2026年中考数学三轮押题07：圆（全国通用）

**基本信息** 以圆的核心性质为基础，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的递进训练体系，覆盖中考全难度梯度，发展几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的基本性质|8题|选择/填空/解答，结合生活情境（筒车）|垂径定理、圆周角定理为逻辑起点，构建圆的性质应用框架| |切线的判定与性质|7题|解答题为主，证切线+计算|基于半径与垂直关系，衔接全等/相似推理| |弧长与扇形面积|10题|公式计算与割补法，含圆锥模型|由圆的性质推导弧长/面积公式，体现几何度量逻辑| |圆与三角形/四边形综合|10题|压轴题，结合隐圆最值与动态问题|整合前三者知识，形成几何综合推理链，发展空间观念与推理能力|

■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题07：圆 》》》分 押题依据 猜押考点 2025年考查省份 考情分析 押题依据 全国所有省份（必考）：北京、 基础+中档题，选择/填空/ 平面几何核心基 圆的基本 天津、河北、山西、内蒙古、辽 解答，5-8分；垂径定理考弦长、 础，圆综合题解题 宁、吉林、黑龙江、上海、江苏 性质（垂 半径、弦心距计算；圆周角定理考 关键；命题侧重性 浙江、安徽、福建、江西、山东、 径定理、 角的转化、直径所对圆周角为直角；质直接应用与简 圆心角/ 河南、湖北、湖南、广东、广西、 圆周角) 海南、重庆、四川小、贵州、云南、 2025重点：圆周角与圆心角关系、 单推理，是几何中 垂径定理与勾股定理结合、圆内接 档题高频命题 西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、 四边形对角互补。 新疆 点。 中档+压轴题，解答题必考， 全国所有省份（必考）：江苏、 6-10分；判定：连半径证垂直、 圆核心高频考 浙江、广东、山东、河南、河北、作垂直证半径；性质：切线垂直于 点，中考解答题必 切线的判 四川、重庆、湖北、湖南、安徽、过切点半径、切线长定理；2025重 考；命题结构稳定， 定与性质 第一问证切线，第 福建、陕西、山西、贵州、广西、 点：切线证明+线段计算、切线 北京、上海 与相似/三角函数结合、切线长 二问求长度/角 度，区分度高。 定理应用。 全国所有省份（高频）：江苏、 中考基础得分 基础题，选择/填空，3-5分： 弧长与扇 浙江、广东、山东、河南、河北、考查弧长公式、扇形面积公式： 点，公式固定易掌 形面积计 四川、重庆、湖北、湖南、安徽、2025重点：直接公式计算、阴影 握；常结合实际情 算 境（如扇形零件、 福建、陕西、山西、贵州、广西、 面积（割补法）、圆锥侧面积与底 圆锥模型)考查， 北京、上海 面半径关系。 难度低、分值稳。 压轴题，解答压轴，10-16分： 中考几何压轴核 全国所有省份（高频）：江苏、 圆与三角 考查圆与全等/相似、等腰/直 心载体，综合度高； 浙江、广东、山东、河南、河北、 形/四 2025真题高频， 四川、重庆、湖北、湖南、安徽、 角三角形、特殊四边形结合；2025 边形综合 福建、陕西、山西、贵州、广西、 侧重：圆内接四边形+相似、切 重模型识别、辅助 线+三角函数、直径+直角三角 线构造与数形结 北京、上海 形、隐圆最值问题。 合能力。 》》》 押题预测 题型一、圆的基本性质（垂径定理、圆心角/圆周角) 1.(2026广东珠海模拟预测)如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动 ■■■ 人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心 的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为 2m,则筒车的半径是() D 水面4 图1 图2 A.4m B.5m C.6m D.7m 【答案】B 【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E,如图， 水面4 E B :.4E=BE=4B=1x8=4(m), 由题意得，DE=2m, 设半径为r,则0E=r-2, 在Rt△AE0中，A02=AE2+0E2, r2=42+(r-22, 解得：r=5m, .圆的半径为5m. 2.(2026四川泸州二模)如图，CD是00的弦，过圆心0作0A⊥CD于点H,交⊙0于点 A,OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则tan/CMD的值是() 4 B 2 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A.5 4 B. 3-5 C. 3 D. 3 4 【答案】C 【详解】解：如图，连接OD, M B CD是00的弦，OA⊥CD, A :AC=AD, .∠COA=∠DOA, :∠c0A=1∠c0D, 2 :∠CMD=∠CoD, .ZCMD=ZCOA, 由0H:HA=3:2,设0H=3x,HA=2x, 0A=0C=5x, CH=VOC2-0H=V5x)2-(3x)2=4x, CH 4x 4 ∴.tan∠COA= OH 3x 3' 4 :tan∠CMD=tan∠COA=3 3.(2026甘肃定西·三模)如图，CD是O0的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠B0C=() A.45° B.60° C.70 D.75° 【答案】B 解】解连接BD,如图： :CD是OO的直径，AB是弦，AB⊥CD, .AC=BC, :∠BDC=∠ADC=30° ∠B0C=2LBDC=60°. 4.(2026江苏南通一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB,若∠B0C=50°，则∠BAD的度数是() B A.350 B.30° C.25° D.20° 【答案】C 【详解】解：如图，连接OD, :弦CD⊥AB, B .∠BOD=∠BOC=50°， 由圆月角定理得：∠B4D=B0D=259 5.(2026河北沧州一模)己知⊙0是△ABC的外接圆，且AB=AC,要求仅用直尺作出圆周角∠BPC的 平分线， 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接AP,PA即为∠BPC的平分线.” 淇淇说：“对于图2的情况，A0的延长线与O0交于点Q,连接P2,PQ即为∠BPC的平分线.” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是() 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 图1 图2 A.只有嘉嘉说的对 B.只有淇淇说的对 C.嘉嘉和淇淇说的都对 D.嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【详解】解：如图1， :OO是△ABC的外接圆，且AB=AC, AB =AC. :∠BPA=∠CPA,即PA为∠BPC的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接OB,OC,如下图， B Q 0A=0A,0B=OC,AB=AC, :△0AB≌a0AC(SSS), .∠0AB=∠0AC, 又：AB=AC, .AO L BC, :00为00半径， .BO CO, .∠BPQ=∠CPQ,即P2为∠BPC的平分线，故淇淇说的也对. 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对， 6.(2026江苏南京·一模)如图，在扇形0AB中，点C在AB上，连接0C,AC,BC,LACB=132°.若 ∠B0C=2LA0C,则Ac的度数为() ■ B C A.16° B.24° C.32° D.36° 【答案】C 【详解】解：：AO=OC,OC=OB, :∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC, .∠ACB=∠OCA+LOCB=∠OAC+∠0BC, :∠A0B+∠0AC+∠0BC+∠ACB=360°， .∠A0B+2∠ACB=360°， .∠A0B=360°-2∠ACB=96°， :∠B0C=2LA0C, 1 ∠AOC=∠AOB=32°. 则Ac的度数为32°. 7.(2026安徽宣城二模)如图，在⊙0中，AB是00的弦，⊙0的半径为2，C为⊙0上一点， ∠ACB=60°，则AB的长为() B C A.2V5 B.3 C.22 D.4 【答案】A 【详解】解：连接OA、OB,过O作OD⊥AB于D, 6 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ B ∠ACB=60°，∠AOB是AB所对的圆心角， C ·∠A0B=2∠ACB=120°. :0A=0B=2, OD⊥AB, :AD=DB=AB,且OD平分∠AOB, ∠A0D=60°， 在Ra40D中，AD=0A:sin60=2x5=5, 2 ·AB=2AD=25. 8.(2026河南许昌·二模)公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影 响的如下问题：如图，AB为OO的直径，过圆心O作OC⊥AB,交⊙0于点C,以C为圆心，CA为半径作 AB,若S。ABc=4,则阴影部分的面积是 B 【答案】4 【详解】解：：AB为⊙0的直径， ∠ACB=90°. 设⊙0的半径为r, S。A8c=4, 、 ×2r×r=4,解得r=2, .AC =2r=2v2, So0=元×22=4，S第形4CB= 0m×(2√2) =2π 360 7 S影=)So0+S,ABc-S形4CB=2T+4-2=4. 2 9.(2026江苏南京·一模)如图，在ABCD中，E是CD边上一点，连接AE.OO是ADE的外接圆， 且与BC边相切于点P,连接AP,DP,EP. B (I)求证：△APE∽△DCP; (2)若O0的半径为5，AD=8,PC=2,求AE的长. 【答案】(1)见解析 (2)AE=40v17 17 【详解】(1)解：：PE=PE ∠PDC=∠EAP :四边形ABCD是平行四边形 AD∥BC .∠ADP=∠DPC 又：AP=AP ∠ADP=∠AEP ∠DPC=∠AEP .△APE∽△DCP; (2)解：如图，连接PO并延长交AD于点F,连接AO,过点A作AG⊥BC A B G :⊙0与BC相切于点P, .OP⊥BC, ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, OF⊥AD, 又：AG⊥BC ∠AGP=∠GPF=∠PFA=90° :四边形AGPF是矩形， OF⊥AD, ·AF=FD= 2AD=4, .PC=2,GP=AF=4 BG=BC-GP-PC=8-4-2=2, 在RtAF0中，F0=VA02-AF2=3, .PF=OF+OP=3+5=8,AG=PF=8 在RteAPF中，AP=VPF2+AF2=V⑧2+42=4√5， 在Rt△ABG中，CD=AB=VAG2+BG2=V82+22=2V7, :△APE∽△DCP :迟、AE DC DP 4V5 AE “2174w5 解得：AE=40v7 17 10.(2026广东汕头一模)如图1，ABC内接于00，AB=AC=5,BC=6. B B B 0。 图1 图2 图3 (1)求00的半径； (2)如图2，点D在O0,连接AD,交BC于点E,若AD=6,求BE的长； 9 ■■■ ■ (3)如图3，在(2)的条件下，点F在AC上，点C关于EF的对称点C落在AD上，连接CC',并延长交 AB于点G,求AG的长. 【答1爱 暗 ③)AG= 5 【详解】(1)解：如图，连接A0,并延长交BC于点D,连接OC, B D C .AB=AC=5, :AB=AC. :AD⊥BC,BD=CD=BC=3, 在Rt△ACD中，AD=VAC2-CD2=4, 设半径为r,则0A=0C=r, .0D=4-r, OD2+CD2=OC2, (4-r2+9=r2, 解得，=2 , 故⊙0的半径为宁。 (2)解：如图，连接BD, B A .AB=AC=5, ∠ABC=LACB, 10 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :AB=AB. ∠ACB=∠ADB, .∠ABC=LADB, :∠BAE=∠DAB, △ABE∽△ADB, :AB、AE ·ADAB AE=AB 25 AD 6 DE=AD-AE=11. 6 设BE=x,则CE=6-x, CD=CD, ∠DBE=∠CAE, :∠ADB=∠ACB, △BDE-△ACE, 11 2器 6-x-25' 6 解得：x= 25.11 6=6 由图可知BE>CE, E张为受 (3)解：由(2)可知4E=BE=25 ∠ABE=∠BAE=180°-∠AEB 2 由对称性可知：∠CEF=∠CEF=180°-∠AEB 2 .∠BAE=∠C'EF, EF∥AB, :EF⊥CG, CG⊥AB, 设AG=x,则BG=5-x, 11 ■飞 在RtABCG中，CG2=BC2-BG, 在RtAACG中，CG=AC2-AG, .BC2-BG2=AC2-AG2, 36-(5-x)=25-x2, 写即0子 题型二、切线的判定与性质 11.(2026安微阜阳·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AD,CD上，且 AE=DF,BE与AF相交于点G,连接CG,DG,EF,则下列结论错误的是() A.EF的最小值为2√2 B.CG的最小值为22 C.DG的最小值为2√5-2 D.当∠BCG最大时，AF=3V2 【答案】D 【详解】解：“四边形ABCD是正方形， ·AB=BC=CD=AD=4.∠D=∠BAD=90°. 设AE=DF=x,则ED=4-x. 在RtAEDF中，EF2=ED2+DF2=(4-x2+x2=2x-22+8. 2x-22≥0， 2(x-22+8≥8， 当x=2时，EF2的值最小，EF2=8, :EF的最小值为2√2，故A正确，不符合题意； 在△BAE和△ADF中， AE=DF ∠BAE=∠ADF BA=AD 12 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 ∴△BAE≌△ADF(SAS, ·∠ABE=∠DAF. :∠DAF+∠BAG=90°， ·∠ABE+∠BAG=90°， :∠AGB=90°， 如图，取AB的中点O,即点G在以点O为圆心，2为半径圆上， D B 当G为G位置，即正方形ABCD对角线交点位置时，CG的值最小， :CG的最小值为2√2，故B正确，不符合题意； 如图所示， D G :∠AGB=90°，点O为线段AB的中点， :0G=4B=2, 由勾股定理得0D=√AD2+0A2=2V5, 当点O,G,D在同一条直线上时，DG可取最小值， 即点G与点G重合时，DG的值最小， DG的最小值为0D-0G1=2V5-2.故C正确，不符合题意： 当CG与O0相切时，∠BCG最大. ·∠ABC=90°，OB是⊙0的半径， 13 ■了 :BC是⊙0的切线， :CG=BC=4. 连接OC,交BE于点M. CG=BC=4,OG=OB=AB=2, 2 :OC垂直平分BG, :∠BMC=90°， ∠MBC+∠MCB=∠MBC+∠ABE=90°， ·∠MCB=∠ABE. :∠BAE=∠ABC,AB=BC=4, ∴△ABE≌△BCO(ASA), ·AE=OB=2. DF=AE=2, :∠ADF=90°，AD=4, AF=√AD2+DF2=2V5,故D错误，符合题意。 12.(2026陕西西安模拟预测)如图，在△ABF中，AB=AF,AC⊥BF于点C,O为AC上一点，以点 O为圆心，OC为半径的OO与AB相切于点E,点D为AB的中点，连接CD,OD, ED (I)求证：AF是00的切线； (2)若BC=6,CD=5,求0D的长. 【答案】()见解析 (2)V10 【详解】(1)证明：连接OE,过O作0G⊥AF于点G,如下图： 14 之 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 F G ED B :AB切OO于点E,OE为半径， OE⊥AB于E, :AB=AF,AC⊥BF, AC平分∠BAF, 0E=0G, ∴.O到AF的距离0G等于半径OE, .AF是⊙O的切线： (2)解：：AC⊥BF, .∠ACB=90°， 在RtAACB中，∠ACB=90°，D为AB的中点， CD=1AB=AD=5, 2 .AB=10, :在RtaACB中，AC=√AB2-BC2=8, :OE⊥AB,AC⊥BF, ∠0EA=LACB=90°， ·tan∠CAB=CB=OE6.3 AC AE 8 4' 设0E=3x,AE=4x,则A0=5x, 0C=8-5x, 0C=0E, .8-5x=3x, x=1, ∴OE=3,AE=4, ED=AD-AE=5-4=1, 15 .在Rt0ED中，0D=V0E2+ED2=V10. 13.(2026湖北随州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的O0交AB于点D,过点 O作OE II AB交AC于点E,连接DE. B (1I)求证：DE是OO的切线； 1 (2)若DE=4, anA=2求BD的长. 【答案】(1)见解析 24vV5 5 【详解】(1)证明：连接0D,如图， :OE∥AB, .∠C0E=∠B,∠D0E=∠ODB, :BC是OO的直径，OO交AB于点D, 0C=0B=0D, LB=∠ODB, ∠C0E=∠D0E, 在△COE和△DOE中， OC=OD ∠COE=∠DOE, OE=OE 16 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ △COE≌△DOE(SAS), ∴.∠OCE=∠ODE, :∠ACB=90°， ∠ODE=∠ACB=90°， .OD⊥DE, :0D是00的半径， DE是⊙O的切线. (2)解：连接CD, :∠ACB=90°且点E在AC上， B CE⊥OC, :0C是⊙0的半径， CE是OO的切线， :DE也是⊙O的切线， :CE DE=4, :OE∥AB, :ZCEO=ZA, tan∠CEO=tanA=} 在RECO中， :tan∠CEo= oc CE 2, 1 ∴.OC=CE.tan∠CEO=4x 则BC=2C0=4, :BC是O0的直径， 17 ■■■ ■ .∠CDB=90°， 则∠DCB+∠B=90°， :∠A+∠B=90°， ∠DCB=LA, 则tan∠DCB=tanA=, 即BD、1 CD-2' 设BD=x,CD=2x,则 x2+(2x)2=42, 解得：x=4⑤ 即BD的长是4 5 14.(2026山东临沂二模)如图，口ABCD的顶点A,B,D在OO上，边BC与⊙0相切于点B,对角线 AC经过圆心O,与⊙O交于点E,连接DE,BO. D B (I)求证：CD是O0的切线： (2)若⊙0的半径为4，求口ABCD的面积. 【答案】(1)见解析 (2)24V5 【详解】(1)证明：连接0D, D E :ABCD中，AD=BC,AD‖BC, .∠DAE=∠BCO, 18 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 :对角线AC经过圆心O,即AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， :BC与OO相切于点B, .∠CB0=90°， ∴∠ADE=∠CBO=90°， .△ADE≌ACBO(ASA), .OB =DE, :0D=0B=0E, ..OD=DE =0E, ∴△OED是等边三角形， ∴.∠0DE=∠0ED=60°， :OA=OD,∠D0E=∠DAE+∠AD0=60°， ∠DAE=∠AD0=30°， .∠BC0=∠DAE=30°， 0A=0B, .∠OAB=∠OBA, :△ADE≌△CB0, .∠B0C=∠AED=60°， .∠0AB+∠0BA=∠B0C=60°，即∠0AB=L0BA=30°， :ABCD中，CDI‖AB, .∠DCA=∠0AB=30°， :∠DCA+∠CDE=∠0ED=60°， ∠CDE=30°， ∴∠CD0=∠CDE+∠0DE=90°， CD是O0的切线； (2)解：由(1)知LDAC=∠DCA=30°，∠CD0=90° .AD=CD, 四边形ABCD是菱形， :0D=4, 19 .i.CD=_ OD 4 =45, tan∠CA tan30° :AB BC=43, 过点C作CG⊥AB交AB延长线于点G, D E B G CDI AB, .∠CBG=∠DCB, 由(1)知∠DCA=∠BCA=30°， .LCBG=LDCB=∠DCA+∠BCD=60°， .CG=BC[sin∠CBG=4V3sin60°=6， :.ABCD的面积为ABCG=4V5×6=24√5. 15.