第十一章 一元一次不等式（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 新教材苏科版七年级下册一元一次不等式单元拔尖卷，24题覆盖定义、解集、整数解及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，精准衡量学生知识掌握与数学思维发展，适配单元复习拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次不等式定义、解集范围、整数解|结合数轴表示解集，如第17题，考查运算能力与几何直观| |填空题|6/18|方程组正整数解、不等式组整数解求和|如第11题方程组与不等式组综合，培养推理意识| |解答题|8/72|实际应用（购车方案、配餐营养）、新定义关联数|第20题旅游公司购车方案设计，体现模型意识与应用能力，符合真题命题趋势|

第十一章 一元一次不等式·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 3．（3分）（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 7．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 10．（3分）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·重庆·期中）关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为 ． 12．（3分）（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知关于的不等式的正整数解有3个，求的取值范围是 ． 13．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若不等式组的解集中任一个的值均不在的范围内，则的取值范围是 ． 14．（3分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是 ． 15．（3分）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 16．（3分）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·期末）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来， （2）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 18．（6分）已知关于的方程组． (1)若为正数，为非正数，求的取值范围； (2)若，且，求的取值范围． 19．（8分）（24-25七年级下·四川泸州·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 20．（8分）（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 21．（10分）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 22．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 23．（12分）（24-25八年级下·全国·阶段练习）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 24．（12分）（24-25七年级下·湖北黄石·期末）某品牌饮料店特别推出A和B两种饮料进行销售，以下是该饮料店开业期间的三则信息： 信息1： "开业大酬宾"优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元；    ②满10杯（含10杯）减15元． 信息2： 加料区 种类 单价（元） 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料；说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息3： A饮料（杯） B饮料（杯） 总费用（元） 是否优惠 实际花费（元） 是否加料 消费记录1 4 2 72 无 72 否 消费记录2 3 4 94 无 94 否 消费记录3 5 3 98 优惠10元 88 否 请根据所提供的信息完成以下问题： (1)请分别求出A和B两种饮料的销售单价； (2)已知小明买了若干杯A饮料和5杯B饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯A饮料； (3)小坤与他的伙伴们想买6杯A饮料和5杯B饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 一元一次不等式·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 2．（3分）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 【答案】B 【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围． 【详解】试题解析：， 由①得：x≥a， 由②得：x≤1+a， ∴不等式的解集是a≤x≤1+a， ∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内， ∴ 解得：2≤≤4． 所以a的取值范围是：2≤≤4． 故选B． 【点睛】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，等知识的理解和掌握，能根据不等式组的解集，和已知得出a≥5且1+a≤2是解此题的关键． 3．（3分）（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先求出 ，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答． 【详解】解：由得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴ ， 解得， ∴， ∴关于x的不等式，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4．（3分）（24-25七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键，解不等式组并根据其有且只有2个整数解确定a的取值范围，再结关于y的方程，然后再结合其解是整数确定整数a的值，最后将它们相加并计算即可． 【详解】解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 该不等式组有且只有2个整数解， 这2个整数解必然是1，2， ， 解得：， 将关于y的方程整理得：， 它的解是整数，且a为整数， 或， 则， 故选：B． 5．（3分）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 6．（3分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 7．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不到8棵意思是植树棵数在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵数位同学植树的棵树，植树的总棵数位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点． 【详解】解：植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 8．（3分）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（3分）（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键． 先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解， ∴ ， ∵不等式组的整数解，有且仅有4个：， ∴必须满足，解得， ∵a、b为整数， ∴或或，或6， ∴整数对有、、、、、，共6个． 故选：D． 10．（3分）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 【答案】D 【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解． 【详解】解：设 ， 则x=2t+1，y=2-3t， ∵x≥0，y≥0， ∴2t+1≥0，2-3t≥0， 解得 ∴ ∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11， ∴ 解得，7≤w≤14， ∴w的最大值是14，最小值是7， ∴m+n=14+7=21． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·重庆·期中）关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于m的不等式组．根据不等式组求出m的范围，然后再根据方程组求出m的取值，从而确定的m的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组有正整数解， ∴，3， 解得：或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， ∴满足条件的整数m的值为． 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知关于的不等式的正整数解有3个，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，先解原不等式得到，根据原不等式有3个正整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的不等式的正整数解有3个， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若不等式组的解集中任一个的值均不在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先解不等式组得出其解集，再根据解集与无交集的条件，确定的取值范围．本题主要考查一元一次不等式组的解法及根据解集的位置关系确定参数范围，熟练掌握不等式组的求解方法和“解集无交集”的条件分析是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得． 不等式组的解集为． ∵解集中任一个的值均不在的范围内， ∴当时，得； 当时，得． 的取值范围是或． 故答案为：或． 14．（3分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为22，可以确定不等式组的整数解，再确定m的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∴， ∵所有整数解的和是22，即或， ∴不等式组的整数解为：7，6，5，4或7，6，5，4，3，2，1，0，，，， ∴或； 故答案为：或． 15．（3分）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16．（3分）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【答案】/3≥a＞2 【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：由①与②进行如下运算： ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴， ∵，， ∴， 故， ∵x只能取两个整数， 故令整数的值为n，n+1， 则，， 故， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·期末）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来， （2）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】（1），见解析；（2），整数解为，，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），求不等式组的整数解． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解； （2）先求出两个不等式的解集，再求公共解集，进而可得整数解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 故原不等式的解集为． 解集在数轴上的表示如图所示． （2）由，得． 由 得． 所以原不等式组的解集为． 所以原不等式组的整数解为，，0，1． 18．（6分）已知关于的方程组． (1)若为正数，为非正数，求的取值范围； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解以及一元一次不等式组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先求解方程组得到、关于的表达式，再根据为正数，为非正数列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围． （2）先根据（1）中、的表达式，结合和列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组得， 为正数，为非正数 解，得 解，得 ． （2）解：解方程组得， ，， 解得， 解得， ． 19．（8分）（24-25七年级下·四川泸州·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”． (1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值； (2)已知与是关于3的“关联数”，求的值； (3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据“关联数”的定义，列一元一次方程求解即可； （2）根据“关联数”的定义，列出方程整理得出，利用平方和绝对值的非负性，求出、的值，代入计算的值即可； （3）根据“关联数”的定义，得出，代入不等式组整理得出，根据不等式组的整数解的情况，得出，求解综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵3与是关于2的“关联数”， ∴，即， ∴； （2）解：∵与是关于3的“关联数”， ∴，整理得：， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵与是关于的“关联数”， ∴， ∴， 把代入不等式组得：， 整理得：， ∵关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了新定义、列一元一次方程求解、平方和绝对值的非负性、由不等式组解集的情况求参数范围，理解题意、正确列式求解是解题的关键． 20．（8分）（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 【答案】(1)， (2)①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆；②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆；③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆；④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； (3)A款中享受国家补贴的有8辆 【分析】（1）根据“买10辆A款和5辆B款需付款160万元，买5辆A款和10辆B款需付款170万元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆，根据总付款不超过150万元也不少于144万，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论； （3）设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共n辆，则B款中没有享受国家补贴的有，利用总价单价数量，列出关于m、n的二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 即，； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，10，11，12， ∴有4种购买方案： ①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆； ②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆； ③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆； ④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； （3）∵（万元）， ∴A款中没有享受国家补贴的单价与B款中享受国补的单价相同， 设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共有n辆， 则B款中没有享受国家补贴的有辆， 根据题意得：， 整理得：， 又∵m、n、均为正整数， ∴， ∴A款中享受国家补贴的有8辆， 答：A款中享受国家补贴的有8辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 21．（10分）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)(1) ； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 22．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得， 解得， 即应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， ∴， ∴共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包． 23．（12分）（24-25八年级下·全国·阶段练习）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将看作已知数求出方程组的解表示出与，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）将看作已知数求出方程组的解表示出与，代入不等式，解不等式即可； （3）解方程组得到，，，再解不等式组，得到，代入不等式解答即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵且， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴当时，原题意成立； （2）解：解方程组得，， ∵为正整数，、为整数， ∴， 把代入得， 解得：； （3）解：解方程组得，， ∵，，为3个非负实数， ∴，解得：， ∴的最小值，的最大值， ∵始终成立， ∴， ∴， 解得：． 24．（12分）（24-25七年级下·湖北黄石·期末）某品牌饮料店特别推出A和B两种饮料进行销售，以下是该饮料店开业期间的三则信息： 信息1： "开业大酬宾"优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元；    ②满10杯（含10杯）减15元． 信息2： 加料区 种类 单价（元） 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料；说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息3： A饮料（杯） B饮料（杯） 总费用（元） 是否优惠 实际花费（元） 是否加料 消费记录1 4 2 72 无 72 否 消费记录2 3 4 94 无 94 否 消费记录3 5 3 98 优惠10元 88 否 请根据所提供的信息完成以下问题： (1)请分别求出A和B两种饮料的销售单价； (2)已知小明买了若干杯A饮料和5杯B饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯A饮料； (3)小坤与他的伙伴们想买6杯A饮料和5杯B饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 【答案】(1)A饮料的销售单价为10元，B饮料的销售单价为16元 (2)小明买了2杯A饮料或者是3A杯饮料 (3)能够满足大家的各种加料需求，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A饮料的销售单价为x元，B饮料的销售单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了A饮料a杯，分、、三种情况，分别列一元一次方程求解即可； （3）设一共需要加料b元，然后根据题意列不等式确定b的取值范围，再判断是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：设A饮料的销售单价为x元，B饮料的销售单价为y元． ∴．解得：． 答：A饮料的销售单价为10元，B饮料的销售单价为16元． （2）解：设购买了A饮料a杯． ①，即 ，解得：．符合题意； ②．即时，可减10元． ．解得：，符合题意． ③，即时，可减15元 ．解得：（不合题意，舍去）． 答：小明买了2杯A饮料或者是3A杯饮料； （3）解：能够满足大家的各种加料需求，理由如下： 设一共需要加料b元． ，解得：． ∵每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． ∴每杯饮料加料最多需要（元）． ∵仅有3杯饮料不加料， ∴有8杯饮料需加料． ∴最多需要56元． ∴能够满足大家的各种加料需求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $