右转、直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转．某无人驾驶试行汽车需从位置沿着网格到位置，导航系统会自动规划最优路线（理论上等红灯时间总和最少且不绕路）．若该车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为60s． （1）若按照路线：行驶，求全程无需等待红灯的概率； （2）求导航系统自动规划的最优路线条数； （3）若车路协同系统升级后，车辆可提前3个路口准确预知红绿灯信号状态（如（1）中线路，车辆在至途中，可预知处的红绿灯状态），据此可将后面路口遇到红灯的平均等待时间缩小到30 s，求按照（2）中的路线，等待红灯的时间大约为多少？ 【答案】（1）； （2）4； （3）45s 【解析】 【分析】（1）分析出3个路口遇到红灯需等待，从而由概率乘法公式进行求解； （2）分析出从到的最优路线不绕路且尽可能多的右转线路，从而列举出最优线路，得到答案； （3）设等待红灯的个数为，其中，进而由二项分布的知识进行求解 【小问1详解】 ，无信号灯，其余路口为，共6个路口， 其中若是红灯，需要等待的为， 每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计）， 故全称无需等待红灯的概率为； 【小问2详解】 最优路线是不绕路的路线，从到，只能向东或向北行驶， 从到，需要向东走4段路，向北走3段路，共走7段路， 从出发，可以选择或，均不需等待， 线路中，先往北再往东的线路，为右转线路，无需等待红灯， 这类线路有， ， ， 所以导航系统自动规划的最优路线中，要尽可能多的包含以上右转线路， 可以发现以上右转线路最多可以包含3段， 分别为， ， ， ， 故导航系统自动规划的最优路线条数为4； 【小问3详解】 按照（2）中的路线，均有3个路口遇到红灯需要等待， 每个路口遇到红灯的概率为，升级后后面路口遇到红灯的平均等待时间缩小到30 s， 设等待红灯的个数为，每条最优路线中平均等待时间为，则， 其中，则，故， 所以按照（2）中的路线，等待红灯的时间大约为45s 19. 已知函数． （1）当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）1 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. （3）设 ，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设 ，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 当时，，. 由解得，. 由 ， 所以 ，解得：. 【小问2详解】 由 ，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由 ，可得，即. 设 ，，则，. 设，，则 恒成立，所以在上单调递增. 又， ， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以 . 由，可得：. 设 ，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又， ， . 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 韩城市2026届高三教学质量检测（Ⅲ）数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 6. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，，，，的中位数为，则（ ） A. B. 该组数据的平均数为 C. 该组数据的分位数为 D. 剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数变大 10. 已知等比数列的前项和为，前项积为．若，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 13. 立德中学举行田径运动会，在男子米接力赛预赛中，高一（1）班准备派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，若将甲安排在第一棒或第四棒，则该班不同的接力比赛安排顺序有_____________种． 14. 设函数 ，则满足的实数的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若的外接圆半径为，，求的周长． 16. 已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 17. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，． （1）证明：； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯．依据交通法规：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转、右转、直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转．某无人驾驶试行汽车需从位置沿着网格到位置，导航系统会自动规划最优路线（理论上等红灯时间总和最少且不绕路）．若该车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为60s． （1）若按照路线：行驶，求全程无需等待红灯的概率； （2）求导航系统自动规划的最优路线条数； （3）若车路协同系统升级后，车辆可提前3个路口准确预知红绿灯信号状态（如（1）中线路，车辆在至途中，可预知处的红绿灯状态），据此可将后面路口遇到红灯的平均等待时间缩小到30 s，求按照（2）中的路线，等待红灯的时间大约为多少？ 19. 已知函数． （1）当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $