11.5 线段的垂直平分线-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学随堂小练（鲁教版五四制·新教材）

5线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M,6.如图，线段AB,BC的垂直平分线L1,l2相交于点 N不在AB上)的垂直平分线的是 0,若∠1=38°，则∠A0C的度数为 A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB C.MA=NA,MB=NB D.MA=MB,MN平分AB 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平 分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50cm, B 则AC+BC= 7.如图，在△ABC中，AC=2,∠A=60°，∠B=45°， BC边的垂直平分线DE交AB于点D,连接 CD,则AB的长为 A.25 cm B.40 cm B E C C.45 cm D.50 cm 8.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分 3.如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线 线I交BC于点M,AB+BM=BC,则∠B的度数 分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MW交于 为 () 点P A (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上 1059 (2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数 M B A.45° B.50° C.55° D.60° 4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于 点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,若 ∠BAC=74°，则∠NAE的度数为 () B A.30° B.32°C.36° D.37° 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点，O 是AD上一点，且OB=OC.若BC=4,则BD的 长是 ·41· 第2课时线段的垂直平分线的画法及应用 1.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线相 5.如图，在△ABC中，已知点O是边AB,AC的垂 交于点P,则PB与PC的关系是 () 直平分线的交点，点E是∠ABC,∠ACB的平分线 的交点，若∠0+∠E=180°，则∠A= A.PB>PC B.PB=PC C.PB<PC D.PB≠PC B 2.如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心A,B, 第5题图 第6题图 C围成的△ABC区域内修建一个电视信号发射 6.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点， 塔0，使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C ∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为 三地的距离相等，以下选址正确的是() 7.如图，村庄A,B分别在笔直公路1的两侧，一辆 汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A,B两 村庄的距离相等？请指出该位置 A ·B 8.如图1，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AC和 BC,交AB于M,N两点，DM与EN相交于点F (1)若∠ACB=100°，求∠MCN的度数 (2)如图2，连接FA,FB,FC,△CMN的周长为 0 12cm,△FAB的周长为28cm,求FC的长 3.如图，直线l经过线段AB的中点O,点P在直 线l上，且PA=PB,则下列结论：①∠PAO= ∠PB0:②∠A=30°；③P0平分∠APB;④PO 垂直平分线段AB.其中正确的有 A.1个 B.2个 图1 图2 C.3个 D.4个 E 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠A=60°，P为△ABC内 点，过点P的直线EF分别交AB,AC于点E,F 若点E,F分别在PB,PC的垂直平分线上，则 ∠BPC的度数为 A.110 B.120° C.130° D.140° ·42·(2)证明：.OC平分∠AOB .∠DOP=∠BOP. .·DN∥EM,∴.∠DPO=∠BOP .∠DOP=∠DPO,∴.OD=PD, .△DOP是等腰三角形 9.(1)证明：AF平分∠DAC .∴.∠DAG=∠FAC. ·.AF∥BE,∴.∠DAG=∠B,∠FAC=∠ACB .∴.∠B=∠ACB,.AB=AC, ·.△ABC是等腰三角形 (2)解：.：∠B=∠ACB,∠FAC=∠ACB, .∠B=∠FAC=∠ACB=40° .AG=AC, ∠ACG=∠AGC=180°-∠FAC180°-40 =70° 2 .AF∥BE,.∴.∠GCE=∠AGC=70° 第2课时等腰三角形中的重要线段 C2.C3B415.0或10 6.解：(1)AD=AE,∴.∠AED=∠ADE. '∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2， .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. .∠B=∠C,∠BAC=90°，D是BC的中点， .∠1=45°，∠1=2∠2， .∠2=22.5° 答案：22.5° (2)∠1=2∠2.证明：AD=AE,.∠AED=∠ADE. .·∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2. .∠B+∠1=∠2+∠C+∠2. ∠B=∠C, .∠1=2∠2 7.证明：(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC. A0=B,AB=ACA0=AE 在△ACD和△ABE中， (AD=AE, ∠CAD=∠BAE,∴，△ACD≌△ABE(SAS), AC=AB. .CD=BE (2)由(1)，得△ACD≌△ABE, .∠ACD=∠ABE. AB=AC,AD=AE,.'.BD=CE. 又.·∠CFE=∠BFD, ·.△BDF≌△CEF(AAS),.DF=EF 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.A2.C3.A4.∠B=∠C(答案不唯一)5.36.3 7.∠B等边对等角AB<AC∠C<∠B大边对大角 8.证明：(1)：∠BAC=90°，∠C=30 ,∴，∠ABC=90°-30°=60° BF平分∠ABC,.∠ABF=∠CBF=30° AD⊥BC,.∠ADB=90°， .∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=90°-30°=60° .·∠AFB=90°-∠ABF=90°-30°=60°， ∴.∠AFE=∠AEF=60°， ·.△AEF是等边三角形 (2).·∠ADB=90°，∠ABC=60°， ∠BAE=∠ABF=30°，.AE=BE 由(1)知△AEF是等边三角形， ∴.AE=EF,∴.BE=EF. 4直角三角形 第1课时勾股定理及其逆定理 1.C2.D3.B 4.面积相等的两个三角形是全等三角形 6.2.5 7.解：在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=√17-152=8. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2=√82+6=10. 8.解：(1)在Rt△AOB中， ·∠A0B=90°，AB=25cm,OB=7cm, .由勾股定理，得0A=AB2-0B=√252-7产=24(cm). AC=4 cm, .0C=0A-AC=24-4=20(cm). (2)在Rt△COD中，∠C0D=90°，CD=25cm, .由勾股定理，得0D=√CD2-0C=√252-202= 15(cm), .BD=OD-OB=15-7=8(cm) 第2课时直角三角形全等的判定 1.B2.C3.B4.C5.76.2 7.证明：(1)AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD ·.·AD⊥BC·.∠ADB=∠ADC=90° 在△ADB和△ADC中， ∠BAD=∠CAD. AD=AD. .∴.△ADB≌△ADC(ASA), ∠ADB=∠ADC. .AB=AC. (2).·△ADB≌△ADC,.BD=CD ·CD=CE,.BD=CE .EC⊥BC,∴.∠BCE=90° 在Rt△ABD和Rt△BEC中 (AB=BE, BD=EC, .Rt△ABD≌R△BEC(HL) 8.证明：(1).·∠C=∠C'=90 .△ACD和△A'C'D'都是直角三角形. 在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AD=A'D' AC=A'C', ∴.Rt△ACD≌Rt△A'CD'(HL) (2).Rt△ACD≌RI△A'C'D', ∴.CD=CD' AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线， .CB=C'B'=2CD. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中， AC=A'C' ∠C=∠C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) CB=C'B'. 5线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.C2.D3.B4.B5.26.76°7.1+3 8.(1)证明：如图所示，连接BP,AP,PC .·PE垂直平分AB,PM垂直平分AC .PA=PB,PA=PC,..PB=PC .点P在线段BC的垂直平分线上 ·53· (2)解：：PE垂直平分AB,PM垂直平分AC ∴.FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMWN=9O°， .·.∠ABC+∠BFE=∠ACB+∠MNC=90° 设∠ABC=x,∠ACB=y, .∴.∠ABC=∠BAF=x,∠ACB=∠CAN=y,∠BFE=90°-x ∠MNC=90°-y, .∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y. ,∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠FAW=56°， .2x+2y+56°=180°， ..x+y=62° .·∠PFN+∠PWF+∠FPN=180°， .∴.90°-x+90°-y+∠FPN=180° .∠FPW=180°-180°+(x+y)=62 第2课时线段的垂直平分线的画法及应用 1.B2.B3.C4.B5.36°6.35 7.解：如图所示，作AB的垂直平分线m,直线m与l相交于 点P,点P即为所求。 4 ◆B 在点P时，汽车到A,B两村庄的距离相等。 8.解：(1)：DM,EN分别垂直平分AC和BC, ∴.AM=CM,BN=CN, ∴.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN. .·∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°， ,∴.∠A+∠B=180°-100°=80°， ∴.∠ACM+∠BCN=80°， ∴.∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=100°-80°=20°， 即∠MCW的度数为20° (2)由(1)知AM=CM,BN=CN ∴.△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB. :△CMN的周长为12cm,AB=12cm. :△FAB的周长为28cm, .FA+FB+AB=28 cm, .∴.FA+FB=28-AB=28-12=16(cm) DF,EF分别垂直平分AC和BC, .FA=FC.FB=FC. .2FC=16cm,.FC=16÷2=8(cm), 即FC的长为8cm. 6角平分线 第1课时角平分线的性质及判定 1.B2.B3.C4.B5.2.46.3 7.证明：(1)：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC. .DE=DC. 在Rt△CDF和Rt△EDB中， PEE,Rt△GDP≌R△EDB(HD), .CF=EB (2).·DE⊥AB,DC⊥AC .∠DEA=∠C=90°. 在Rt△ADC与Rt△ADE中， ICD=ED,:Rt△ADC≌R△ADE(HL), AD=AD. .∴.AC=AE .AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB. ·54. 8.证明：(1)BF⊥AC,CE⊥AB,∠BDE=∠CDF ∴.∠B=∠C 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ·∠B=∠C,BD=CD,∠BDE=∠CDF ·.△BDE△CDF(ASA) (2)如图所示，连接AD. .·△BED≌△CFD. .ED=FD. :BF⊥AC,CE⊥AB .点D在∠BAC的平分线上 第2课时角平分线的应用 1.C2.C3.D4.C5.120°6.7.5cm 7.证明：连接BF,如图. :F是△ABC中∠BAC,∠ACB的平分线的交点， ·.BF也是角平分线 ·FM⊥AB,FN⊥BC .·MF=FN,∠DNF=∠EMF=90 :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， ·.∠BAC=30°，∠BCE=45°， ·.∠DAC=2 1 ∠BAC=15° ∴.∠CDA=90°-15°=75° 在△BCE中，.·∠ABC=60°，∠BCE=45°， .∴∠BEF=180°-60°-45°=75°，.∠MEF=75°=∠NDF 在△DNF和△EMF中， ∠DNF=∠EMF ∠NDF=∠MEF,∴.△DNF≌△EMF(AAS), NF=MF, .FE=FD. 8.证明：(1)：D是BC的中点， ∴.BD=CD DE⊥AB,DF⊥AC, ·△BDE与△DCF是直角三角形 在Rt△BDE与Rt△CDF中， (BD=CD, ·.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), BE=CF. .DE=DF 又DE⊥AB,DF⊥AC ·.AD是△ABC的角平分线. (2):AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F, .DE=DF .D是BC的中点，·.BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (BD=CD. .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), DE=DF .BE=CF