25.1一元二次方程的概念（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程. 掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数. 通过观察、比较、归纳一元二次方程的共同特征，培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 章节导入 雕像腰部以上的身长与腰部以下的身长满足如下等量关系： 整理得 ① 设雕像腰部以下的身长为 m 根据上述等量关系，就可以列出方程 在设计人体雕像时，为了达到最佳视觉效果，会让雕像腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比。现在有一尊全身长 的雷锋同志雕像，按照这个比例，雕像腰部以下应该设计为多长？ 3 新课引入 我们之前学习过一元一次方程，比如 思考 请大家对比一下，今天得到的这个方程 和一元一次方程有什么相同点和不同点？ 相同点：都只含有一个未知数，都是整式方程 . 不同点：这个方程中未知数的最高次数是 2,而一元一次方程未知数的最高次数是 1 像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，就是我们本章要学习的一元二次方程. 4 新知探究 如图 ，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒。 探究 问题1 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 折叠 分析：设切去的正方形边长为，让学生独立思考并尝试表示盒底的长和宽，进而列出方程. 5 新知探究 整理并化简，得 设各角切去的正方形铁皮的边长为 cm，则盒底的长为 ，宽为 . 根据方盒的底面积为 ，可列得方程： 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 思考 只含有一个未知数，未知数最高次数为2 6 新知探究 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1场). 探究 问题2 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场. 则此次邀请赛共需进行场 所以可列得方程： 整理并化简，得： ③ 7 新知探究 思考 为什么需进行场？ 每支球队都要和其他支球队各赛 1 场，因此 支球队的“单向”比赛总数是 场. 但这样计算时，A 队和 B 队的比赛，既被算进了 A 队的场次里，也被算进了 B 队的场次里，相当于重复计算了 1 次. 因此实际场次 视频展示：假设，比赛场次如右： （6条线，即6场比赛） 8 1.等号左右两边都是整式 新知探究 思考 下列三个方程有什么共同特点？ ① ③ 3.未知数最高次数是 2.只含有一个未知数 都只有一个未知数 共同特点如下： 9 知识小结 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： 注：不等于 10 新知巩固 一元二次方程的定义 1.下列四个方程 ①； ②()()； ③； ④中， 不是一元二次方程的是 （ ） A．① B．② C．③ D．④ 解：① 是一元二次方程； ② ()是一元二次方程； ③ 是一元二次方程； ④不是一元二次方程； 故选D． 【分析】一元二次方程满足下列条件： 1.未知数的最高次数是2； 2.二次项系数不为0； 3.是整式方程； 4.含有一个未知数． 11 新知探究 思考 一元二次方程的一般式有什么特点？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 注：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 12 1.关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的概念及一般式 “”判定即可. 解：关于的一元二次方程 的二次项系数，一次项系数和常数项分别为 ， 故选：D ． 新知巩固 一元二次方程的一般式 13 化为一元二次方程的一般式 教材例题 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】：通过去括号、移项、合并同类项，将原方程整理为一元二次方程的一般形式, 再确定各项系数. 解：去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 它的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 14 巩固训练1 由一元二次方程的定义求参数 1.已知关于的方程 是一元二次方程，则 ______． 1 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 15 巩固训练1 由一元二次方程的定义求参数 变式题 已知关于的方程是一元二次方程，求的值. 解： 未知数最高次数为 2: 解得：或 二次项系数不为 0: 综上，。 16 巩固训练 2.方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 解：根据题意， 移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 巩固训练2 一元二次方程的一般式 【分析】 确定各项系数前，必须先通过去括号、移项、合并同类项等步骤，将其化为一般形式 17 变式题 巩固训练2 一元二次方程的一般式 方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为 ( ) A.和 B.和 C.和 D.和 解析： 移项： 合并同类项： 一次项系数为,常数项为 故选 A. 18 3.关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 巩固训练3 由一元二次方程的项求参数 【分析】正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 19 巩固训练3 由一元二次方程的项求参数 变式题 关于的一元二次方程的常数项为，求该方程的一次项系数。 解析： 常数项为：，解得 二次项系数不为：，解得 当时，二次项系数，符合条件，此时一次项系数为。 当时，二次项系数，符合条件，此时一次项系数为。 综上，方程的一次项系数为或。 4.若是关于的方程的解，则的值为_____． 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入得到，再整体代入求值． ∴ ， 巩固训练4 由一元二次方程的解求参数 21 变式题 巩固训练4 由一元二次方程的解求参数 若是关于的方程的解，则的值为_______ 解析： 代入: 即 符号变形： 原式=. 22 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! 24 $