云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

**基本信息** 宣威七中高三9月月考数学卷聚焦函数、几何、代数、统计四大模块，通过解三角形、概率分布列、立体几何、椭圆综合、导数应用等解答题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高三起点复习的基础巩固与能力诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、复数模、函数奇偶性、向量共线等|基础概念辨析，如第5题结合等差与等比数列性质| |多选题|3题|统计量、解三角形、立体几何|第10题多角度考查三角形性质，培养批判性思维| |填空题|3题|二项式定理、轨迹方程、数列递推|第13题转化距离关系求轨迹，体现数学抽象| |解答题|5题|解三角形、概率分布列、立体几何、椭圆、导数|第16题以篮球比赛为情境构建分布列，第19题导数证明题，发展逻辑推理与数学建模|

《宣威七中高三年级2025年秋季学期9月月考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D A C C BD BD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】由，得，所以； 由，得，所以，所以或， 所以. 2．B 【分析】由已知条件结合复数的四则运算法则可得复数，再求. 【详解】复数满足，则有， 得，所以. 故选：B 3．D 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 4．D 【详解】因为与向量共线，所以，解得，，故选D. 5．D 【分析】由题意，，，成等比数列，可得，解的即可． 【详解】解：依题意设各项均为正数的等差数列的公差为 ∵，，，成等比数列 ∴，即 ∴，即， ∵ ∴ 故选：D. 6．A 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下三个研学活动各有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 7．C 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，， ， 又， 所以， 又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点， 所以， 即，， 可得， 又， 所以双曲线离心率的取值范围是 故选：C 8．C 【分析】构造，比较a，c，构造，比较b，c即可. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值0， 则即， 则，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值0， 则，即， 则，即， 所以. 故选：C 9．BD 【分析】根据极差、中位数、平均数、分位数的定义，分别计算去掉最大值前后各统计量的值，再通过比较大小判断选项正误. 【详解】A选项，原数据极差为，现数据极差为， 由于，所以极差变小，A错误； B选项，原数据中位数为，现数据中位数为， 因为，所以，B正确； C选项，去掉最大值后平均数比之前小，C错误； D选项，原数据的分位数为， 现数据的分位数为， 因为，所以，D正确． 10．BD 【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定. 【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确； 对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误； 对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得 又，所以，故，所以D正确. 故选：BD 11．ABD 【分析】根据定义，异面直线与直线所成角，即为或其补角，即可判断A；应用等体积法求体积判断B；首先求出到平面的距离，再结合对称性判断C；由四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球，进而求半径，即可得表面积判断D. 【详解】A：由题设，则直线与直线所成角，即为或其补角， 又为等边三角形，故，对； B：由，对； C：由，，则中上的高为， 所以，若到平面的距离为，则， 所以，根据对称性易知点到平面的距离为，错； D：由题设，易知四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球， 而的外接圆半径，且， 所以外接球的半径，故其表面积为，对. 故选：ABD 12．240 【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，即可； 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64， 即， 解得． 又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或（舍去）， 的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 又，， 故答案为：240 13． 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 14．103 【详解】由题意得， ． 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，并根据诱导公式、两角和的正弦公式及同角三角函数关系式，求得，从而得到； （2）由点D在边上，且，知，根据求向量模的方法可得，即的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，则． （2）因为点D在边上，且， 所以， 所以， 所以，即AD的长为． 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件的概率公式可得结果； （2）由相互独立事件的概率公式计算得到的分布列，再由数学期望公式可计算得到数学期望. 【详解】（1）设“甲队以3：1获胜”，则甲队必在第四场获胜，第2，3场中胜1场负1场， 则. （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望. 17．(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)根据已知条件，先证明平面，即可证明； (2)求解二面角，可以建立空间直角坐标系，转化为向量来处理. 【详解】(1)证明：由题意得，，， ，，垂直于底面， ，，，， 可得，所以，故. 由，，，，，得. 又，由，得，所以， 故. 又，因此平面， 因为平面，故. (2)如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴， 过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 由题意知各点坐标如下： ，，， ，， 因此，， ，. 设平面的法向量， 所以，即，则； 同理可得，平面的一个法向量， ， 故二面角的余弦值为. 【点睛】求解二面角常用向量法，利用公式(，分别为两平面的法向量)进行求解，注意与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断. 18．(1)；(2)①.证明见解析；②.. 【详解】（1）由得， 把点代入椭圆方程为，∴得， ∴，椭圆的标准方程为； （2）由（1）知， ， 而，∴为定值； ②直线与椭圆联立，得， ， 设，则， 由①知， ∴， ∵成等差数列， ∴，即解得或， 又因为，所以. 19．(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，由的正负确定单调区间； （2）求出，，由导数确定的单调性，函数的变化趋势，从而得出的范围，由的关系，设，把都用表示，则可表示的函数，同样利用导数得出新函数是增函数，得出，再由对数函数的性质得证不等式成立． 【详解】（1），，在上单调递增，且，所以时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增； （2），（）， 时，递增，时，，递减， 时，， 存在使得，则，令，， ，令， 则，在上单调递增，，， ，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高三年级2025年秋季学期9月月考数学试卷 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若向量与向量共线，则 A．0 B．4 C． D． 5．已知数列是各项均为正数的等差数列，若，，，成等比数列，则数列的公差为　　 A．2或 B．2 C．3或 D．3 6．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．240 B．360 C．600 D．320 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则（    ） A．极差变大 B．中位数变小 C．平均数变大 D．80%分位数变小 10．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 11．如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 13．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 14．已知数列满足，，则______． 四、解答题 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，，点D在边上，且，求的长． 16．在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响. (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望. 17．如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18．椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足. ①证明：为定值； ②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值. 19．已知函数 (1)当，研究的单调性； (2)令，若存在使得，求证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $