第十八章 等腰三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

**基本信息** 沪教版五四制八年级上等腰三角形单元拔尖卷，27题覆盖核心知识点，精选多地区期末真题，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|垂直平分线与等边三角形（题1）、动点等腰三角形分类（题5）|结合几何直观，考查空间观念| |填空题|12题36分|等腰三角形角度计算（题7）、垂直平分线性质（题9）、高线与腰夹角分类（题15）|注重推理意识，体现分类思想| |解答题|9题52分|尺规作图（题19）、等边三角形证明与计算（题22）、旋转与全等综合（题27）|突出创新应用，发展推理能力|

第十八章 等腰三角形·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，与相交于点O，下列说法正确的是（   ） A．平分 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质；先证，得，再证得，由等腰三角形的性质得，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴平分和， ∴，， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴O是的中点， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴是线段的垂直平分线， 故选C． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角和三角形内角和定理，延长到点F，使得，连接，证明，，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，得到，据此根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点F，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，于点D．于点．，交于点．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是先由及推出为等腰直角三角形，再通过角的关系证明，从而得到． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形三线合一定理，先利用等边三角形的性质得出，再由是边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是中点，即可求得的值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， 故答案为：1． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分 垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 10．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质． 根据将绕点顺时针旋转得到，可得，从而得到为等边三角形，得到，所以与的周长之和，即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 为等边三角形， ， 与的周长之和． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，利用方程思想解决是解题的关键； 连接，由，，得到是的垂直平分线，，，根据，得到，，从而推出，，可表示出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【答案】5.5 【分析】根据平行线的性质，利用“”证明，再根据全等三角形的性质结合等腰三角形的判定与性质进行等量代换求解． 【详解】如图，过点作交的延长线于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又，平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 即． 18．（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可得的长． 【详解】解：如图，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知． (1)用尺规作图作出的垂直平分线，垂足为点，交于点； (2)连接，若，，则___________． 【答案】(1) 见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的性质，关键是熟练应用作图方法作图； （1）根据作已知线段的垂直平分线的作法即可求解； （2）根据等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（4分）（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 21．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， ∴DE+BE=BD， ∵BD=CD， ∴AB+BE=CD； （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AD=EC， ∵AD=BC，BD=CD， ∴AD=BC=EC， ∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 22．（4分）（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 23．（6分）如图，在中，，点在线段上，连接并延长到，使得，过点作分别交，于点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明． （1）首先由得到，然后证明即可； （2）根据等边对等角得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ． 在和中， ， ． （2）解：如图，， ． ， ， ． ． ， ． ， ． 24．（6分）（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 25．（8分）（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，是的平分线． (1)求和的度数． (2)写出图中与相等的线段，并说明理由． (3)直线上是否存在其他的点，使为等腰三角形？如果存在，在图中画出所有满足条件的点，并直接写出对应的的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)与相等的线段是、，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算； （2）结合（1）中的角的度数，结合是的平分线，根据等角对等边确定即可； （3）分是腰和是底两种情况，进行画图，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，即， ， ；   （2）解：与相等的线段是、，理由如下： 是的平分线， ， ，， ，， ， 与相等的线段是、； （3）解：直线上存在其他的点，使为等腰三角形， 当是腰时，以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 当是底时，则作的垂直平分线和的交点即是点的一个位置， 此时． 26．（8分）（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，，点在内，，点在外，．    (1)求证：： (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于常考题型． （1）首先证明是等边三角形，推出，即可解决问题． （2）根据，推出，只要证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 在和中， ， ∴， （2）结论：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 27．（8分）（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）（2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空12题，解答9题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，与相交于点O，下列说法正确的是（   ） A．平分 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，于点D．于点．，交于点．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 8．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 10．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 13．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为______． 14．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 16．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 17．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 18．（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知． (1)用尺规作图作出的垂直平分线，垂足为点，交于点； (2)连接，若，，则___________． 20．（4分）（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 21．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 22．（4分）（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 23．（6分）如图，在中，，点在线段上，连接并延长到，使得，过点作分别交，于点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长度． 24．（6分）（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 25．（8分）（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，是的平分线． (1)求和的度数． (2)写出图中与相等的线段，并说明理由． (3)直线上是否存在其他的点，使为等腰三角形？如果存在，在图中画出所有满足条件的点，并直接写出对应的的度数；如果不存在，请说明理由． 26．（8分）（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，，点在内，，点在外，．    (1)求证：： (2)判断的形状，并说明理由． 27．（8分）（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $