精品解析：陕西西安经开丁准高考补习培训学校2025-2026学年第二学期高三年级联合质量检测数学试卷

2026届高三联合质量检测 数学 本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘方运算即可求解. 【详解】因为 ，其对应点为， 所以在复平面内对应的点位于第二象限． 2. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 3. 已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，即 ，即 ，解得或（舍去），则 ，所以向量在向量上的投影向量的模为 ． 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 5. 已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆相切的定义，即可求解. 【详解】已知每个圆的半径，若两圆内切，则 ，不符合题意；若两圆外切，则，则两圆外切的取法有和，和，和，共3种. 综上所述，两圆相切的不同取法种数为3． 6. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用辅助角公式得到在上有三个解，令，得到，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意得在上有三个零点， 即方程在上有三个解， 令，， 由，得 或 ， 令和，得到，，，， 因为在上有三个解， 所以，解得． 7. 在四面体ABCD中，，且，则四面体ABCD的体积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把四面体放入长方体中，利用四面体体积等于长方体的体积的计算出四面体体积. 【详解】如图，四面体可内接于长方体，设长方体的长、宽、高分别为，，， 则有，，， 解得，， 所以． 8. 已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一，设， ，作出函数图象数形结合求解，法二，对分类讨论求解即可. 【详解】法一：， 设， ，令，得．作出，的大致图象，如图， 因为有三个互不相等的零点，所以要有两个大于的相异零点，记为，， 由根与系数的关系得，解得或， 所以的取值范围是． 法二：． ①若， 只有一个零点，舍去； ②若，当或时， ， 则 ，令， 得； 当时， ， 则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得． ③若，当或时， ，则 ， 令，得． 要使有三个互不相等的零点，要满足，得； 当 时， 0，则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在 内有两个不相等的实数根， 则，解得. 综上所述，的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则（ ） A. 极差变大 B. 中位数变小 C. 平均数变大 D. 80%分位数变小 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、分位数的定义，分别计算去掉最大值前后各统计量的值，再通过比较大小判断选项正误. 【详解】A选项，原数据极差为，现数据极差为， 由于，所以极差变小，A错误； B选项，原数据中位数为，现数据中位数为， 因为，所以，B正确； C选项，去掉最大值后平均数比之前小，C错误； D选项，原数据的分位数为， 现数据的分位数为， 因为，所以，D正确． 10. 已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以 ，即，故在上单调递减，D正确． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线 （c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C. 若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D. 设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时， 面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即 ， 又，则 ，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是 ，同理 ， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以 ， 因为，所以双曲线的渐近线方程为 ， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】两角和的正切公式求解，再由同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】因为，所以 ，解得， 所以． 13. 盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第1空：利用组合数公式计算从10张卡片中抽取4张的总情况数，通过枚举法找出编号之和为16的所有情况数，再用古典概型公式计算概率.第2空：在“编号之和为16”的条件下，结合条件概率公式，筛选出颜色相同（全奇或全偶）的情况数，计算条件概率. 【详解】从10张卡片中抽取4张，共有（种）情况， 其中满足编号之和为16的有：，，，，， ，，，，共9种情况， 故编号之和为16的概率为． 正面颜色相同，即4张卡片的编号同为奇数或同为偶数，只有符合题意， 故抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线列与C分别交于点列与（始终位于的上方），若点列的横坐标是以1为首项，2为公比的等比数列，则线段列的长度的前n项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点 ，得到 ，联立方程组，求得，根据抛物线的定义，可得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为， 设点的坐标为，可得直线的方程为 ， 联立方程组，整理得 ， 可得 ，所以，则， 又由抛物线的定义，可得， 故的长度的前项和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求； （2）若，为边上一点，平分，，求b． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简等式，再通过辅助角公式求解角. （2）利用角平分线的性质，通过三角形面积和建立方程求出边长，再用余弦定理计算边. 【小问1详解】 由 及正弦定理得， 所以． 因为，，所以 1， 即， 又因为，， 所以，所以． 【小问2详解】 由题可知，又， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以 ． 16. 某生鲜超市实行“折扣日清模式”，即每晚19：00开始打八折，19：00之后继续执行阶梯式降价销售方案，直至21：00剩余商品全部赠送．具体时段、价格及该超市统计的某月30天内某类蔬菜库存清空时段的情况如下表： 时段 21：00之后 价格 原价八折 原价六折 原价四折 原价两折 免费赠送 天数 5 6 6 10 3 根据上述统计数据估算概率回答以下问题． （1）若该类蔬菜每包的成本价、定价（原价）分别为A，2A，求此30天内该超市每日最后一包该类蔬菜所得利润的分布列以及数学期望； （2）顾客甲按照如下规律安排自己的到店时刻：若前一天到店时发现该蔬菜尚未售空，则当天到店时刻较前一天延后半小时；若前一天到店时发现该蔬菜已售空，则当天到店时刻较前一天提前半小时．若甲第一天于20：30到店，求他第三天恰于20：30到店的概率． 【答案】（1） 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定数表求出的取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用概率的加法公式及概率的乘法公式计算即得. 【小问1详解】 设最后一包该类蔬菜所得利润为，则的取值是，， ， ，， ， 由此可得的分布列为 的数学期望为 ． 【小问2详解】 因为甲第一天于到店，到第三天仍是到店， 所以从第二天开始，其到店的安排是延后一次，并提前一次， 设事件表示延后半小时，事件表示提前半小时， 第一天到店未售空，第二天到店，第三天到店， ，则； 第一天到店售空，第二天到店，第三天到店， ，则， 则第三天恰于到店的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． （1）若平面PCD，求的值； （2）若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直，利用向量的坐标运算求解； （2）（ⅰ）设 ，利用向量的坐标运算或是利用向量的线性运算即可求解；（ⅱ）利用向量法求平面夹角的余弦即可. 【小问1详解】 由题知平面，且， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 可得，，， 若平面，平面， 所以． 则 ，即 ， 即 ，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）法一：由（1）可得，，，，， 设 ，连接，如图， 则. 因为点，，，共面， 所以， 则，解得， 故． 法二：设 ，连接，如图， 则． 因为，即，故， 因为，，，四点共面，且，不共线，所以存在 ，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． （1）求的方程； （2）设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）为定值1；（ⅱ）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）（ⅰ）设点的坐标为，由对称性得到坐标，再结合斜率公式即可求解；（ⅱ）设，联立椭圆方程，由（ⅰ），结合韦达定理代入，得到关系式，进而可求解. 【小问1详解】 因为为等腰三角形，所以． 故直线的方程为． 由点到直线的距离为，得，解得． 所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1），设点的坐标为， 则中点坐标，直线的方程为． 由题意得，解得 即． 则可得，． 所以． （ⅱ）由题意直线斜率不为0， 设直线的方程为，与联立可得． 由（ⅰ）知点的坐标为，设点的坐标为， 根据根与系数的关系可得，①． 由（ⅰ）知，则 ，即可得 ， 根据直线方程可得 ， 化简可得 ， 将①代入可得 ，则可得或， 将其代入直线可得直线恒过定点或定点． 因为点在直线上，则点，在直线的同侧，与条件矛盾，舍去． 所以直线恒过定点． 19. 已知函数，当时，恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）已知函数有两个极值点，证明：． （3）当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标从小到大依次为，1，判断与0的大小关系，并证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由当时，恒成立求解即可. （2）对函数求导，由函数有两个极值点求解的取值范围，将，分别代入，换元，令求解即可. （3）将代入，求得与0的大小关系等价于与2的大小关系，并得到，为直线 2与函数图象交点的横坐标，对函数求导，令，对求导，求解的单调性，并与的大小关系等价于与的大小关系，设函数，求解的单调性，结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 对函数求导可得． 注意到，且当时，恒成立，从而可得． 由此可得，从而可得． 当且时，令，则， 所以在上单调递增，即可得， 由此可得在上单调递增，则．综上，可得实数的取值范围是． 【小问2详解】 对函数求导可得. 因为函数有两个极值点，．令，所以在上的两个解为，， 从而可得，，． 由此可得的取值范围是． 其中，． 则可得． 要证不等式， 可证， 等价于， 等价于， 令，上式等价于． 由（1）可得，当时，，等价于， 由此即可得原不等式成立． 【小问3详解】 当时，． 令，可得． 由题意可得，，由第（1）问可得． 据此可得． 由，可得． 此时与的大小关系等价于与2的大小关系， 又，此时，为直线 2与函数图象交点的横坐标． 对函数求导可得，令，求导可得， 即在上单调递增，且有．从而可得在上单调递减，在上单调递增． 显然可得 ，则与的大小关系等价于与的大小关系， ， 设函数， 求导可得， 令，则恒成立． 由此可得在上单调递减，即可得，从而可得在上单调递增，由此可得， 从而可得.结合函数的单调性即可得，即，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三联合质量检测 数学 本试卷4页.总分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体ABCD中，，且，则四面体ABCD的体积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则（ ） A. 极差变大 B. 中位数变小 C. 平均数变大 D. 80%分位数变小 10. 已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C. 若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D. 设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线列与C分别交于点列与（始终位于的上方），若点列的横坐标是以1为首项，2为公比的等比数列，则线段列的长度的前n项和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，为边上一点，平分，，求b． 16. 某生鲜超市实行“折扣日清模式”，即每晚19：00开始打八折，19：00之后继续执行阶梯式降价销售方案，直至21：00剩余商品全部赠送．具体时段、价格及该超市统计的某月30天内某类蔬菜库存清空时段的情况如下表： 时段 21：00之后 价格 原价八折 原价六折 原价四折 原价两折 免费赠送 天数 5 6 6 10 3 根据上述统计数据估算概率回答以下问题． （1）若该类蔬菜每包的成本价、定价（原价）分别为A，2A，求此30天内该超市每日最后一包该类蔬菜所得利润的分布列以及数学期望； （2）顾客甲按照如下规律安排自己的到店时刻：若前一天到店时发现该蔬菜尚未售空，则当天到店时刻较前一天延后半小时；若前一天到店时发现该蔬菜已售空，则当天到店时刻较前一天提前半小时．若甲第一天于20：30到店，求他第三天恰于20：30到店的概率． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． （1）若平面PCD，求的值； （2）若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． （1）求的方程； （2）设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 19. 已知函数，当时，恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）已知函数有两个极值点，证明：． （3）当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标从小到大依次为，1，判断与0的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $