精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期第二次月测数学试卷

宣威七中高二年级2026年春季学期第二次月测数学试卷 一、单选题 1. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，得到，代入整理得，列出方程组，求得的值，结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】设复数（），则， 代入得，整理得， 则，解得，，所以，则. 3. 在下列函数中，以为周期的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期的概念逐一判断即可 【详解】A.， 则，其不是以为周期的函数； B.， 则 ，其不是以为周期的函数； C.， 则 ，其不是以为周期的函数； D. 则 ，其是以为周期的函数； 故选：D. 4. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 5. 古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列方程并结合均为正整数，求出的值，由此可求出，即可求得答案. 【详解】由题知，，即， 所以，因为均为正整数，当时，， 当时，，满足；当时，， 所以，此时月球被太阳照亮部分占满月的. 6. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 7. 已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出双曲线的渐近线方程，再求左焦点关于该直线的对称点坐标，最后利用“对称点在圆上”建立方程，求出与的关系，进而得到离心率. 【详解】双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足 不妨取渐近线 左焦点为 设点关于直线的对称点为， 已知点关于直线的对称点坐标公式 把代入，得 再代入可得 所以 因为点在圆上，所以 由，上式化为 即 整理得所以 再由得 因为 ，故 于是双曲线的离心率 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过，确定是最小的，然后通过变换，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，从而确定的大小，从而得到答案. 【详解】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B. 利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用独立性检验公式，以及回归系数的含义，结合选项，逐项判断，即可求解. 【详解】对于A，两个变量的相关性越弱，越小，所以A错误； 对于B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，所以B错误； 对于C，若的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，所以D正确． 10. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理和余弦函数的性质即可判断A；由正弦定理及正切函数的性质即可判断B；由余弦函数的单调性即可判断C；由余弦定理，基本不等式及余弦函数的性质即可判断D． 【详解】对于A选项，在中，因为，又， 所以，即为锐角，但题中没有告诉最大， 所以不一定是锐角三角形，故A错误； 对于B选项，，由正弦定理得， 整理得，即一定是等边三角形，故B正确； 对于C选项，因为，在单调递减， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得，所以， 由余弦定理可得， ，当且仅当时，等号成立， 则当，时，，即角可以大于，故D错误； 故选：BC． 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知 ，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则 ，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由 ，得，所以，所以D选项不正确. 三、填空题 12. 已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】先通过二项式定理求出展开式各项系数，再根据系数的大小关系列不等式求解正整数的最小值. 【详解】根据二项式展开定理，将 展开得， 因此对应各项系数为，，，， 因为， 所以， 因为是正整数， 解得，所以， 所以正整数的最小值是4. 13. 已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及三角形相似得到比例关系，即可得. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点， 由抛物线的定义得，且， ，即，得. 14. 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的通项公式，再求和的表达式，并确定的最小值 【详解】设的公差为，则 ， 所以 ，所以 ， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）求和三角形的面积； （2）若为边上靠近的三等分点，求的长. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）由，两边同时平方代入求解即可得出答案. 【小问1详解】 因为，，所以， ， 由正弦定理可得：，则，解得：. 三角形的面积. 【小问2详解】 为边上靠近的三等分点，则， 所以， 所以， ，解得：. 16. “阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，. （1）完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联? 了解 不了解 合计 男生 女生 合计 （2）现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 依据的独立性检验，认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联. （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解. （2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【小问1详解】 由题意，， 可知“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的女生有人，则不了解联赛的女生有60人 “了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的男生有 人，则不了解联赛的男生有40人. 所以 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 零假设：该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别无关. 依题意， 则, 依据的独立性检验，推断不成立，所以认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联. 【小问2详解】 由（1）知，抽取的10名学生中，男生有4人，女生有6人. 可能的取值为0,1,2 则，， X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，则有，可得建立空间直角坐标系，根据向量法可求得直线与平面夹角的正弦值，进而求得直线与平面夹角的余弦值； （2）根据点到平面的距离公式可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 由题可得，，，取中点，连接，，则有，又∵平面平面，平面平面=， ∴平面， 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 由，可得，，， 则，，，，， 设平面的法向量为， 则有，令，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 则直线与平面的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 根据点到平面的距离公式可得 ∴点到平面的距离为1. 18. 已知椭圆过，两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件求，再得椭圆方程和离心率； （2）（i）首先求直线的方程，再根据直线与椭圆方程联立，求点的坐标，最后代入两点间距离公式求解；（ii）利用点的坐标求解直线的直线方程，再求解点的坐标，最后表示四边形的面积，即可证明. 【小问1详解】 由条件可知，，， 所以椭圆的方程为，， 所以椭圆的离心率； 【小问2详解】 （i），， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， ，即，，所以，即且， 所以 （ii）设，，，，， 直线，令，得，即 直线，令，得，即， ，， 所以四边形的面积为， 所以四边形的面积为定值. 19. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，利用导数求得在单调递增，得到在单调递增，结合，即可求解； （2）根据题意，转化为有解，令，得到有解，构造函数，求得，得到的单调性和最小值，再结合函数为单调递增，即可求解. （3）根据题意，转化为有两个不同的解，由（2）得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到，得到在递增，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高二年级2026年春季学期第二次月测数学试卷 一、单选题 1. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在下列函数中，以为周期的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 7. 已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B. 利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍 10. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 三、填空题 12. 已知二项式，若，则正整数的最小值为____________． 13. 已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 14. 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）求和三角形的面积； （2）若为边上靠近的三等分点，求的长. 16. “阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，. （1）完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联? 了解 不了解 合计 男生 女生 合计 （2）现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求点B到平面的距离． 18. 已知椭圆过，两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 19. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $