精品解析：云南曲靖市宣威五中龙泉学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学检测卷

宣威五中龙泉学校高三9月数学检测卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助一元二次不等式解法得到两集合后利用交集定义即可得. 【详解】，解得或， 即， ，解得， 即， 则. 故选：C. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 详解】令，所以. 故选：D 4. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 5. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 6. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得. 故选：A 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 第百分位数为 【答案】AC 【解析】 【分析】由样本数据的数字特征依次判断选项即可. 【详解】对于A，160出现的次数最多，故众数是160，故A正确； 对于B，将数据从小到大排列为80，90，120，160，160，160，170，180， 共八个数据，则中位数是第4位与第5位的平均数，即中位数是，故B错误； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，，故第百分位数为从小到大的第3位数，即120，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断. 【详解】由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期， 即， 由周期公式， 所以，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 由正弦函数性质可知时，， 所以， 因为，所以， ， 因为，故B错误； 因为是中心对称函数，对称中心为，， 若函数图象关于点对称，则. 代入计算：， 所以图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则， 由正弦函数性质可知在上单调递增， 令，解得， 区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上 B. 若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C. 若与圆相切，则的方程为 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，列式求实数的值. 【详解】由条件可知，，， 所以，解得：（舍）或. 故答案为： 13. 已知函数是定义域为R的偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 14. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据样本求出样本平均数，代入即可. 【详解】根据数据表可得，，解得. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解； （2）由（1）求出，再由裂项法求和即可证明． 【小问1详解】 由，则（n≥2）， 两式左右分别相减得，即． 得， 则，，…，，， 将以上个式子相乘得． 上式对仍成立，所以． 【小问2详解】 ， ∴． 故命题得证． 16. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可 （2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望. 【小问1详解】 零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. 【小问2详解】 由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 19. 已知椭圆经过点，且离心率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，结合离心率公式以及，建立方程组，可得答案； （2）设出动直线方程，联立方程写出韦达定理，求得弦长，即为三角形的底，利用点到直线距离公式，求得三角形的高，根据基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设E的半焦距为，由已知得，解得， 故E的方程为. 【小问2详解】 由题可设，，. 将代入，消去得. 当，即时，，， 所以. 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则，， 当且仅当，即时，等号成立，且满足. 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威五中龙泉学校高三9月数学检测卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 4. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A. B. C. D. 5. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 6. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 众数 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 第百分位数为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 11. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上 B. 若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C. 若与圆相切，则的方程为 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 13. 已知函数是定义域为R的偶函数，则______． 14. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 16. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 19. 已知椭圆经过点，且离心率，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $