2026年浙江省中考数学二模预测押题试卷01

**基本信息** 2026年中考数学二模预测卷，融合赵爽弦图、风力发电等文化与现实情境，通过动态几何、新定义问题等梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、平行线判定、圆的旋转、反比例函数、动态几何|第9题赵爽弦图渗透文化传承，第5题动态面积考查几何直观| |填空题|6/18|实数运算、解直角三角形、偶根方程新定义、圆内接四边形|第13题“偶根方程”培养创新意识，第16题圆中线段计算体现空间观念| |解答题|8/72|二次函数、统计、几何证明、风力发电测量应用|22题风力发电测量结合科技情境，23题矩形综合考查推理能力，24题二次函数与几何综合发展模型意识|

2026年中考数学二模预测押题试卷01 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2的相反数是（　　） A．2 B． C．-2 D．- 2．如图，下列条件能推出a∥b的是(　　) A．∠1=∠3 B．∠1=∠4 C．∠2=∠3 D．∠2=∠4 3．如图是一个滑轮起重装置，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时，半径 OA 绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 4．一个反比例函数的图象经过点A(2，a)和点B(b，-3).若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　） A．线段AD的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小 D．△DPQ的面积的最小值为36 6．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足s<t<3，则m的取值范围是(　　) A．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2 7．如图，在等腰中，，点是斜边的中点，点在上，连结，作于点，连结，则点从点向点移动过程中（点不与、重合），角度的大小为（　　） A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定 8．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　) A． B． C．2 D． 10．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．y的最小值为64 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．=　 　。 12．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据： 13．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可) 14．如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为　 　． 15．如图，钝角三角形ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点 C'在直线BC上， 已知 则AC的长为　 　. 16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　. 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： （1）； （2）。 18． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1. （1）求b的值. （2）若点M (x，y)是抛物线上的动点. ① 当 时，求 y的取值范围. ② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围. 19．我市为响应国家“健康第一”的号召，各所学校正式落实将“课间10分钟”延长为“15分钟”，鼓励学生们“走出来”，“动起来”，“乐起来”，在大课间推出5项体育活动（跳绳、排球、羽毛球、踢毽子、健身操），要求每名学生选择一项参与.某校为了解学生参与大课间体育活动的具体情况，随机抽取该校7-9年级部分学生开展调查工作并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下统计图表.根据图中信息回答下列问题： 7-9年级学生活动项目统计表 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） A 跳绳 30 B 排球 16 C 羽毛球 a D 踢毽子 14 E 健身操 10 - 合计 b 7-9年级学生活动项目扇形统计图 （1）表格中b=　 　，a=　 　，扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为　 　°； （2）在选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，若该校参加“跳绳”活动的男生人数180人，请估计该校有多少名学生? 20．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值. 21．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5． 【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　． 22．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°. （1）填空：∠APB=　 　°； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 23．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q. （1）求证：四边形AHPG是正方形. （2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长. 24．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． （1）求的值； （2）求的最大值； （3）当时，的取值范围是，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学二模预测押题试卷01 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2的相反数是（　　） A．2 B． C．-2 D．- 【答案】C 【知识点】相反数及有理数的相反数 【解析】【解答】解：2的相反数为-2. 故答案为：C 【分析】利用求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解. 2．如图，下列条件能推出a∥b的是(　　) A．∠1=∠3 B．∠1=∠4 C．∠2=∠3 D．∠2=∠4 【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：如图， A、由不能推出，不符合题意； B、由不能推出，不符合题意； C、由不能推出，不符合题意； D、如图，当时， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意； 故答案为：D . 【分析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 3．如图是一个滑轮起重装置，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时，半径 OA 绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 【答案】D 【知识点】弧长的计算 【解析】【解答】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 【分析】利用弧长公式计算解答． 4．一个反比例函数的图象经过点A(2，a)和点B(b，-3).若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 故答案为：A. 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数求出的值，然后把点A的坐标代入求出解析式即可． 5．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　） A．线段AD的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小 D．