精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

宣威七中高三年级2025年秋季学期期中考试试卷 一、单选题 1. 已知 ，则 A. B. C. D. 2. 关于复数，下列说法正确的是（    ） A. 若实数，则是纯虚数 B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 复数的任何偶数次幂都不小于零 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 3. 若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知有25个互不相同的样本数据，从中去掉数值最大的2个数据和数值最小的数据，设剩下的22个数据的方差为，平均数为；去掉的3个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列说法正确的有（ ） A. 剩下的22个数据的中位数与原样本数据的中位数相同 B. 剩下的22个数据的分位数与原样本数据的分位数相同 C. D. 10. 已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 11. 已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则以下结论中正确的是（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 到线的距离为 三、填空题 12. 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 13. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______. 14. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 五、解答题-问答题 16. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______. （1）求角； （2）若，求的周长的取值范围. 17. 甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18. （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为，求的分布列及数学期望. 六、解答题-证明题 18. 如图，在三棱锥中，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，，且，求二面角的大小． 19. 已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，.椭圆C上任一点P都满足，并且该椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，过点A作x轴的垂线，交该椭圆于点M，求证：三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高三年级2025年秋季学期期中考试试卷 一、单选题 1. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解一元二次不等式可得或， 所以或， 所以. 2. 关于复数，下列说法正确的是（    ） A. 若实数，则是纯虚数 B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 复数的任何偶数次幂都不小于零 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的概念举反例可判断A，利用复数加法运算可判断B，利用可判断C，利用复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，若，那么，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，由虚数单位，故 C错误； 对于D，设，则由可知 ， 故复数z对应的点所构成的图形面积为 ，故D正确， 故选：D. 3. 若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解. 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 4. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故；  为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 5. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 6. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 7. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的余弦求出即可得解. 【详解】由A点的纵坐标为，得，，， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以B点到y轴的距离为．故选：C． 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，设，转化为为单调递增函数，再由，利用导数和分段函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 设， 因为对任意都有，则为单调递增函数， 又因为， 可得， 当时，，可得， 因为时，为单调递增函数，则满足，解得， 又由为递减函数，则，可得， 且满足，即，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知有25个互不相同的样本数据，从中去掉数值最大的2个数据和数值最小的数据，设剩下的22个数据的方差为，平均数为；去掉的3个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列说法正确的有（ ） A. 剩下的22个数据的中位数与原样本数据的中位数相同 B. 剩下的22个数据的分位数与原样本数据的分位数相同 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设个样本数据从小到大排列为，去掉最大的2个和最小的1个数据后，剩下22个数据：，再根据中位数、第百分位数、平均数与方差的定义与公式推导即可. 【详解】把原样本25个数据从小到大排列，记为：，中位数是； 去掉最大的2个和最小的1个数据后，剩下22个数据：，此时数据个数为偶数，中位数是和的平均数， 对于A，数据的中位数是；数据的中位数是和的平均数，而这组数互不相同，所以剩下的22个样本数据的中位数与原样本数据的中位数不同，故选项A错误； 对于B，，原样本数据的分位数是；，剩下22个数据的分位数是第7个数据，即，故选项B正确； 对于C，由题可知：，因为，故，故选项C错误； 对于D，，而，故，故选项D正确， 故选：BD． 10. 已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得函数的奇偶性与对称性，借助赋值法推导出其周期性与其它性质，运用所得性质及计算其它值即可得. 【详解】，为奇函数， 又，的对称轴为； A选项：，， ， 的图象关于直线轴对称，故A正确； C选项：，， ，，故C正确； B选项：，， 的图象关于点中心对称，故B正确； D选项：，，，， ， 故D错误. 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则以下结论中正确的是（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 到线的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由及异面直线所成角的定义知为所求角，即可求其正切值；B由结合线面平行的判定判断；C由题设有、，再根据线面、面面垂直的判定判断；D确定是等腰三角形，所求距离为其底边上的高. 【详解】A：由，则直线与所成角即为，而，错； B：由分别是棱的中点，则，面，面， 所以直线平面，对； C：由，而，故， 又面，面，则， ，面，则面， 由面，故面面，对； D：由正方体性质易知：，， 所以是等腰三角形，则到线的距离为，对. 故选：BCD 三、填空题 12. 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】50 【解析】 【分析】根据，再分别根据二项式定理求解中的常数项与项即可 【详解】因为，考虑中的常数项与项.由通项公式，即，故当时，中的常数项为，当时，中的项系数为，故的展开式中的常数项为 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】设，，分别求出A与B的坐标，结合A，B，F三点共线可得结果. 【详解】设，， 则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：， 解得：，故A点坐标为： 同理可得：B点坐标为： 又， ∴， 又A，B，F三点共线， ∴ ∴，由 ∴，即 又 ∴， ∴ 故答案为2 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查转换能力与计算能力，是中档题． 14. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程，且点D恒在圆E外，即圆E上存在点，使得，则当与圆E相切时，此时，由此列出不等式，即可求解． 【详解】由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得， 设，则，， 设，则，， 又， 所以圆是以为圆心，4为半径的圆，所以点恒在圆外． 圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点， 要满足题意，则，所以， 整理得，解得， 故实数的取值范围为 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，把圆上存在点，使得以为直径的圆过点，转化为圆上存在点，使得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 五、解答题-问答题 16. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______. （1）求角； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①利用二倍角的余弦公式即可得到答案，选②根据正弦定理进行边化角，再根据商数关系化简即可，选③根据正弦定理和余弦定理化简即可. （2）法一：利用余弦定理和基本不等式即可求出周长范围； 法二：利用正弦定理进行边化角，再结合正弦型函数的值域即可得到周长范围. 【小问1详解】 选①：，， 或，，，； 选②：，根据正弦定理知， 即， ，，，，，； 选③：， ，则根据正弦定理知， 即， ，，； 【小问2详解】 方法一：，的周长+1， 又因为①，所以， 又由①得，得， 当且仅当，等号成立，则，的周长， 又，所以. 方法二：，由正弦定理得， ， 因为，所以，， 故，所以. 17. 甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18. （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）甲0.3，乙0.6，丙0.9；（2）分布列见解析，1.8 【解析】 【分析】（1）乙的命中率是甲的2倍, 设甲的命中率为,甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18.即求出可得. （2）列出的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，可得分布列及数学期望. 【详解】解：（1）设甲的命中率为，则依题意可得， 解得， 故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9. （2）的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 0.028 0.306 0.504 0.162 故. 【点睛】求相互独立事件概率的步骤： 第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 六、解答题-证明题 18. 如图，在三棱锥中，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，，且，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证得和，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果. 【小问1详解】 解：（1）证明：因为，且为中点，所以， 因为，且为中点，所以，因为，且为中点， 所以，因为，，，所以，所以， ，所以平面. 【小问2详解】 解：因为，且为中点，所以，从而，，两两垂直， 如图，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空间直角坐标系， 易知，，，， 设，由，即，可求得， 所以，， 不妨设平面的一个法向量为，则， 即， 令，则，，所以， 取平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的大小为． 19. 已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，.椭圆C上任一点P都满足，并且该椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，过点A作x轴的垂线，交该椭圆于点M，求证：三点共线. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据求出，再将点代入椭圆方程得到，即可求出结果；（Ⅱ）由(Ⅰ)确定的坐标，设，，，以及直线的方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求出直线的方程，即可证明结论成立. 【详解】设出 (Ⅰ)依题意，，故. 将代入中，解得，故椭圆： .… （Ⅱ）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 .…………… 点，，，联立得. 即 ，， … 由题可得直线方程为. … 又，. 直线方程为. 令，整理得 ，即直线过点(1,0). 又椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以椭圆中直线过定点的问题，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $