上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三阶段练习数学试卷

2025学年第二学期南模中学高三年级阶段练习 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） （试卷共4页，答题纸共2页） 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1．已知集合，，则________． 2．已知向量，，若，则________． 3．已知，则________． 4．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为________． 5．函数的最大值是________． 6．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 7．若正实数、满足，则的最小值为________． 8．相互独立事件，满足，，则________． 9．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 10．在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 11．已知两定点和，双曲线以，为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 12．已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13．若直线的倾斜角为，则（ ） A．等于0 B．等于 C．等于 D．不存在 14．若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 15．已知空间向量，，不共面，下列选项中的三个向量一定不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17．（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示． （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为，的近似值），已知样本的标准差．现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率． 参考数据：若，则，，． 18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． （1）证明：与是异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知（且），函数是定义域为的奇函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，且，求函数在上的值域． 20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点． （1）若，求的周长； （2）若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由； （3）若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围． 21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知，设集合，，． （1）求； （2）证明：存在唯一的，使得集合恰有三个元素； （3）若集合元素个数大于等于，且的所有元素按照一定顺序可以排成一个等差数列，则称为一个“好值”，判断所有“好值”的个数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $