精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

宣威七中高二年级2026年春季学期5月月考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若 ，则与的夹角为 5. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第 天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 6. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 7. 将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 10. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若 为锐角三角形，则 D. 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 三、填空题 12. 展开式中的系数为________． 13. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线的准线为，点在 上，以 为圆心的圆与相切且截 轴所得的弦长为，则__________． 14. 如图，设 的内角所对的边分别为，且．若点 是 外一点，，则四边形 面积的取值范围为___________． 四、解答题 15. 已知数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前 项和为，求. 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动. （1）完成如下列联表（单位：人），并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联. 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱锥 中，平面，， 是的中点， 是线段 上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若平面，证明： 为 的中点； （3）若二面角的大小为，求直线 与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的标准方程； （2）设过点的直线(斜率不为 )与 相交于，两点，点关于 轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知函数． （1）求的极小值点； （2）已知对任意都成立，求整数的最大值； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高二年级2026年春季学期5月月考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，，若，则a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】， 故. 3. 已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数 的取值范围是，故D正确. 4. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若 ，则与的夹角为 【答案】A 【解析】 【分析】应用平行向量的坐标运算计算判断A，应用向量垂直的坐标运算判断B，根据模长公式计算求解判断C，应用夹角余弦公式计算判断D. 【详解】向量，， 若，则，即，A选项不正确； 若，则 ，即，B选项正确； 若，则，所以，解得或3，C选项正确； 若 ，则向量，，即， 设与的夹角为， 则与的夹角余弦为，则与的夹角为，D选项正确； 5. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第 天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 6. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 7. 将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得出双曲线的渐近线方程， ，设双曲线的焦点所在直线方程为，，，利用得出，再利用以及即可求出. 【详解】由的两条渐近线分别为， ， 设双曲线的焦点所在直线方程为且， 若分别是，的倾斜角，则，， 因为，所以 即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以， 故C的离心率是. 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在 上恒成立， 即在 上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；求出第70百分位数判断C；利用方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量X服从二项分布，得， 又，则，A正确； 对于B，随机变量X服从正态分布，则， 因此，B正确； 对于C，由，得所求第70百分位数为，C错误； 对于D，依题意，样本数据的平均数，因此这组样本数据的总和为，D正确. 10. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若 为锐角三角形，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项. 【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确； 对于B项，由A知，. 由正弦定理可得，，所以. 由，根据正弦定理可得， ，所以，所以，故B项正确； 对于C项，由已知可得，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确； 对于D项，，故D项错误. 故选：ABC. 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设底面中心为 ，连接，则底面 ,则，结合底面边长可求解；对于B：过 作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线 ，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点 ，连接 ，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接 ， ，设交点为 ，则底面 ，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点 ，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线 ，交于点 ，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点 ，连接 ，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 三、填空题 12. 展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有，， 则，， 由， 故所求的系数为. 13. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线的准线为，点在 上，以 为圆心的圆与相切且截 轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在 上，则， 以 为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又 圆与相切且截 轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得 ． 14. 如图，设 的内角所对的边分别为，且．若点 是 外一点，，则四边形 面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以 为等边三角形.将四边形 的面积用表示出来，结合，可求得四边形 面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形 面积的取值范围为． 四、解答题 15. 已知数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前 项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合. (2)由得出,利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动. （1）完成如下列联表（单位：人），并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联. 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关联； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知补全列联表，根据独立性检验，计算的值，与对比即可得出答案； （2）根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， ，且，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【小问1详解】 补全列联表如下： 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 80 40 120 女 100 20 120 合计 180 60 240 提出零假设：学生课间经常进行体育活动与性别相互独立，即课间是否经常进行体育活动与性别无关， 依题意，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联； 【小问2详解】 由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为， 而随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， ，则由题意得， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 所以 的数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，平面，， 是的中点， 是线段 上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若平面，证明： 为 的中点； （3）若二面角的大小为，求直线 与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）由平面，证明，结合等腰三角形中线性质和线面垂直的判定定理可得平面. （2） 根据线面平行性质定理可证明. （3）首先建立空间直角坐标系,根据线面角可求的坐标，用空间向量的线面角公式求出直线 与平面所成角的正弦值，最后二次函数解出其最大值. 【小问1详解】 已知：平面，平面，故， ， 是中点，故， 又，且平面， 由线面垂直判定定理，得平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 平面平面，由线面平行性质定理得， 在中， 是中点，且， 由三角形中位线定理，得 是 中点. 【小问3详解】 以 为原点，为 轴，为 轴，垂直于平面为 轴， 如图： ，，，由，因为，， 所以二面角为，因此， 又 是的中点，故，设，， ，则， 设平面的一个法向量为, 由 (1) 知平面， ，可取， 设直线与平面所成角为，则，， ， ， 代入得， ， 令，， ， . 直线 与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的标准方程； （2）设过点的直线(斜率不为 )与 相交于，两点，点关于 轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，恒过定点 【解析】 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【小问1详解】 因为离心率，所以. 因为，所以，所以 的方程可写为. 因为 过点，所以，解得，因此， 所以 的标准方程为. 【小问2详解】 由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与 的方程联立， 消去 得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 19. 已知函数． （1）求的极小值点； （2）已知对任意都成立，求整数的最大值； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2）4 （3）证明：令，，则， 所以，要证，即证， 即证， 等价于证， 设，， 则， 所以在上单调递增，所以， 即， 因此只需证， 即 对于（1）式，只需证， 可设，， 则， 所以在上单调递减，在单调递增． 故，即成立． 对于（2）式，即要证， 设，则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 令，则， 由知， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则在上递增，所以 综上命题得证． 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，再求导函数零点，根据导数与极值的关系求极小值点 （2）恒成立分离参数，构造新函数后用隐零点简化最小值计算，锁定最值区间，快速取最大整数 （3）令，只需证，再利用导数证明结论. 【小问1详解】 的定义域为，，由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极小值点为． 【小问2详解】 法一：等价于， 又，可得， 令，， 记，则， 所以在单调递增． 又，， 故在上有唯一零点， 且， 又在单调递减，在单调递增， 所以， 由可得，又为整数， 所以整数的最大值为4． 法二：令 ， 问题转化为：对任意有，因为 当时， 所以在单调递增， 故，符合题意． 当时， ， 当 单调递减， 当 单调递增， 所以 ， 令 ， 所以在单调递减，又， 所以当时，满足的最大整数的值为4 综上：结合时均满足条件，所以整数的最大值为4． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $