7.1基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本立体图形及空间几何体的表面积与体积”专题，依据高考评价体系梳理了空间几何体结构特征、表面积体积计算、球的切接问题三大核心考点，通过近五年新高考真题（2024新高考I卷第1题等）分析，明确“一小一大”题型分布及直观想象、数学运算等素养要求，归纳常考题型与解题路径。 课件亮点在于“真题精讲+规律总结+素养落地”，如以2023新高考I卷第14题为例，详解正四棱台体积计算的“补形法”，培养逻辑思维与数学运算素养。含易错点警示（如斜二测画法纵轴长度易误）和“化曲为直”等解题技巧，助力学生高效得分，教师可依托系统考点突破方案实现精准复习。

第1节　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 高考总复习 2027 备考路径 考点 考题 考情分析 空间几何体的表面积和体积 2024新高考Ⅰ,第5题;2024新高考Ⅱ,第7题;2023新高考Ⅰ,第14题;2023新高考Ⅱ,第9题,第14题;2022新高考Ⅰ,第4题;2022新高考Ⅱ,第11题;2021新高考Ⅰ,第3题;2021新高考Ⅱ,第5题 从题型和题量上看,自2024年开始对本专题考查稳定在“一小一大”的方式,总分约20分. 从考查内容上看,小题主要考查空间几何体的结构特征、体积与表面积、球与几何体的切接、空间位置关系的判断等,难度中等或中低等.解答题多以几何体为载体,考查空间位置关系的证明、空间角的求解等,难度中等.对直观想象、逻辑思维、数学运算的数学核心素养要求较高 球的切接问题 2025全国2,第14题;2023新高考Ⅰ,第12题;2022新高考Ⅰ,第8题;2022新高考Ⅱ,第7题 考点 考题 考情分析 空间位置关系的判断与证明 2025全国1,第9题;2025全国1,第17题;2025全国2,第17题;2024新高考Ⅰ,第17题;2024新高考Ⅱ,第17题;2023新高考Ⅰ,第18题;2023新高考Ⅱ,第20题;2022新高考Ⅱ,第20题;2021新高考Ⅰ,第12题,第20题;2021新高考Ⅱ,第10题,第19题;2021新高考Ⅱ,第20题   空间角与距离 2025全国1,第17题;2025全国2,第17题;2024新高考Ⅰ,第17题; 2024新高考Ⅱ,第7题,第17题;2023新高考Ⅰ,第18题;2023新高考Ⅱ,第20题;2022新高考Ⅰ,第9题,第19题;2022新高考Ⅱ,第20题;2021新高考Ⅰ,第20题;2021新高考Ⅱ,第19题 课标解读　1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册习题8.1第7题改编)如图,由平面图形围成的长方体是(　　) D 解析 由侧面展开图可知这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂色,剩余的两组对面中,一组被涂色,另一组是原色. 2.(人教A版必修第二册8.2节习题第5题改编)已知平面四边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O'A'B'C',则原图形OABC中的AB=(　　) A. B.2 C.3 D.2 C 解析 根据斜二测画法可得,OA=O'A'=1,OB=2O'B'=2=2,且OA⊥OB,则AB==3.故选C. 3.(人教A版必修第二册8.3.2节例4改编)如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为(　　) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5 B 解析 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.∵球的体积V1=πR3,圆柱的体积V2=πR2·2R=2πR3,∴V1∶V2=πR3∶2πR3=2∶3. 4.(人教A版必修第二册8.3.1节练习第3题改编)水晶是一种石英结晶体矿物,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2 cm的正方体水晶一块,将其截去八个相同的四面体,打磨成某饰品,则该饰品的表面积为(　　) A.(12+4)cm2 B.(16+4)cm2 C.(12+3)cm2 D.(16+3)cm2 A 解析 设截去8个四面体后,该几何体棱长为a,则a= cm,此时,该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成,故6个正方形的面积为6×=12 cm2,8个正三角形面积为8××()2=4 cm2,故该饰品的表面积为(12+4)cm2.故选A. 知识梳理 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 　　　围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       底面 互相　　　　且　　　　  多边形 互相　　　  平行 全等 平行 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 　　　　　  相交于　　　但不一定相等  延长线交于　　  侧面 形状 　　　　　  　　　　　  　　　  平行且相等 一点 一点 平行四边形　 三角形 梯形 微点拨 1.多面体的关系: 2.特殊的四棱柱: 　 　　 　旋转体一定有旋转轴 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 平行、相等且 　 　于底面  相交于　   延长线交于　   — 轴截面 全等的　   全等的　   全等的　   　　  侧面展开图 矩形 扇形 扇环 — 微点拨 旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状. 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 2.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: 九十度,画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧=    S圆锥侧=      S圆台侧=　        微点拨 一些几何体表面上的最短距离问题,常常“化曲为直”,利用几何体的侧(表)面展开解决. 2πrl πrl　 π(r1+r2)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=　　  锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=　 　  台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=　　  V=　　　  S底h 　S底h 4πR2 πR3 微点拨 柱体、锥体、台体体积公式之间的关系: 研考点•精准突破 考点一　基本立体图形 考向1　结构特征 例1　(多选题)(2025·湖南常德高三起点考试)下列说法中不正确的是(　　) A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 ABC 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,只有以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台,故A错误; 对于B,如图所示的几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱,故B错误; 对于C,底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥,故C错误; 对于D,棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得,因此它的各侧棱延长后必交于一点,故D正确.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 规律方法　辨别空间几何体的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](多选题)下列说法中,错误的为(　　) A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥 ABC 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,故A错误;对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点,故B错误;对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心,故C错误;对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,故D正确.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考向2　直观图 例2　(1)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.非等边的等腰三角形 D.钝角三角形 A 考点一 考点二 考点三 解析 根据斜二测画法还原△ABC在平面直角坐标系中的图形,如图.则BC=B'C'=2,AO=2A'O'=,由勾股定理得AC=AB==2,所以△ABC是一个等边三角形. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变]已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 A 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出△ABC的直观图,如图2所示. 图2 由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a. 作C'D'⊥A'B'于D',则C'D'=O'C'=a, S△A'B'C'=A'B'·C'D'=a·a=a2. (方法2)易得S△ABC=a2, 所以S△A'B'C'=S△ABC=a2. 图1 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](交换条件与结论)已知水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则△ABC的面积为　　　　.  a2 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)如图所示,在直观图中,△A'B'C'的边长为a,故点A'到底边B'C'的距离是a,作A'D'⊥x'轴于点D',则△A'D'O'是等腰直角三角形,故可得O'A'=a.由此可得在平面直角坐标系中,△ABC中BC边上的高为a,故△ABC的面积为×a×a=a2. (方法2)易得直观图的面积S△A'B'C'=a2,所以S△ABC=2S△A'B'C'=a2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.注意直观图与原图形中的“三变”“三不变”: “三变” “三不变” 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)(2025·陕西西安中学高三模拟)如图,四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D',已知A'B'=4,C'D'=2,则下列说法正确的是(　　) A.A'D'=2 B.AB=4 C.四边形ABCD的面积为6 D.四边形ABCD的周长为6+ BC 考点一 考点二 考点三 解析 过点C',D'作C'N,D'M与x'轴垂直交于点N,M. 因为等腰梯形A'B'C'D'中,A'B'=4,C'D'=2,所以MN=2,A'M=B'N=1. 又∠D'A'M=45°,所以A'D'=,故A错误;由斜二测画法可知,AB=A'B'=4,故B正确; 作出原图形,可知AD=2A'D'=2,AB=4,CD=2,AD⊥AB,故四边形ABCD的面积为=6,故C正确; 考点一 考点二 考点三 过点C作CH⊥AB于点H,则AH=CD=2,BH=4-2=2,CH=AD=2, 由勾股定理得,BC==2,四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=4+2+2+2=6+2+2,故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考向3　展开图 例3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,一只小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1,则小虫走过的最短路线的长为　　.  考点一 考点二 考点三 解析 如图1,若小虫爬行路线经过棱BB1,则最短路程为=3; 图1 图2 如图2,若小虫爬行路线经过棱A1B1,则最短路程为; 如图3,若小虫爬行路线经过棱BC,则最短路程为. 综上所述,小虫走过的最短路线的长为. 图3 考点一 考点二 考点三 规律方法　在解决空间折线(段)最短问题时,一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方体),一定先观察立体图形每个面的形状,全面考虑问题,借助展开图,培养直观想象素养. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·湖南长沙高三模拟)如图,圆锥底面半径为3,母线PA=12,,一只蚂蚁从点A出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达点B,最短路线长度为(　　) A.6 B.16 C.4 D.12 C 考点一 考点二 考点三 解析 把圆锥侧面沿母线PA剪开, 展在同一平面内得扇形APA',连接AB,如图. 令扇形APA'圆心角大小为θ,则12θ=2π×3,解得θ=. 在Rt△PAB中,PB=PA'=4,则AB==4, 所以一只蚂蚁从点A出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达点B,最短路线长度为4.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　简单几何体的表(侧)面积 例4　(1)(2025·福建福州模拟)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为半圆,则该圆锥的表面积为(　　) A.3π B.6π C.9π D.12π C 解析 设该圆锥的母线长为l,依题意,可得2π×=πl,解得l=2, 则该圆锥的表面积为S圆锥底+S圆锥侧=π×()2+π××2=9π.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·北京汇文中学模拟)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分,则该几何体的表面积为(　　) A.24-3π B.24-π C.24+π D.24+5π B 解析 由题可知,该几何体表面积为正方体表面积减去三个半径为2的四分之一圆,再加上半径为2的八分之一球面,则 S=6×22-3××π×22+×4×π×22 =24-π.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手,将其展开后求表面积,但要理清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](1)刍甍是底面为长方形,上棱和底面平行,且长度不等于底面平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体.已知一个刍甍底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是(　　) A.27+3 B.42+3 C.27+3 D.42+6 A 考点一 考点二 考点三 解析 由题意可得,刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形,前后两个四边形为全等的等腰梯形,则等腰三角形的高为,等腰梯形的高为,故一个等腰三角形的面积为×3×,一个等腰梯形的面积为,所以此刍甍的表面积为2×+2×+4×3=27+3.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)如图,正方形ABCD的边长为20,分别以边AB和CD的中点E,F为圆心画弧AO和CO,以直线EF为轴旋转,弧AO,CO和线段AE,CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是　　　.  600π 解析 由题图知,以直线EF为轴旋转,弧AO,CO和线段AE,CF旋转一周形成的面所围成的几何体是两个半径均为10的半球,可合为一个完整的球,故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积,即S=4πR2+2πR2=6πR2=6π×102=600π. 考点一 考点二 考点三 考点三　简单几何体的体积 例5　(1)(2024·全国甲,理14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为　　　　　.  　　 考点一 考点二 考点三 解析 如图,由题意,可知. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1, AA1=,则该棱台的体积为　　　　　.  考点一 考点二 考点三 解析 (方法1　直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,∵AC=2,A1C1=,∴AG=. 在Rt△A1AG中,A1G=. 则棱台体积V= +S四边形ABCD)·A1G=×(1+2+4)×. 考点一 考点二 考点三 (方法2　补形法) 如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得OA1=,A1H=,AG=,OA=2.在Rt△A1OH中,OH=,在Rt△AOG中, OG=.则棱台体积V=V四棱锥O-ABCD- (S四边形ABCD·OG-·OH)=×(4×-1×)=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求空间几何体的体积的三种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](1)(2024·天津,9)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 考点三 解析 如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合.由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱. 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是 边长为1的等边三角形,其面积为×12=, 三棱柱的侧棱长为1+3=2+2=3+1=4, 所以VABC-DEF=VABC-HIJ=×4=. 故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)将一个半径为 cm的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,若这个铁锭的底面边长为1 cm和2 cm,则它的高为　 cm.  解析 由题可知,球的体积为V1=π× cm3.设铁锭的高为h,则正四棱台的体积为V2=(1+4+)h=h. 因为V1=V2,即h=,解得h=. 考点一 考点二 考点三 棱柱棱锥棱台 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 $