△DPQ的面积的最小值为36 【答案】D 【知识点】二次函数的最值；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：观察图①和图②可知当t=0时，S=48，此时S的面积为矩形ABCD的一半， 故矩形面积为96，即 故 故A选项正确； 时，函数图象变为一条线段， ∴此时Q点已经运动到终点B，故Q的速度为6÷6=1单位/s，故B选项正确； 设点P的运动速度为v单位/s，则根据 即 S为关于x的二次函数，其对称轴为直线 故v=2， 当t=4时，S最小，此时点P走了2×4=8，故点P运动至BC的中点，故C选项正确； 当t=4时， 故D选项错误， 故答案为：D. 【分析】观察图①和图②可知当t=0时，此时S的面积为矩形ABCD的一半，可求矩形的长，可判断A； 当 时，函数图象变为一条线段，故此时Q点已经运动到终点B，故可求Q点速度，可判断B； 根据设点P的运动速度为v单位/s，进而求出， 根据二次函数的性质可判断C、D选项. 6．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足s<t<3，则m的取值范围是(　　) A．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2 【答案】A 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得， 解得， 综上，时，． 故答案为：A. 【分析】根据抛物线的的对称性得到对称轴，再利用抛物线开口向上，得到离对称轴越远的的点的函数值越大得到，，解出m的取值范围即可． 7．如图，在等腰中，，点是斜边的中点，点在上，连结，作于点，连结，则点从点向点移动过程中（点不与、重合），角度的大小为（　　） A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：当点E在上时，连接， ∵点是斜边的中点，点O为AC的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴点D在以的中点为圆心，以为半径的半圆上， ∵， ∴点F的运动轨迹是以的中点为圆心，以为半径的半圆上， ∴四点共圆， ∴； 当点E在上时， ∴， 综上所述：的大小保持不变. 故选：C． 【分析】连接，先判断点F与点D的运动轨迹，则四点共圆，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质解答即可． 8．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【知识点】切线长定理 【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB=8，AC=EC，BD=ED， ∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16， 即△PCD的周长为16 故选：C. 【分析】根据切线长定理得到PB=PA=8，AC=EC， BD=ED，再根据三角形的周长公式计算. 9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　) A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。 因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：， 因此， 设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。 根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1 大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：， 过点E作EG⊥AN于点G， 因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线， 所以∠NMP=∠EMG=45°， 所以EG=MG=1，AG=b-2， 因为∠ANB=90°， 所以EG//BN， 所以， 所以， 即， 解得：， 则， 则. 故答案为：A. 【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。 10．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．y的最小值为64 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；数形结合 【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误． 故答案为：B ． 【分析】由于图象经过点P(0，100) ，可知当x=0时，点A与点E重合，此时AE=0，DE=AD，则y=DE2=100，故AD=10，结合中点定义得AB=20；由图象经过点N(n-9，100)，得当x=n-9时，AE=n-9，y=DE2=100，故DE=10，故△ADE是等腰三角形；过点D作DF⊥AC于点F，由等腰三角形的三线合一得出AF=，在Rt△ADF中，由余弦函数定义求出；由图象最高点M(n，m)，由于当E与点C重合时，DE最大，故AE=AC=n，y=DC2=m，在Rt△ABC中，由余弦函数定义得，则可列出方程 ，求解得出符合题意的n为25，可判断C选项；则AC=25，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由∠A的余弦函数值及特殊锐角三角函数值可判断A选项；在Rt△BDC中，由勾股定理算出DC2得出m的值，可判断B选项；根据垂线段最短得出当DE⊥AC，即点E与点F重合时，DE最小，即y=DE2最小，此时AF=，进而在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF2即可判断D选项. 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．=　 　。 【答案】0 【知识点】实数的混合运算（含开方） 【解析】【解答】解：. 故答案为：0 【分析】先运算绝对值和开立方，然后运算减法解答即可. 12．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据： 【答案】31 【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型 【解析】【解答】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴， ∴（米）． 故答案为：31 . 【分析】根据正切的定义求出AD长，再根据线段的和差解答即可. 13．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可) 【答案】(答案不唯一) 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根， 所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。 由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论： 1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2， 所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立； 2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。 根据根与系数的关系，。 由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。 因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。 取k=2(k为整数)，代入得。 因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。 故答案为：(答案不唯一). 【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。 14．如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【分析】分别过A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，设AC、BD交于点G，则，由同底等高三角形面积相等可得，从而结合对顶角相等，利用“AAS”证明△AGE≌△CGF，由全等三角形的对应边相等可得CG=AG；由等边对等角及同弧所对的圆周角相等可推出∠BDC=∠DBC=∠CAD，结合公共角∠ACD=∠DCG，由有两组角相等的两个三角形相似得出△CDG∽△CAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC的长. 15．如图，钝角三角形ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点 C'在直线BC上， 已知 则AC的长为　 　. 【答案】 【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 设，则， ∵，， ∴，， ∵绕点旋转得到， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ 代入得， ∴整理，得， ∴ 解得或， ∴ 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴，， ∴ 在中，． 故答案为： . 【分析】延长交于点H，根据正切的定义设，，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出y与x的关系式，在中根据勾股定理求出x的值，然后在中根据勾股定理解答即可. 16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　. 【答案】 【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论 【解析】【解答】解：如图，连结OD，OE，DB， ∵AB 为⊙O的直径，弦 即 即 FB. 设 (4-x)(9-x)， 解得 ∴HF的长为 故答案为： 【分析】连结OD，OE，DB，根据垂径定理和弧的加减得到即可得到DE=BD，再根据SSS得到△ODE≌△ODB，即可得到进而证明△OFD∽△DFB，根据对应边成比例求出 FB，设 然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可. 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： （1）； （2）。 【答案】（1）解：3x-3-2x=-6 3x-2x=-6+3 x=-3 （2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x x2+3x+3=x2+x 2x=-3 X=- 经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解 【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程 【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程； (2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解. 18． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1. （1）求b的值. （2）若点M (x，y)是抛物线上的动点. ① 当 时，求 y的取值范围. ② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围. 【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得. （2）解：①由题意知，抛物线的开口向上， ，则顶点坐标为(-1，-4)， 又因为-2≤-1≤3，所以当x=-1时， y取到最小值为-4， 当x=-2时， y=-3； 当x=3时， y=12， 所以y的取值范围是-4≤y≤12. ②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=p+3时，x分别取到最大值与最小值， 由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称. 设x的最大值为x1，最小值为x2，则有： 又有 可得 此时 ，即p+3=0，得p=-3， 由方程 解得x3=0， x4=-2. 由图2得x的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1. 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴公式求出b的值即可； （2）①将解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后根据二次函数的增减性求出y的取值范围即可； ②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，根据抛物线的对称性得，再根据求出，，即可求出的值，再求时对应的值，借助图象得到x的取值范围即可． 19．我市为响应国家“健康第一”的号召，各所学校正式落实将“课间10分钟”延长为“15分钟”，鼓励学生们“走出来”，“动起来”，“乐起来”，在大课间推出5项体育活动（跳绳、排球、羽毛球、踢毽子、健身操），要求每名学生选择一项参与.某校为了解学生参与大课间体育活动的具体情况，随机抽取该校7-9年级部分学生开展调查工作并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下统计图表.根据图中信息回答下列问题： 7-9年级学生活动项目统计表 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） A 跳绳 30 B 排球 16 C 羽毛球 a D 踢毽子 14 E 健身操 10 - 合计 b 7-9年级学生活动项目扇形统计图 （1）表格中b=　 　，a=　 　，扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为　 　°； （2）在选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，若该校参加“跳绳”活动的男生人数180人，请估计该校有多少名学生? 【答案】（1）100；30；36 （2）解：180÷(30%×60%)=1000(人) 答：该校有1000名学生. 【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量 【解析】【解答】解：（1） ； 扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为 故答案为： 100， 30， 36； 【分析】(1)根据A的人数及百分比进行计算即可得到b的值，再用b减去A、B、D、E的人数即可求出a的值；根据E组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数； (2)根据选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，参加“跳绳”活动的男生人数180人，计算即可. 20．已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值. 【答案】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； ​​​​​​ （2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以，即：， 解得； （3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：， 当时，与y轴交点E的纵坐标：， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，e取最小值， 题目中，则， 令，即， 解得：， 因为，所以． ​​​​​​​ 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴为直线x=2，然后根据离对称轴远的点的函数值大得到，求出m的取值范围解答即可； （3）得到平移后的解析式，进而得到与y轴交点的纵坐标，根据二次函数的最值可得最小值为-1，然后求出最大值为5，令e=5，解方程组求出n的值解答即可． 21．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5． 【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　． 【答案】2 【知识点】解一元二次方程的其他方法 【解析】【解答】解： 如图， 由题意得： 解得： 即该方程的正整数解为2， 故答案为：2. 【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可. 22．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°. （1）填空：∠APB=　 　°； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【答案】（1）63 （2）解：延长PD交AC于点M， 则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°， ∴点D到地面AC的距离为8米. （3）解：过点P作PE⊥AB于E， 则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG， ∵∠PAC=45°， ∴∠PAE=45°， ∴∠APE=45°， ∴AE=PE， 设AE=PE=x， ∵PE∥BG， ∴∠BPE=∠PBG=18°， 在Rt△PEB中，∠BPE=18°， ∴BE=PE·tan18°=0.325x， ∵AB=53米， ∴0.325x+x=53， ∴x=40， ∴AE=40米， ∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°， ∴四边形AMPE是矩形， ∴PM=AE=40米， ∴PD=PM-DM=40-8=32米， 答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米. 【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】（1）解：过点作， 由题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可； （）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可； （）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可. 23．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q. （1）求证：四边形AHPG是正方形. （2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长. 【答案】（1）证明：∵∠AGP=∠GAH=∠HPG=90°， ∴四边形AHPG是矩形. ∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF， ∵∠BAF=∠HAG=90°，∴∠BAH=∠DAG. ∴△ABH≌△AFG，∴AB=AF， ∴四边形AHPG是正方形. （2）解：设， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，即． ． 为中点， ． 在和中： ． ． ，， ． ，， ， ， ， ． ，四边形为正方形， ，， ． 由（1）可知， ． 在中， ． ， 整理得：， 解得（舍去），． ． 【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】（1）根据三个角是直角得到AHPG是矩形，然后根据正方形的性质，然后根据ASA得到，即可得到AB=AF，证明结论即可； （2）根据正方形和矩形的性质，利用AAS得到，即可得到，设，则，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出．由（1）知，在中根据勾股定理列方程求出x的值解答即可． 24．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． （1）求的值； （2）求的最大值； （3）当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】（1）解：把代入 得，， 解得， 把代入 得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为 （3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述， 【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题 【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。 （1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。 （2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。 （3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。 （1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：50分 分值分布 客观题（占比） 36.0(72.0%) 主观题（占比） 14.0(28.0%) 题量分布 客观题（占比） 12(50.0%) 主观题（占比） 12(50.0%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 10(41.7%) 30.0(60.0%) 填空题 6(25.0%) 18.0(36.0%) 解答题 8(33.3%) 2.0(4.0%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (54.2%) 2 容易 (20.8%) 3 困难 (25.0%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 解含括号的一元一次方程 0.0(0.0%) 17 2 三角形的中位线定理 3.0(6.0%) 7 3 等腰三角形的性质-等边对等角 3.0(6.0%) 14 4 圆内接四边形的性质 3.0(6.0%) 7 5 相反数及有理数的相反数 3.0(6.0%) 1 6 实数的混合运算（含开方） 3.0(6.0%) 11 7 几何图形的面积计算-割补法 3.0(6.0%) 5 8 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 3.0(6.0%) 13 9 矩形底座模型 3.0(6.0%) 12 10 相似三角形的判定-AA 9.0(18.0%) 14,15,16,23,24 11 一元二次方程根的判别式及应用 3.0(6.0%) 13 12 解直角三角形—三边关系（勾股定理） 6.0(12.0%) 10,15,23 13 二次函数与一次函数的综合应用 0.0(0.0%) 24 14 等腰直角三角形 3.0(6.0%) 9 15 关于原点对称的点的坐标特征 3.0(6.0%) 4 16 数形结合 3.0(6.0%) 10 17 四边形-动点问题 3.0(6.0%) 5 18 切线长定理 3.0(6.0%) 8 19 三角形全等的判定-AAS 3.0(6.0%) 14 20 二次函数与一元二次方程的综合应用 0.0(0.0%) 18,20 21 等腰三角形的性质-三线合一 3.0(6.0%) 10 22 动点问题的函数图象 6.0(12.0%) 5,10 23 二次函数y=ax²+bx+c的性质 3.0(6.0%) 6,18,20 24 解直角三角形—边角关系 6.0(12.0%) 10,15 25 用样本所占百分比估计总体数量 0.0(0.0%) 19 26 旋转的性质 3.0(6.0%) 15 27 二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化 0.0(0.0%) 20 28 二次函数-线段周长问题 0.0(0.0%) 24 29 解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 0.0(0.0%) 22 30 去分母法解分式方程 0.0(0.0%) 17 31 二次函数图象上点的坐标特征 0.0(0.0%) 18 32 三角形全等的判定 0.0(0.0%) 23 33 平行线的判定 3.0(6.0%) 2 34 弧长的计算 3.0(6.0%) 3 35 解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 0.0(0.0%) 22 36 矩形的性质 0.0(0.0%) 23 37 解直角三角形的其他实际应用 3.0(6.0%) 12 38 二次函数的最值 3.0(6.0%) 5,18,20,24 39 解一元二次方程的其他方法 2.0(4.0%) 21 40 矩形的判定与性质 0.0(0.0%) 22 41 三角形外角的概念及性质 3.0(6.0%) 7 42 垂径定理 3.0(6.0%) 16 43 三角形全等的判定-SSS 3.0(6.0%) 16 44 圆周角定理的推论 3.0(6.0%) 16 45 圆周角定理 6.0(12.0%) 7,14 46 二次函数y=ax²+bx+c的图象 0.0(0.0%) 18 47 等腰三角形的判定与性质 3.0(6.0%) 7 48 勾股定理 3.0(6.0%) 9 49 利用一般式求二次函数解析式 0.0(0.0%) 20 50 统计表 0.0(0.0%) 19 51 正方形的性质 3.0(6.0%) 9 52 扇形统计图 0.0(0.0%) 19 53 待定系数法求反比例函数解析式 3.0(6.0%) 4 54 相似三角形的性质-对应边 9.0(18.0%) 14,15,16,24 55 二次函数的对称性及应用 3.0(6.0%) 6 56 全等三角形中对应边的关系 3.0(6.0%) 9 57 正方形的判定与性质 0.0(0.0%) 23 学科网（北京）股份有限公司 $