第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 2．等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．17 6．如图，锐角中，点D在边上，．现需在线段上作点P，使得，以下是甲、乙两人的作法： 甲：作的中垂线交于点P，点P即为所求作点； 乙：以C为圆心，长为半径画弧，交于点P（异于点D），点P即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．只有甲正确 D．只有乙正确 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为____． 8．等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_________． 9．如图，在中，，点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）当时，______； （2）当为等腰三角形时，______． 10．把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为_____． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 12．如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则______．    13．已知，是等边的边上的高，是边上的中线，与相交于点P，那么的度数是 ____． 14．在中，若则是______三角形． 15．如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为______． 16．如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 17．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 18．如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 20．（本小题6分）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 21．（本小题6分）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 22．（本小题8分）已知四边形，，． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接． ①求的度数； ②若，，求的长． 23．（本小题8分）已知，，均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，求证：． 24．（本小题8分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 25．（本小题10分）已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 2．等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和与等腰三角形的两个底角相等． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是， ∴其底角为， 故选：． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得出，等量代换可得出的周长为． 【详解】解：∵是是垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 4．如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点在的垂直平分线上，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 平分， ， 又， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， 平分，， 又∵， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ， ， ， 故选：A． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．17 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ， 的周长为10， ， ，即， ， 则的周长为． 6．如图，锐角中，点D在边上，．现需在线段上作点P，使得，以下是甲、乙两人的作法： 甲：作的中垂线交于点P，点P即为所求作点； 乙：以C为圆心，长为半径画弧，交于点P（异于点D），点P即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】设，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形内角和可证明，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰三角形的性质得到，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确． 【详解】解：设， 根据甲的作法得到图1， ∵P点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以甲的作法正确； 根据乙的作法得到图2， ∵， ∴， ∴，所以乙的作法正确． 综上，甲、乙两人的作法都正确． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为____． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，当底边长为时；当腰长为，结合三角形三边关系即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当底边长为时，则腰长为， ∴等腰三角形的三边长为：， ∵，符合题意； 当腰长为时，则底边长为， ∴等腰三角形的三边长为：， ∵，符合题意； 故该等腰三角形的底边长为：或， 故答案为：或． 8．等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_________． 【答案】24 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 【详解】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当是腰时，周长， 故该三角形的周长为， 故答案为：24． 9．如图，在中，，点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）当时，______； （2）当为等腰三角形时，______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与动点问题，涉及了等腰三角形的定义，明确动点的运动初始位置、运动方向和运动速度是解题关键． （1）分别求出即可求解； （2）根据结合为等腰三角形可得即可建立方程求解． 【详解】解：（1）当时， ， 故答案为：12； （2）若为等腰三角形， ， 解得 故答案为： 10．把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为_____． 【答案】/120度 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵等边三角形的两条中线的交点O， ∴， ∴， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：C． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 【答案】17 【分析】连接，由作图过程可知，，，则，，可得，，则．本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：连接． 由作图过程可知，，， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 故答案为：17． 12．如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则______．    【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得，，从而得到，然后根据的周长24，求出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长是， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．已知，是等边的边上的高，是边上的中线，与相交于点P，那么的度数是 ____． 【答案】/60度 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，是等边三角形， ， ． 故答案为：． 14．在中，若则是______三角形． 【答案】等腰 【分析】设，则，根据三角形内角和定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 则， 解得：， ∴， 三个角都是锐角，且有两个内角相等，所以是等腰三角形． 15．如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质：经过旋转的两个图形，不改变其形状和大小．根据题意干旋转的性质得到，接下来利用等腰三角形得性质可得，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 【答案】60 【分析】根据题目中的条件和等边三角形的性质可以得到和全等，从而可以得到，然后根据等边三角形的性质和三角形外角和内角的关系即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，点D，E分别在边，上，且， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为____________． 【答案】5：3：4 【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关键．将绕点B顺时针旋转得到，连结，可证得是等边三角形，从而得到，，所以就是以，，的长度为边长的三角形，进一步求出的内角度数，即得答案． 【详解】将绕点B顺时针旋转得到，连结， 则，，， 是等边三角形， ，， 就是以，，的长度为边长的三角形， ， ， ， ， ， ， ， 以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【答案】13或14 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出的值，再分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 且， ，，                 当x是腰，y是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 当y是腰，x是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 综上，的周长为13或14． 20．（本小题6分）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由余角性质和等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 21．（本小题6分）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，作出关于的对称点，连接即可作出水泵站；作线段的垂直平分线即可作出码头 【详解】解：如图所示，两点的位置即为所求 22．（本小题8分）已知四边形，，． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）设，则，根据等边对等角解题即可； （2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴∴， 故答案为：； （2）①解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴； ②解：作，为垂足， ∵，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题8分）已知，，均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，，再利用证明； （2）根据三角形外角的性质得，由全等三角形的性质得，再根据是的外角，利用三角形外角的性质求解； （3）分析条件可知，结合图形的形状可以猜想为等边三角形， 若为等边三角形，即可通过“内错角相等，两直线平行”的方法证明，本题的问题转化为如何证明为等边三角形，利用第（1）小题中的全等三角形可以证明与全等，得到，这样就证明了为等边三角形，进而容易证明． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ； （2）解：是的外角， ， ， ， ， ； （3）证明：∵，均为等边三角形， ∴，，即， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在与中： ， ∴， ∴， ∵且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题8分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 25．（本小题10分）已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②或，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）①如图，连接，由（1）得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； ②分两种情况讨论：当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点在点右侧时，，同理可证．于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分； （2）①证明：如图，连接，， 由（1）得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线； ②或． 理由：分两种情况讨论： Ⅰ如图所示，当点在点左侧时，， 延长到，使得，连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； Ⅱ如备用图2所示，当点在点右侧时，， 同理可证． 综上所述，，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $