精品解析：上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测4

2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1. 函数的最小正周期为______． 2. 已知，则_________． 3. 设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______． 4. 已知直线与圆相切，则的值为__________． 5. 底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______． 6. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 7. 高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________. 8. 已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________． 9. 已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______. 10. 设函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为________． 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 12. 已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k-a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求的值为______． 二、单选题 13. 已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 3 D. 14. 已知直线平面，直线平面，有以下四个命题： ①；②；③；④； 其中正确命题的序号为 A. ②④ B. ③④ C. ①③ D. ①④ 15. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题 17. 一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 （1）若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. （2）若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 19. 如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. （1）证明：面面； （2）若直线与底面的所成的角为，求面与面夹角余弦值. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； （3）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 21. 函数的定义域为，若满足对任意，当时，都有，则称是连续的． （1）请写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，，其中，且是连续的，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届金山中学高三下数学素养检测4 一、填空题 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据周期公式计算得到答案. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为：. 2. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得出，即可计算出的值. 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 3. 设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解. 【详解】因为，所以， 又不等式的解集是区间的真子集，则. 故答案为：. 4. 已知直线与圆相切，则的值为__________． 【答案】－18或8 【解析】 【分析】直接根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， 直线与圆相切，故，解得， 故答案为：－18或8 5. 底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值． 【详解】圆柱与圆锥的底面半径， 圆柱与圆锥的高， 可得圆锥的母线长为， 则圆锥的全面积为：； 圆柱的全面积为：． 圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 6. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列及等差数列前项和公式列方程组求出等差数列的通项公式，计算出，，，相加求和即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，又，所以. 又，所以，即. 联立解得，. 所以等差数列的通项公式为. 所以，，. 因此. 故答案为：36. 7. 高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数和古典概型分析运算. 【详解】因为，则这组数据的第70百分位数为第6位数75， 所以选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是. 故答案为：. 8. 已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据表面积和体积公式计算，再应用瞬时变化率定义及导数运算法则计算求解. 【详解】因为正四棱柱的底面边长为x，设正四棱柱的高为， 所以正四棱柱的表面积为，所以， 所以体积为， 所以，则时，V关于x的瞬时变化率为. 9. 已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求 【详解】记检测次数为，则 当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则， 当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品， 都能确定所有次品，则， 所以， 故答案为： 10. 设函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分段函数的解析式，然后作出函数图象，确认零点所在区间以及零点之间的关系，然后将转化为关于的函数，求出函数的值域即可. 【详解】因为，则 ， 作出函数图象，如图： 不妨设，由图象知关于直线对称， 所以，，所以， 所以， 所以 因为，所以 令， 所以原式化为， 因为在单调递增， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 11. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 12. 已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k-a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求的值为______． 【答案】31 【解析】 【分析】当n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥，故对n=t分奇偶讨论，利用集合M具有性质P即可得出． 【详解】解：当n=2时，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P， 对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）=5．n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t）， 则当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1）， 其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数， 下面计算g（t+1）关于t的表达式， 此时应有2k≥t+1，即k≥ ，故对n=t分奇偶讨论， 当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k≥， 则对每一个k，t+1和2k-t-1必然属于集合M，且t和2k-t，…，k和k共有t+1-k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M， 故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为 所以 ②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k≥， 同理 g（t+1）= ∴f（t+1）= 由累加法得：f（n）= ∴f（9）-f（8）=4×25-9-5-（6×24-8-5）=31． 