函数与导数：切线问题、利用零点的数量求参数问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：切线问题、利用零点的数量求参数问题专项训练 函数与导数：切线问题、利用零点的数量求参数问题专项训练 考点目录 切线问题 利用零点的数量求参数问题 考点一 切线问题 例1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 例2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 例3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 例4．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A．-4 B．4 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 函数，求导得，则，解得，则切点为， 因此，所以. 故选：B 例5．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 例6．（25-26高三上·河北石家庄·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则 . 【答案】11 【详解】由，得， 由题意可得，解得，， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得， 设切点为，则，且， 联立得，即，解得，所以． ∴． 故答案为：11. 例7．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【答案】3 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 变式1．（24-25高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 变式2．（24-25高二下·新疆·月考）设曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】易知， 因此在点处的切线斜率为， 又切线与直线平行，可知它们的斜率相等，即. 故选：B 变式3．（25-26高三上·贵州·月考）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 变式4．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 变式5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设切点为，的导数，故切线斜率. 设切线方程为 将，代入切线方程得 化简得 令，，即与有两个交点. ，令得. 时，单调递减；时，单调递增. 所以极小值， 的图象如图， 要使与有两个交点，则 解得. 故答案为： 变式6．（2025·陕西西安·模拟预测）若直线（k为常数）是曲线的一条切线，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 设切点为，则切线斜率为，同时切点既在曲线上，也在切线上，则： 曲线方程：， 切线方程：； 联立方程得， 化简得 ， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又， 故解得 ， 将代入，得：. 故答案为：2. 变式7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：2． 考点二 利用零点的数量求参数问题 例1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数，若函数至少存在2个不同的零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 若存在至少2个零点，由函数单调性可知，要同时存在极大值和极小值，故， 当时，令可得或， 令得，即在上单调递增， 在上单调递减，所以的极大值为，极小值为， 若要存在至少2个零点，则，解得. 故选：A． 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可得方程在上有两个根方程在上有两个根 函数图象与直线在上有两个交点， ，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又时且，， 所以时，则，时，则 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 时且时且，如图， 所以函数图象与直线在上有两个交点，则. 故答案为： 例4．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）设函数（），若有两个极值点，且只有一个零点，则lna的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由有两个极值点，得方程，即有两个不相等的实根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 求导得，切线方程为， 由该切线过原点，得，解得，切线斜率， 当时，由函数的图象与直线有两个不同的交点，得， 解得，则； 当时，由函数的图象与直线有两个不同的交点，得， 解得，则， 因此当有两个极值点时，或， 当时，函数在上都单调递减，则在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点， 由在R只有一个零点，得在上没有零点， 则有当时，恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， ，则； 当时，函数在上都单调递增，则在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 由在R只有一个零点，得在上没有零点， 则有当时，恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减， ，则， 因此当只有一个零点时，或， 所以所求lna的取值范围是. 故答案为： 例5．（2025·河北沧州·一模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 例6．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），令得， 故； （2）， ，，              又， 在上单调递减，在上单调递增， 在上有两个零点， ∴，故， . 例7．（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，的导数为，所以， 故所求切线方程为，即； （2）因为，即不是函数的零点，所以， 令，求导得， 令或， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，，当时，， 由此可作出函数的图象，如图所示，    由题意，函数有三个零点，结合图象可知，的取值范围为. 例8．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程在上有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)最大值为11和最小值； (3). 【详解】（1）由已知函数在处取得极值，且， 所以，，此时， 所以，则或则，则， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故； （2）由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 而， 则在区间上的最大值为11和最小值； （3）令，则， 同（1）知与单调性相同，已知方程有三个不同的实数根， 则，得，则实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，求导得. 与均在上单调递增，故在上单调递增. 当时，；当时，， 故存在唯一零点，即，两边取对数得， 即. 在上单调递减，在上单调递增， 其最小值为. 令（），求导得， 故在上单调递减，且. 因为当时，；当时，， 所以恰有两个零点的充要条件是，即， 结合的单调性，得. 由，且在上单调递增，得. 故选：D 变式2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数有且仅有2个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ，则， 当时，恒成立，函数在上单调递增，最多有一个零点，不符合题意； 故，则有两个不相等的实数根， 又， 若函数有且仅有2个零点， 则可知的一个极值点为零点， 故存在，满足，由②得 代入①得， ， 解得， 代入②得， 324， 设， 当时，， ， 而此时， 故.， 于是的极值均为正数，故可知有且仅有一个零点， 而，，故，此时0， 可知有两个零点， 即有两个极值点，符合题意. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）函数有且只有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为. 函数有且只有一个零点等价于只有一个解， 即函数与的图象在上有且只有一个交点. 函数的图象如图，过点，且在上单调递减，在上单调递增. 函数，图象为顶点在，开口向上的V形折线，对称轴为，且沿轴左右平移. 通过观察图象可知，当与在上相切时，有一个交点； 当与在不相交时，有一个交点. 当与在上相切时， ，令，解得，此时切点坐标为， 代入中，可得. 此时当时，函数与在上有1个交点，满足条件； 同理可得，当时，函数与在上有2个交点， 当时，函数与在上有1个交点，在上有1个交点； 综上，的取值范围为. 故答案为： 变式4．（2025·四川自贡·一模）若函数有3个零点，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当函数有3个零点时，即方程有三个解； 当时，方程无解， 即当时，方程有三个解； 设函数且， ， 令，即，解得或， 当时，，则，即，函数在上单调递增， 当时，，则，即，函数在上单调递减， 当时，，则，即，函数在上单调递增， 可知时，，时，， 因为，所以当有三个解时，，即实数k的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)已知有三个不同的零点.求的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由题意得：函数， 求导得， 则， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 则，即，所以. （2）函数的定义域为，由，得， 令函数，则 求导得， 当或时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极大值， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 而，当时，恒有， 又有三个零点，则， 所以的取值范围为. 变式6．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由，得， 由题意得，， 得，解得. （2）由（1）知， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 则在区间上的最大值为，解得. （3）由（2）知，在和上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，取得极大值. 要使函数的图象与轴恰有三个交点，则， 解得，即的取值范围是. 变式7．（25-26高三上·广东·月考）已知函数. (1)若，证明：，； (2)若存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，则， 令，则， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 则当时，，即恒成立，则在上单调递增， 故对，. （2）由，，得. 令，则， 当时，易得在上恒成立，则在上单调递减， 则最多只有一个零点，则不可能存在两个极值点，不符合题意. 当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而. 若，则，则在上单调递增，所以没有极值点，不符合题意. 若，则， ，，. 令函数. 当时，. 则，.令，. 则，所以在上单调递增，故. 故在上单调递增，所以. 故. 因此，在上单调递减，在上单调递增，且， ，，且. 故，，使得，且当时，，当时，，当时，. 即分别为的极大值点和极小值点. 综上，的取值范围为. 变式8．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)设恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）的定义域为，， 若，则在上单调递增， 若，则当时，单调递增， 当时，，单调递减， 若，则当时，单调递减， 当时，，单调递增； 综上，，在上单调递增； ，在上单调递增，在上单调递减； ，在 上单调递减，在上单调递增； （2）①当时，恒成立，所以在内有两个零点， 由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意，所以， 结合（1）中结论，可知在处取得极小值，也是在上的最小值， 令，解得， 当时，，且当时，在和上各有一个零点， 故的取值范围为； ②证明：由题意得，即， 可得， 设，则， 不妨设，由，可得， 要证，只需证， 只需证，即证，即证， 令， 则在上单调递增，所以，即得证， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：切线问题、利用零点的数量求参数问题专项训练 函数与导数：切线问题、利用零点的数量求参数问题专项训练 考点目录 切线问题 利用零点的数量求参数问题 考点一 切线问题 例1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 例4．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A．-4 B．4 C．3 D．-3 例5．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 例6．（25-26高三上·河北石家庄·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则 . 例7．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 变式1．（24-25高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·新疆·月考）设曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A．2 B． C．1 D． 变式3．（25-26高三上·贵州·月考）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 变式4．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 变式5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 变式6．（2025·陕西西安·模拟预测）若直线（k为常数）是曲线的一条切线，则 ． 变式7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 考点二 利用零点的数量求参数问题 例1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数，若函数至少存在2个不同的零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 例4．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）设函数（），若有两个极值点，且只有一个零点，则lna的取值范围是 ． 例5．（2025·河北沧州·一模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 例6．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求的取值范围． 例7．（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 例8．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程在上有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数有且仅有2个零点，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）函数有且只有一个零点，则的取值范围是 . 变式4．（2025·四川自贡·一模）若函数有3个零点，则实数k的取值范围为 ． 变式5．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)已知有三个不同的零点.求的取值范围． 变式6．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 变式7．（25-26高三上·广东·月考）已知函数. (1)若，证明：，； (2)若存在两个极值点，求的取值范围. 变式8．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)设恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $