第11章 三角形的证明及其应用 专题训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 聚焦全等三角形模型与等腰三角形分类讨论，通过基础模型应用→综合探究→分类深化的分层设计，强化推理意识与空间观念，适配单元复习的知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础模型应用|平移/对称型全等判定、等腰三角形基本分类|以选择/填空题考查判定条件（如第1题添加全等条件）、顶角底角分类（如第1-2题）| |综合模型探究|旋转（手拉手）、一线三垂直、半角模型|含动态证明（如第4题手拉手全等）、多图变式（如第5题一线三垂直旋转）| |分类讨论深化|高/中线/动点引起的等腰分类|结合几何直观设计多情境问题（如第8题高的分类、第13题动点形成等腰三角形）|

第11章 三角形的证明及其应用 专题训练一 全等三角形的常见模型 模型平移型 1.如图,在△ABC 和△DEF 中,∠B=∠DEF,AB=DE,现增加一个条件证明△ABC≌△DEF，下列符合要求的条件有 个. ①∠A=∠D ②AC∥DF ③BE=CF ④AC=DF 模型对称型 2.如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若AE=6,CD=8,求 BD 的长. 模型旋转型 类型一 不共顶点型旋转 3.如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上,且AF=DC,BC=EF,BC∥EF. (1)求证:AB∥DE; (2)若∠A=20°,∠AFE=102°,求∠E 的度数. 类型二 共顶点型旋转(含手拉手型) 探究拓展题综合与探究【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.4. 【基本模型】(1)如图 1，在“手拉手”图形中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接 BD,CE.求证:△ABD≌△ACE; 【变式探究】(2)如图 2,△ABC 和△ADE都是等腰三角形,即 AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°,B,C,D 在同一条直线上.请判断线段 BD 与CE 存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC = 60°,若 ∠A = α,则 ∠C = .(用含α的式子表示) 模型四一线三垂直模型 5.如图,在三角形 ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 AD⊥MN 于点D,BE⊥MN 于点E. (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时： ①求证:△ADC≌△CEB; ②试探索 DE,AD,BE 的数量关系,并说明理由； (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,试探索 DE,AD,BE 的数量关系,并说明理由； (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3的位置时,试问 DE,AD,BE 具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系，不需要证明. 模型五半角模型 6.如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的 A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为 70°，则此时两舰艇之间的距离为 海里. 7.如图,△ABC 中两边AB,AC 上有两点M,N,D 为△ABC 外一点,且∠A = 80°,∠BDC=100°,∠MDN=50°,BD=DC. (1)猜想线段 MN,BM,NC 之间的数量关系并证明； (2)若AB=7,AC=8,求△AMN 的周长. 专题训练二 等腰三角形中的分类讨论思想 类型 当顶角或底角不确定时，分类讨论 1.等腰三角形中，有一个内角为80°，则该等腰三角形的顶角为( ) A.50° B.80° C.80°或20° D.20° 2.等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数为 ( ) A.70° B.70°或40° C.40° D.40°或110° 3.若△ABC 是等腰三角形,∠B=30°,∠A 的度数为 . 类型当底和腰不确定时，分类讨论 4.若实数x,y满足|x-4|+ 则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为 ( ) A.17 B.17或22 C.22 D.13 5.已知△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,且∠BAD =40°,点 E 是边 AC 上的一点,若△ADE 为等腰三角形，则∠EDC 的度数是 . 6.已知等腰三角形的周长为 10，一边长为 2，那么它的腰长为 . 7.将一根长为 30 cm 的木条折成一边为 6 cm 的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为 . 类型当高不确定时，分类讨论 8.已知等腰△ABC 中一腰上的高与另一腰的夹角为32°，则△ABC 的顶角的度数为 . 9.等腰△ABC 中,BD⊥AC,垂足为点 D，且 则等腰△ABC底角的度数为 。 类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论 10.在△ABC 中,AB=AC，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为 40°，则底角∠B 的度数为 . 类型五由腰上的中线引起的分类讨论 11.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 9 cm 和 12 cm 两部分，则等腰三角形的腰长为 ( ) A.6cm B.6 cm或8cm C.8cm D.5cm 或9 cm 类型六由动点引起的分类讨论 12.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=40°,在直线 AC 取一点 P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点 P 共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 13.