故答案为31． 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 二、单选题 13. 已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 故有，解得. 当时，， 此时残差为. 14. 已知直线平面，直线平面，有以下四个命题： ①；②；③；④； 其中正确命题的序号为 A. ②④ B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据线面垂直的性质定理进行判断；②利用长方体模型，借助于里面的线面关系进行判断； ③根据两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于该平面的定理完成推理；④也可以借助于长方体里面的线面关系，举反例推翻此结论. 【详解】①一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直于另一平面，所以，所以，故①正确； ②④在长方体中，取底面为，侧面为，直线为，为，由此可以说明②④都是错误的； ③由两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于该平面可知，又，所以，故③正确． 故答案为：C 【点睛】(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)类似这种命题，可以直接证明，也可以举反例. 15. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可． 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为， 则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时， 有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近. 故选：D． 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例判断①②错误；利用作差法证明数列为递增数列，判断③的真假；举反例判断④错误. 【详解】对于命题①、②：例如，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故①、②错误； 对于命题③：因为， 对任意，，可知存在， 使得，， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故③正确； 对于命题④：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故④错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 三、解答题 17. 一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 （1）若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. （2）若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【小问1详解】 设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； 【小问2详解】 有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【小问1详解】 因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 19. 如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心. （1）证明：面面； （2）若直线与底面的所成的角为，求面与面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合平行四边形的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以三角形等腰直角三角形， 设，的中点为，连接， 所以， 因为点在底面的投影是的重心， 所以点在上，因为， 所以， 于是，所以， 因此四边形是平行四边形，所以， 因为面，所以面， 而面，所以面面； 【小问2详解】 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为面， 所以是平面一个法向量，， 因为直线与底面的所成的角为， 所以， 解得，舍去， 所以该三棱台的高为，所以， 因为面面，面面， 面， 所以面，所以是平面一个法向量， 设平面的法向量为， ，， 所以， 取，则 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此面与面夹角余弦值为. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； （3）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程即可求出离心率； （2）设出点坐标并代入抛物线方程，设出点坐标并代入椭圆方程，利用得出点坐标与点坐标之间的关系，方程联立并化简，设出，利用基本不等式即可求出的最大值； （3）假设存在，设出点坐标，利用得出，进而得出，求出点和点坐标表达式，得出点和点的横坐标，即可得出的表达式，利用点在椭圆上可求出参数，即可得出点坐标. 【小问1详解】 由题意，在：中，，， ∴， ∴曲线的离心率为. 【小问2详解】 由题意及（1）得，在抛物线中，点为抛物线上一点， 设，则， 在椭圆中，设，， 易知，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得，即， 令， ∴，当且仅当时等号成立， ∴． 【小问3详解】 由题意，假设存在点使得，设， ∵， ∴，即， ∴，所以， 直线与椭圆交于不同的两点，，易知，关于对称， 设，（，）， 由（1）知，直线方程是，令得， 直线方程是，令得， 由，得， 又在椭圆上，∴， ∴，解得， ∴存在点，使得成立． 21. 函数的定义域为，若满足对任意，当时，都有，则称是连续的． （1）请写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，，其中，且是连续的，求的值． 【答案】（1），是的，理由见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）可举例斜率为的一次函数，函数值与自变量的增量相同更易于分析； （2）利用不等式的同向可加性质，将从两个角度变形可得，进而得证； （3）利用不等式的同向可加性质与（2）结论先证明是连续的，可得，然后转化为恒成立求解验证即可. 【小问1详解】 函数是连续的，也是连续的．理由如下： 由，有， 同理当，有， 所以是连续的，也是连续的． 【小问2详解】 因为是连续的，由定义可得对任意， 当时，有， 所以有 ， 且， 所以， 所以， 即是连续的， 又同理可得，即是连续的． 【小问3详解】 已知是连续的， 则由（2）可得， 两式相减可得， 即是连续的， 进一步有，,是连续的. 由已知时，， 若时，， 则，不满足. 又对任意，当时，有， 因为是连续的，所以， 又，所以， 所以， 即对任意，当时，都有， 故是连续的． 由上述分析可得， 则当，，其中， 有， 所以恒成立． 设，对称轴为. 当时，，不等式恒成立，满足题意； 当时，由恒成立，， 则，即，则． 由，且，则或， 所以与时，都满足题意； 当时，由，得, 解得，故，又，，且， 所以此时，满足题意． 综上所述，或或或. 【点睛】关键点点睛：新定义题型的关键在于理解定义，此题中对是连续的定义的理解关键在于三个方面：一是不等关系的应用，结合不等式同向可加性，如（2）问中从上、下界两角度构造不等式，从而得到等量关系；二是相等关系的应用，等式叠加又得等式，如若是连续的，则是连续的；等式相减也得等式，如第（3）问中的分析；三是数形结合思想的应用，对是连续的理解，从形入手考虑切线的斜率变化，研究函数单调性与导数也是很重要的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $