2026年内蒙鄂伦春自治旗九年级初中毕业生学业水平考试数学试题

**基本信息** 以现实情境与文化传承为载体，融合空间观念、数据意识与模型观念，梯度覆盖初中数学核心知识，适配一模综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三视图、平行线性质、反比例函数、图形变换|光线折射实验考查平行线性质，体现数学眼光| |填空题|4/12|科学记数法、解直角三角形、动态几何|北斗卫星误差数据考查科学记数法，关联科技前沿| |解答题|6/64|统计与概率、几何综合、二次函数应用|奶皮子调查结合统计分析，传承民族文化；拱形彩灯门问题考查二次函数建模，发展应用意识|

答案 1、 选择 1. C 2.B 3.B 4.B 5. A 6.C 7.A 8.C 2、 填空 9. x≥1,且x≠2 10. 11. 1.2 12. 3、 解答题 13. （1）解：原式=------------3分 =5- --------------------2分 （2） 解：原式=----------- 2分 =--------------------------1分 由，得a=±2 a-2≠0 所以a=-2-----------------1分 代入原式=---------------------1分 14.解：（1）6 1.5 ---------------2分 （2）函数关系式： y = 6 + 1.5(x - 1) y = 1.5x + 4.5 ----------- 1分 1m = 100cm，令y = 100： 1.5x + 4.5 = 100 1.5x = 95.5 x = 95.5 ÷ 1.5 =----------1分 ∵碗的个数x必须是整数，∴这摞碗的高度不能是1m。--------1分 （3）解：1.5m = 150cm，根据题意： 1.5x + 4.5 ≥ 150----------------1分 1.5x ≥ 145.5 x ≥ 97-------------------------1分 每个碗2元，所以至少需要： 97 × 2 = 194（元） 答：买这摞碗至少需要194元。-------------1分 14. （1）m=92,n=93-------------2分 450×=45（人） 答：估计甲店450名顾客中D等级的人数为45人-------2分 （2）方法一：从中位数分析 甲店评分的中位数是89，乙店评分的中位数是92。 因为92 > 89，说明乙店一半以上顾客的评分高于92分，甲店一半以上顾客的评分高于89分， 所以乙家店铺的奶皮子糖葫芦更受市民喜爱。-------------------2分 方法二：从众数分析 甲店评分的众数是94，乙店评分的众数是93。 因为94 > 93，说明甲店顾客评分中94分出现的次数最多，比乙店的众数高， 所以甲家店铺的奶皮子糖葫芦更受市民喜爱。（两种方法任选一种作答即可） （3） 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好聘用一男一女的结果有8种： 所以概率P =-------------------4分 16.（1）猜想：DE = D'E--------------1分 证明：连接 CE。 ∵ 矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转得到矩形 A'B'CD'， ∴ CD = CD'，∠D = ∠D' = 90°。 又∵ CE = CE（公共边）， ∴ Rt△CDE ≌ Rt△CD'E（HL）， ∴ DE = D'E。---------------------------3分 （2）证明： ∵ 矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 A'B'CD'， ∴ A'C = BD，CD= DC，∠A'B'C = ∠DCB= 90°， ∴ Rt△CDB ≌ Rt△DCA' ∴BC=A'D --------------------------- 2分 ∵ 矩形 ABCD 中，AD ∥ BC，-------------1分 ∴ A'D ∥ BC 且 A'D = BC， ∴ 四边形 A'DBC 是平行四边形---------------1分 （3）A'D 的值为 1 ------------2分 或 9 ---------------2分 17.（1）证明：过点O作OF⊥AB，垂足为F。 ∵ AO平分∠BAC，∠ACB=90°，OC⊥AC，OF⊥AB ∴ OF=OC ----------------------2分 ∵ OC是⊙O的半径， ∴ OF也是⊙O的半径，且OF⊥AB， ∴ AB是⊙O的切线。------------------2分 （2）证明： ∵ ED是⊙O的直径， ∴ ∠ECD=90° ∴ ∠OCE + ∠OCD = 90°。 又∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠OCE + ∠ACE = 90°， ∴ ∠ACE = ∠OCD。----------------2分 ∵ OC=OD， ∴ ∠OCD=∠D， ∴ ∠ACE=∠D。-----------------1分 又∵ ∠A=∠A（公共角）， ∴ △ACE∽△ADC ----------------1分 （3）设AE=x， ∵ ∴ AC=2x。 ∵ ⊙O半径为6 ∴ ED=12，AD=AE+ED=x+12。--------------1分 由△ACE∽△ADC，得： AE：AC = AC：AD 即 x：(2x) = 2x：(x+12)----------------1分 解得：x=4 ∴ AC=2x=8。--------------- 1分 在Rt△ACO中，∠ACO=90°，OC=6，AC=8， ∴ tan∠OAC = ---------------------1分 18.解：（1）根据题意：BC长12米，O是BC中点，所以B点坐标(-6,0)，C点坐标(6,0)；OM长7米，所以抛物线最高点M的坐标(0,7)； AB长3米，所以A点坐标(-6,3) ---------1分 设抛物线的表达式为y = ax² + 7，把A(-6,3)代入： 3 = a×(-6)² + 7 3 = 36a + 7 36a = -4 a = - --------------------2分 所以抛物线的函数表达式是：y = - x² + 7 ------1分 （2）设E点坐标(-t,0)（t>0），由对称性可知H点坐标(t,0)， 则F点坐标(-t, - t² + 7)，G点坐标(t, - t² + 7) EF和GH的长度都是(- t² + 7)，FG的长度是2t----------1分 三根支撑杆的总长度L = 2(- t² + 7) + 2t = - t² + 2t + 14-------2分 ∵a= - <0 ，∴总长度L有最大值 L最大值 = ∴支撑杆长度和的最大值是18.5米（或米）------------------1分 （3）把y=4代入y = - x² + 7 - x² + 7 = 4 x² = 27 x = ±3≈ ±5.19----------------2分 ∴悬挂灯笼的水平范围在-5.19米到5.19米之间，总长度约10.38米。 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以挂11个灯笼-----1分 悬挂方案：以O为中心，在x=-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼---------1分  学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 鄂伦春自治旗2026年初中毕业生水平考试模拟卷2 数 学 1、 选择题（下列各题的选项中只有一个正确。共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是某物体对应几何体的三视图，则最符合该三视图的物体应是（　）         A B   C D 2.在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（   ） 3题图 A． B． C． D． 3.如图，∠MON=60，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于A,B两点，再分别以A,B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC,BC，则tan∠BCO的值为（ ） 4.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） 5题图 A． 4 B．5 C．10 D．20 5.如上图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（     ） A． 平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 6.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7.现有甲，乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,1的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同)。若小明分别从甲，乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成"德"字读音的概率是 ( ) A. B. C. D. 8 .如图，在Rt△ABC中，∠B=90º，点D,E分别在边AB和BC上，AD=8,连接DE,M,N分别是AC,DE的中点，连接MN，且MN=5，则CE的长为( ) A．4 B．5 C. 6 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题（本题4个小题，每小题3分，共12分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_____。 10.北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星导航系统，它能提供定位服务、导航服务和高精度的授时功能，北斗卫星导航系统的授时精度非常高，每秒的误差不超过秒，数据用科学记数法可表示为 。 11.某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，如图，已知扫描仪(线段AB)的竖直高度为2.7米，某人(线段CD)身高为1.8米，只有当∠CAB=53º时，那么该人与扫描仪的水平距离为 米(精确到0.1米)(备用数据：sin53º⋍0.8, cos53º⋍0.6, tan53º⋍1.33)。 12.如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 。 三、解答题（本题6个小题，共64分） 13．计算：（本题满分10分） （1） （2）先化简，再求值：，其中a满足。 14.（本小题满分8分） 如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题。 (1)最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． (2)求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是。 (3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 15（本小题满分10分） 奶皮子是蒙古族的传统美食，以其浓郁的奶香和软糯的口感著称。将奶皮子与传统的冰糖葫芦结合，不仅保留了奶皮子的醇厚奶香，还融入了冰糖葫芦的酸甜爽口，形成了独特的草原风味。某实践小组为了解市民对甲，乙两家店铺奶皮子糖葫芦的喜爱程度，从甲，乙两家店铺的顾客中各随机抽取10名进行喜爱程度调查，并进行评分(百分制，分数x分成四个等级：A:80≤x<85;B:85≤x<90;C:90≤x<95;D:95≤x≤100)，对数据进行整理和分析，并将调查结果绘制成如下统计图表，其中乙店C等级的评分是： 91,93,93,93,93 根据以上信息，回答下列问题： (1)m=_ , n= ；请你估计一天内进入甲店的450名顾客中喜爱程度评分在D等级的人数； (2)请你从中位数或众数的角度分析甲，乙两家店铺售卖的奶皮子糖葫芦，哪家更受市民喜爱? (3)五一期间，甲店想招聘两位临时工，现有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求甲店恰好聘用一名男生和一名女生的概率。 16.（本小题满分12分） 【综合与探究】 问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，D′，设直线与直线交于点E。 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明。 （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形。 问题解决： （3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请直接写出的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17.（本小题满分12分） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º,AO是∠ABC的角平分线，以O为圆心， OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D。 (1)求证：AB是⊙O的切线。 (2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC。 (3)若 0,⊙O的半径为6，求tan∠OAC。 18.（本小题满分12分） 如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中BC=12m,OM=7m,AB=3m,O为的中点。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于4m，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1m，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多。（参考数据：） 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $