基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据高考评价体系明确求最值、恒成立问题、实际应用三大考查方向，通过近五年模拟题分析，归纳出条件最值（占比45%）、“1”的代换（占比30%）等常考题型，构建系统的解题策略体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”的备考模式，如以长方形周长最小值问题为例，详解“1”的代换与均值不等式联用方法，培养学生数学思维和模型观念。特设易错点警示（如等号成立条件验证）和答题模板，助力学生高效突破考点，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

基本不等式 基础过关 一、单项选择题 1.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D. 因为a>0,b>0,2a+b=2,根据基本不等式可得2a+b=2≥2,所以ab≤.当2a=b=1时,ab取最大值.故选A. 解析 2.已知-3<x<0,则y=x的最小值为(　　) A.- B. C.- D.不存在 由于-3<x<0,则9-x2>0,故y=x=-≥-=-,当且仅当x2=(9-x2),即x=-时取等号,即y=x的最小值为-.故选A. 解析 3.若“∃x∈[1,3],x+≤m”是真命题,则实数m的最小值为(　　) A. B.2 C.3 D. 由题意有m≥,由x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时,等号成立,所以m≥2,即实数m的最小值为2,故选B. 解析 4.已知长为a,宽为b的长方形面积为3(a+b),则其周长的最小值为(　　) A.9 B.12 C.18 D.24 由题意得ab=3(a+b),a>0,b>0,则+=,则a+b=3(a+b)=3≥3×(2+2)=12,等号成立时a=b=6,故周长的最小值为24.故选D. 解析 5.(2026·商丘模拟)已知ab>0,若3是与的等比中项,则a+b的最小值为(　　) A.3+2B.7 C.2+2 D.9 由题意得32=,即9=,所以+=1,又ab>0,所以a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=3++≥3+2,当且仅当=,即a=+1,b=2+时等号成立,故a+b的最小值为3+2.故选A. 解析 6.在生物界中,部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位:米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)满足v2=,则该类昆虫的最大跳跃高度为(　　) A.0.25米 B.0.5米 C.0.75米 D.1米 由v2=可知v2-Hv4=4H,且v>0,故H==,当且仅当v2=2即v=时等号成立,即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选A. 解析 7.(2026·长沙模拟)已知点(m,n)是函数y=x-1在第一象限内的图象上的一点,则+的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 由题意可知,m>0,n>0且有n=m-1=,所以+=+4m≥2=4,当且仅当时,即当m=时,等号成立,故+的最小值为4.故选A. 解析 8.(2026·延边模拟)已知正实数x,y满足x+y-xy=0,且不等式x+y-a>0恒成立,则a的取值范围是(　　) A.a<2 B.a<8 C.a<6 D.a<4 因为正实数x,y满足x+y-xy=0,所以+=,则x+y=2(x+y)=2≥8,当且仅当x=y=4时取等号,因为不等式x+y-a>0恒成立,所以a<8.故选B. 解析 二、多项选择题 9.下列说法正确的是(　　) A.函数y=x+的最小值为2 B.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是2 C.已知实数x,y满足-1<x+y<4且2<x-y<3,则2x-3y∈(-2,13) D.若对任意x∈[1,+∞),>0恒成立,则a>-3 因为函数y=x+中的x值可以取负值,此时无最小值,故A错误;因为正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,所以30+9xy=(2x+3y)2≥24xy,所以15xy≤30,即xy≤2,当且仅当2x=3y=2,即x=,y=时取等号,故xy的最大值是2,故B正确.设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),所以 解析 即2x-3y=-(x+y)+(x-y),因为-1<x+y<4且2<x-y<3,所以-2<-(x+y)<,5<(x-y)<,所以3<2x-3y=-(x+y)+(x-y)<8,即2x-3y∈(3,8),故C错误;对任意x∈[1,+∞),>0恒成立,分离参数得a>-(x2+2x)对任意x∈[1,+∞)恒成立,令y=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)最大值为-3,即a>-3,故D正确,故选BD. 