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t 秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 . 专题训练一 全等三角形的常见模型 1.3 2.解:(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠AEB=∠ADC=90°, 在△ABE 和△ACD 中, ∴△ABE≌△ACD(AAS); (2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6, 在 Rt△ACD 中, ∴AB=AC=10, ∴BD=AB-AD=10-6=4. 3.解:(1)证明:∵AF=CD, ∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF. ∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE, 在△ABC 和△DEF 中, ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴AB∥DE; (2)∵∠D=∠A=20°,∠AFE=102°,∴∠E=∠AFE-∠D=102°-20°=82°. 4.解:(1)证明:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠CAD =∠DAE-∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD 和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS); (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下: ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠ADB=∠AEC. ∵∠ECD +∠ADB =∠EAD +∠AEC, ∴∠ECD=∠EAD=90°, ∴BD⊥CE; (3)如图,延长 DC 至 P,使 DP =DB,连接PB, ∵∠BDC=60°, ∴△BDP 是等边三角形, ∴BD=BP, ∠DBP=60°. ∵∠ABC=60°, ∴∠ABC=∠DBP, ∴∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC,即∠ABD=∠PBC, 在△ABD 和△CBP 中, ∴△ABD≌△CBP(SAS),∴∠BCP=∠A. ∵∠BCD+∠BCP=180°, ∴∠BCD+∠A=180°, ∵∠A=α,∴∠BCD=180°-a,故答案为:180°-α. 5.解:(1)①证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠DAC+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠DAC=∠BCE, 在△ADC 和△CEB 中, ∴△ADC≌△CEB(AAS); ②DE=BE+AD,理由如下: ∵△ADC≌△CEB, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD+CE=BE+AD, 即 DE=BE+AD; (2)AD=BE+DE,理由如下: ∵AD⊥MN,BE⊥MN, ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠DAC+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠DAC=∠BCE, 在△ADC 和△CEB 中, ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,CD=BE, ∴AD=CE=CD+DE=BE+DE,即AD=BE+DE; (3)BE=AD+DE. 6.210 解析:如图所示,连接 EF,过点 B 作BH⊥x轴于点 H, 根据题意得 OA = OB,∠AOM = 30°, ∴在 Rt△AOM,Rt△BOH 中,∠OAM =60°,∠OBH =70°,则∠OBF =∠OBH + ∴∠AOB=∠AOM+∠MON+∠BON= ∵∠EOF = 70°, ∴ ∠AOE + ∠BOF = ∵舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙以80海里/小时的速度前进，行驶1.5小时, ∴AE=60×1.5=90(海里),BF=80×1.5=120(海里), 如图所示，延长 MA 至点 F′，使得.AF'=BF,则 在△OBF 和△OAF'中. ∴△OBF≌△OAF'(SAS), ∴OF=OF',∠BOF=∠AOF', ∴在△EOF'和△EOF 中 ∴△EOF'≌△EOF(SAS), ∴EF=90+120=210(海里), ∴此时两舰艇之间的距离为210海里. 7.解:(1)MN=BM+NC;理由如下: 延长AB,在AB 的延长线上取BE=CN,连接DE,如图, ∵∠BDC=100°,∠A=80°, ∴ ∠ABD + ∠ACD = 360° - ∠A −∠BDC=180°. ∵∠ABD+∠DBE=180°, ∴∠DCN=∠DBE. ∵BE=CN,DB=DC, ∴△BDE≌△CDN(SAS), ∴∠BDE=∠CDN,DE=DN. ∵∠MDN=50°, ∴∠BDM+∠BDE=∠BDM+∠CDN= ∴∠MDN=∠EDM. ∵DM=DM, ∴△MDE≌△MDN(SAS), ∴MN=ME, ∴ME=BM+BE=CN+BM, ∴MN=BM+NC; (2)∵MN=BM+NC,AB=7,AC=8,∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=7+8=15. 专题训练二等腰三角形中的分类讨论思想 1. C 2. B 3.30°或75°或120°4. C 5.20°或50°6.4 7.12cm,12cm 8.58°或122°9.15°或45°或75° 10.65°或25°11. B 12. C 13.5或8或 解析:在 Rt△ABC 中,I ∴BC=4 cm. ①当AB=BP 时,如图1,t=5; ②当 AB=AP 时,如图 2,BP =2BC=8cm,t=8; ③当AP=BP 时,如图3, 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t=5或8或 学科网（北京）股份有限公司 $