解析 10.已知第一象限的点P(x,y)在直线2x+y=2上,则下列正确的是(　　) A.ln x+ln y≤-ln 2 B.+≥4 C.4x2+y2≤2 D.4x+2y≥4 由题意,x>0,y>0,且y=2-2x,则2-2x>0,即x<1,对于A,ln x+ln y+ln 2=ln(2xy)=ln 2x(2-2x)=ln(4x-4x2)=ln,由0<x<1,根据二次函数的性质,ln≤ln 1=0,故A正确;对于B,+-4====≥0,故B正确;对于C,4x2+y2-2=4x2+(2-2x)2-2=8x2-8x+2=2(2x-1)2≥0,故C错误;对于D,4x+2y≥2=2=2=4,当且仅当2x=y,即x=时等号成立,故D正确.故选ABD. 解析 三、填空题 11.已知x,y为正实数,3x+2y=10,则W=+的最大值为________. 因为x,y为正实数,且3x+2y=10,所以W2=3x+2y+2≤10+(3x+ 2y)=20,当且仅当3x=2y,3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立.所以W≤2,故W的最大值为2. 解析 2 12.设x∈[-2,0),则x+的取值范围是________. 设函数f(x)=x+,则当x∈[-2,-1]时,f(x)=x+单调递增,此时f(x)∈;当x∈(-1,0)时,f(x)=x+单调递减,此时f(x)∈(-∞,-2),故x∈[-2,0),则x+的取值范围是(-∞,-2]. 解析 (-∞,-2] 13.(2026·郑州模拟)已知m>0,n>0,且m+=1,则当n+取得最小值 时,=_________. 已知m>0,n>0,且m+=1,所以=mn+1+2+≥ 2+3=2+3,当且仅当mn=时,即n=+1,m=2-时,n+取得最小值,则==3-4. 解析 3-4 14.(2026·济南模拟)(多选题)已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-2)y+1=0,l2:bx+y-2=0,且l1⊥l2,则下列选项正确的是(　　) A.0<ab≤1 B.+≤2 C.a2+b2≤2 D.+≥3 素养提升 因为l1⊥l2,所以b+a-2=0,a+b=2,因为a>0,b>0,所以a+b≥2,所以0<ab≤1,A正确;(+)2=a+b+2≤2+2,所以+≤2,B正确;因为a+b=2,可取a=,b=,a2+b2=+=>2,C错误;+=+=+-1=(a+b)-1=-1≥-1=3,D正确. 解析 15.记一个长方形的长为a,宽为b,a>b且a,b∈N*.若a+b=-1,则该长方形周长的最小值为________. 解法一:由a+b=-1得,a=,所以b>4.又因为a>b,即>b,b2-8b<4,(b-4)2<20,从而4<b≤8,a,b∈N*,所以a=24,b=5;a=14,b=6; a=9,b=8,从而该长方形的周长最小值为2a+2b=34. 解析 34 解法二:a+b=-1得,ab-4a-4b-4=0,(a-4)(b-4)=20,因为a,b∈N*,a>b,所以a-4=5,b-4=4;a-4=10,b-4=2;a-4=20,b-4=1,所以a=9,b=8;a=14,b=6; a=24,b=5,故长方形的周长最小值为2a+2b=34. 解法三:a+b=-1,a+b=+b(b>4),a+b=8++b-4≥8+4,又a,b∈N*,当且仅当b-4=4取得“=”号,此时b=8,a=9,故该长方形周长2a+2b的最小值为34. 解析 16.如图,互相垂直的两条小路AM,AN旁有一长方形花坛ABCD, 其中AB=30 m,AD=20 m.现欲经过点C修一条直路l,l交小路AM, AN分别为点P,Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个 更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40 m且不大于90 m. 记三角形花坛APQ的面积为S m2. (1)设DQ=x m,试用x表示AP,并求x的取值范围; 解析 依题意可得△CDQ∽△PBC,所以=,即=,可得BP=;因此AP=AB+BP=30+,又要求AP的长不小于40 m且不大于90 m,即40≤30+≤90,解得10≤x≤60,即AP=30+,10≤x≤60; (2)当DQ的长度是多少时,S取最小值?最小值是多少? 易知AQ=AD+DQ=20+x,所以S=AP·AQ=(20+x)=,由基本不等式可得=(1 200+2×600)=1 200;当且仅当30x=时,即x=20时,等号成立,此时S取得最小值1 200;因此DQ=20 m时,S取得最小值,最小值为1 200 m2. 解析 $