(2026河南郑州一模)如图，0为菱形ABCD的对角线AC上一点，以点0为圆心，OA长为半径的 ⊙0与BC相切于点M, D B M (1)比较大小：∠ACB ∠ACD(填>、<或=)； (2)判断直线CD与O0的位置关系，并说明理由： (3)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，则⊙0的半径为 【答案】(1)= (2)CD与⊙0相切，理由见解析 (3)4V5-6 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， ∠ACB=∠ACD; (2)解：CD与O0相切，理由如下： 20 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 如图所示，过点O作ON⊥CD于点N, :⊙0与BC相切于点M, OM⊥BC, 由(1)可得∠ACB=∠ACD,即AC平分∠BCD, 又：ON⊥CD, 0N=0M, .CD与⊙0相切； (3)解：：四边形ABCD是菱形， .AB=BC, 又：∠ABC=60°， ABC是等边三角形， .AC=AB=2,∠ACB=60°： :以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M, 0M=0A,OM⊥BC, 设0A=0M=x,则0C=AC-0A=2-x, 在R1a0MC中，0M=0c-sn∠0CM=(2-x-sin60°= 2(2-x), Y(2=x)=x 解得x=4v3-6, .0A=43-6,即00的半径为4√3-6. 16.(2026新疆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，过点C的直线交AB的延长线于点 M.作AD⊥MC,垂足为点D,己知AC平分∠MAD. 21 ■ M B (I)求证：MC是⊙0的切线： (2)若AB=BM,MC=2V6,求O0的半径. 【答案】(1)见详解； (2)5. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D :0C=0A, M y B .∠0CA=∠0AC, :AC平分∠MAD, :ZOAC ZDAC, .LOCA=∠DAC, AD∥0C, :∠OCM=∠ADC, :AD⊥MC, :.∠ADC=∠0CM=90°， .0C⊥MC, :0C是⊙0的半径， :MC是⊙0的切线； (2)解：AB=BM,AB是⊙O的直径， :AB BM =20C, 设⊙0的半径0C=r,则0M=3r, :0C⊥MC,MC=2√6， 22 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 由勾股定理得(3r)2-r2=(26, 解得：万=5，乃=-3（舍）， 00的半径为3. 17.(2026陕西榆林二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，BC是直径，点E是BC左侧O0上的一点，连 接CE、BE,延长EB到点D,连接AD,AD是OO的切线，CEI‖AD. O D (I)求证：LEBC=2LACB; (2)若BD=1,AB=√5，求O0的半径长. 【答案】(1)见解析 a 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OA, E BC是⊙O的直径， D A :∠BAC=∠BEC=90°， CE∥AD, ∠D=∠BEC=90°， :AD是O0的切线， 0A⊥AD, 即∠0AD=∠D=90°， .∠0AD+∠D=180°， ..OAll DE, 23 ■ .∠EBC=∠BOA, :∠BOA=2∠ACB, .∠EBC=2LACB; (2)解：：∠0AD=∠BAC=90°， ∠BAD=∠OAC, :0A=0C, ∴.∠OAC=∠ACB, .∠BAD=∠ACB, :∠D=∠BAC=90°， .△ADB∽△CAB, AB BD ·BCAB 即5、1 BC=5' BC=5, 即00的半径长为号 题型三、弧长与扇形面积计算 18.(2O26河北唐山·二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A ,E.若AB=2√3，BC=4,则AE的长为() A B A. 3元 C.2v3 3π D.3π 【答案】C 【详解】解：连接BE, :CD是扇形BAF的切线，切点为E, BE⊥CD. :AD是扇形BAF的切线，切点为A, 24 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ BA⊥AD, :AD∥BC, ∠ABC=90°. 己知AB=25, BE=BA=2√5， .在Rt△BCE中，cOS∠EBC= BE3 BC -2 ∠EBC=30°， :∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-30°=60°， ÷AE的长度为60×π×2V5_25 . 180 3 B F 19.(2026安徽阜阳二模)如图，点A,B,C在⊙0上，且AB为直径，若AB=6,∠B=60°，则AC的 长为() 4π A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【详解】解：如图，连接0C, .∠B=60°， 25 ■■■ 由圆周角定理，可知∠A0C=2∠B=120°， ÷AC=120x6m=2元. 360 20.(2026江苏常州模拟预测)如图，ABC是⊙0的内接三角形，AB=4√3，∠ACB=60°，连接OA, OB,则AB的长是() A等 B. c D. 【答案】D 【详解】解：作OD⊥AB,如下图， B AB=AB,LACB=60°， .∠A0B=2∠ACB=120°， :0A=0B,OD⊥AB, ∠01B=∠0B1=号180-∠08=30,4D-4B=25, 又：OD⊥AB, ∠AD0=90°， .0A=20D, 设0D=x,则0A=2x, 由勾股定理可得，0A=0D2+AD2,即4x2=x2+(23,解得x=2, 则0A=4, AB的长为120m×48 1803 26 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 D选项符合题意 21.(2026广东深圳二模)如图，PA,PB分别切⊙0于点A,B,若∠P=60°，AB的长为10π，则00的 半径为() B A.10 B.15 C.20 D.30 【答案】B 【详解】解：连接OB,OA,如图所示： B :PA,PB分别切OO于点A,B, ∠PA0=∠PB0=90°， :∠P+∠A0B+∠PA0+∠PB0=180°，且∠P=60°， ∠A0B=120°， :AB的长为10π， 120rr=10m, 180 解得：r=15. 22.(2026山西忻州一模)如图，在口ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=45°，以点B为圆心，AB的长为 半径画弧，交BC于点E;再以点C为圆心，CE的长为半径画弧，交CD于点F,则图中阴影部分的面积 为() E A.62-3n 2 B.3V2-3 C.32+3 3 D. 【答案】A 【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H, 27 H E 在RI ABH中，AB=3,∠B=45°， AH=AB.sin45°=3x2_32, 22 :平行四边形面积=底×高，BC=4, :S￥行西0形o=BCAH=4×35-6N2, 2 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD=3,∠C=180°-∠B=135°， 由题意：BE=AB=3,CE=BC-BE=4-3=1,CF=CE=1, 扇形A8E:圆心角∠8=45，半径万=3，S6-45x3-9 3608 扇形ECF:圆心角LC=135°，半径片=1，S扇形cr 135π×12_3元 360-8 S影=S年后1cD-SE4E-S期Ec=6N2-97-3C=6N5-12-6N2-3元 88 8 2 23.(2026山西朔州一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，以点C为圆心，CD的 长为半径画弧，与CB的延长线交于点F,连接AF,以点A为圆心，AF的长为半径画弧，与AD的延长线 交于点E.若AF⊥CF,则线段DE,EF,FD所围成的图形（图中阴影部分）的面积为() E B A.44-24v5B.17x_33 3 C.44r-125 D.17元- 122 3 2 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G,连接DF, 28 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :在平行四边形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°， ∠C=60°，AD∥BC, 又：CD=CF :.CDF是等边三角形， .∠DFC=60°，DF=CD=AB=2 :AF⊥CF, AF⊥AD, .∠AFD=30°，∠BAF=30°， &r-4B=1,4D-0r=1 AF=AB2-BF2=3, :∠DAB=60°，DG⊥AB, i4G-54D-5 2 DG-AD-AG3 2 ∴线段DE,EF,FD所围成的图形（图中阴影部分）的面积为 S泉彩Er+S扇形cDF-SBCD-S。8F 90x5+60×2-2x5-×1x5 360 360 22 =+名-5 4 _17π3V3 122 24.(2026山西阳泉·二模)为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛.花坛设计图如图所示，已 知M,N是O0上两点，以点M,N为圆心画弧，分别与OO交于点C,D,E,F,且直径AB与CD,EF相切于 点0，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪.若AB=10m,则种植草坪的面积为() 29 ■ M N 4. 25m B 25r253m 3 34 C. /100m-25√5m D. m 、3 【答案】D 【详解】解：连接OM,OD,MD,过点O作OH⊥MD, M D B N 则0D=0M=MD=5, .△OMD是等边三角形， .∠D0M=60°，∠D0B=30° MM 2 :0H=5 2 sam-7x5x35-256 1 2 4 :弧MD与线段MD围成的面积为： 60° 元x5255-25元-255 360° 4 6 4 :.弧0D与线段OD围成的面积为： 25.-255 一π一 6 4 :弧OD,弧BD与线段OB围成的面积为 3600*πx52- 30° 6 、255-253-3π 4 = 4 阴影部分的面积为： 120*4=25525 公 30 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 :种植草坪的面积为 2s5-j, 25.(2026山西阳泉·二模)如图，已知ABC,以AB为直径的⊙0与BC相切于点B,交AC于点D.若 ∠C=35°，AB=4,求BD的长（结果保留刀）， C B 【答类】0的长为) 【详解】解：连接OD, B :⊙0与BC相切， :AB⊥BC. ∠ABC=90°. :∠C=35°， ∠A=90°-∠C=55°， :∠BOD是BD所对的圆心角，∠A是BD所对的圆周角， .∠B0D=2∠A=110°. AB=4, 0B=2. …BD的长=110x元×2_11 180 26.(2026河南驻马店·二模)【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三 条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”. 31 D 【问题解决】如图，⊙O是ABC的等弦圆”，AD,AE,FG是⊙0截得的三条弦. (I)求证：A0平分∠BAC. (2)若∠BAC=90°，FG=4,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2元-4 【详解】(1)证明：连接0D,OE,如图所示， D AD=AE, 又：0D=0E,OA=0A, △AOD≌△AOE(SSS), ∠OAD=∠0AE, :A0平分∠BAC. (2)解：由(1)得A0平分∠BAC, .∠BAC=909 ∠0AE=∠BAC=45°， 2 :0A=0E, ∠AE0=∠0AE=45°， .∠A0E=90°， 连接0F,0G,如图所示， D .AE=FG G C 32 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了产 .AE FG, .∠F0G=∠A0E=90°， 0F=0G, :△OFG是等腰直角三角形， 又：FG=4, :0r=5FG=22, .e5m4. 27.(2026湖北随州二模)如图，AB是00的直径，C,D是⊙0上位于AB两侧的两点， LABD=2LBDC,CP⊥DB交DB的延长线于点P,连接AC,BC. D (1)求证：CP是⊙0的切线； (2)若PC=3,PD=3V3,求图中阴影部分（线段PB,PC及BC围成的图形）的面积. 【答案】(1)见解析 ② 2 -2m 【详解】(1)证明：连接0C, 0 B :AB是OO的直径， ∠B0C=2LBDC, :∠ABD=2LBDC, ∠B0C=∠ABD, OC∥DP, CP⊥DB, 33 ■■■ 0C⊥CP, :CP是⊙O的切线. PC 33 2)解：在RIA PCD中，amD=P0353 ∠D=30°， 由(1)知∠B0C=2∠BDC=60°， 又：B0=OC, △BOC为等边三角形， ∠0CB=60°，BC=0C, 'OC⊥CP, ∠PCB=30°， 在RtaPBC中，BC=PC 3 cos∠PCBcos30=2V5, .0C=23,PB=3, .5mm2x3- m×(25_95 360 2 2m 题型四、圆与三角形/四边形综合 28.(2026山东济宁.二模)已知⊙0为ABC的外接圆，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F, 交⊙0于点D.如图，AD为⊙0的直径，若AD=10,BC=6,则OE的长为() D A.2 B.5-V10 C.3 D.5-22 【答案】B 【详解】解：连接OB、BE、BD 34 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 :点E是ABC的内心， AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, :AD为⊙0的直径， :AD L BC,BF=IBC=3. 在Rt△OBF中，OB=三AD=5,BF=3, 0F=V0B2-BF2=52-32=4, DF=0D-0F=5-4=1. 在Rt△BDF中，BD=√BF2+DF2=V32+1P=V0, :∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠DEB=∠DAB+∠ABE, 又：∠DBC=∠DAC=∠DAB,∠CBE=∠ABE, ∴.∠DBE=∠DEB, .DE BD=10, .OE=OD-DE=5-10 29.(2026河南郑州一模)如图，正方形ABCD的对角线交于点O,⊙0为正方形ABCD的外接圆，EF为 ⊙0直径.若EF=1,则图中阴影部分的面积为() D B A.π1 B.π1 816 84 c D68 【答案】D 【详解】解：：⊙O与正方形ABCD均为中心对称图形，且正方形ABCD的对角线交于点O,⊙O为正方形 ABCD的外接圆，EF为OO直径， 35 .S阴影=S号形HEB=S园形40B-S△408， .EF=1, EF=2' 1 ..OA=OB=OE= :正方形ABCD的对角线交于点O, .∠A0B=90°， iSe-5s=5eam-Saa- 901)2111_元1 -π 360 2222168 “图中阴影部分的面积为亚-1」 168 30.(2026安微阜阳·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点G是平面内的一动点，且DG=2,F是 BG的中点，E是BC上一动点，连接AE,EF,则AE+EF的最小值为() D E B A.310-1 B.3V5-3 C.9 D.6√2-3 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AB=6, :连接AC、BD交于点O, G :点O为BD的中点. H ≥M DG=2, :点G的轨迹是以点D为圆心，2为半径的圆. :O是BD的中点，F是BG的中点， ·连接OF, OF是△BDG的中位线. 5 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ :.OF=-DG, 2 .0F=1, ·点F的轨迹是以点O为圆心，1为半径的圆 作点A关于BC的对称点M,连接ME,BM,OM, :AE=ME, :AE+EF=ME+EF :当点O,F,E,M在同一直线上时，AE+EF=ME+EF取得最小值，为OM-OF的长， 过点O作OH⊥AB于点H, :O是正方形对角线的交点， OH=3,BH=3. “点M与点A关于BC对称， MB=AB=6,∠MBE=∠ABE=90°， 点A,B,M三点共线， :MH MB+BH =9. :在RtOHM中， 0M=V0H2+MH2=V32+92=310. .ME+EF的最小值为OM-OF, :AE+EF的最小值为30-1. 31,(2026四川广元二模)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，AC=AB,若CD=3, BC=4,则四边形ABCD的面积 D B 【答案】11 【详解】解：：在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°， A、B、C、D四点共圆， 设圆心为O,则点O是BD的中点 37 ■飞 如图，连接BD,则BD为OO的直径， B 在Rt△BCD中，CD=3,BC=4, BD =CD2+BC2=5, 过点A作AE⊥BC于点E, AC=AB, G.CE-E=BC-2 连接OE,则OE⊥BC, A、O、E共线， .OR=0B-BE :40=B0=2 ∴.AE=A0+0E=4, AB=V√AE2+BE2=2V5, :AD=BD2 -AB2=5, Sn边50=S4n+SD=)AD.AB+)CD-BC=)×V5×2W5+×3×4=5+6=11. 2 2 2 32.(2026重庆南岸模拟预测)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB=AC,若00的半径为5，BC=6, 则AB= ,以AB、BC为边作平行四边形ABCD,CD与OO相交于点E,连接AE,过点B作AC 的垂线交AC于点F,交CD于点G,则EG= D G 38 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 【答案】 3v10 2110 20 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC,延长OA交BC于点M,则0A=OB=OC=5, 4 AB=AC,OB=OC, AM垂直平分BC, “BM=CM=BC=3, :在Rta0MB中，0M=V0B2-BM2=4, AM=9, :在RtAAMB中，AB=VAM2+BM2=3V10; :四边形ABCE是OO的内接四边形， .∠ABC+∠AEC=180°， :∠AEC+∠AED=180°， ∴.∠ABC=∠AED, :四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=∠D,BC=AD=6,AB=CD=310,AB∥CD, ∴∠D=∠AED, :AD=AE BC=6, AB=AC=310, :∠ABC=∠ACB=∠AED=∠D, △ABCn△AED, AB BC AE DE .3V106 6 DE DE=6v10 CE=CD-DE=310-6110910 5 5 39 ■■■ ■ BG⊥AC, ∠BFC=90°=∠AMC, 又：∠BCF=LACM, ∴△BCF∽△ACM, BC CF AC CM' 6 CF 3103, ..cF=310 AF=AC-CF=3V0-30_120 5 5 :AB∥CD, AABF△CGF, .AB AF CG CF' 12v10 :30 5。, CG 3v10 5 ..CG=310 4 EG=CE-cG=9i03i而21V0 5 4 20 33.(2026河南周口二模)如图，在ABC中，BC=4,以CA为直径的⊙0交AB于点F,⊙0的切线 FE与CB相交于点E.若AF=BF,LEFB=30°，则AF的长为· 【跨案】 【详解】解：如图，连接CF,连接OF, E B 40 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :AC是00的直径， ∠AFC=∠CFB=90°，即CF⊥AB, 又：AF=BF, :CF是AB的垂直平分线， .AC BC=4, :FE是OO的切线， OF⊥FE,即LOFE=90°， :∠EFB=30°， ∠0FA=180°-∠0FE-∠EFB=180°-90°-30°=60°， 又：0A=0F, :△OAF是等边三角形， ∠A0F=60°， AC=4, :00的半径r=4C=2, 2 :1.=mm=60x元×2_2元 4A1801803 34.(2026浙江杭州一模)已知，如图①，AB是⊙0的直径，AC=CD=DB,点E是AB上一动点（点E 与点C在直径AB的两侧，且点E不与A,B重合)，连接BC,连接EC交AB于点F,连接ED分别交 AB,BC于点G,H. E G F G B B 0 H H D D 图① 图② (I)求证：△CEH∽aCBF. (2)试问：在点E在运动过程中，CF:DH的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由. 6)如图②，连接EA,EB,求证：2EC-EB-V5, EA 【答案】（①）见解析 (2)不会；V5 3)见解析 【详解】(1)证明：：AC=CD, ∠E=∠B, 又∠ECH=∠BCF, ∴.△CEH∽△CBF: (2)解：不会变化， 如图，连接AC,BD, G B D AC=CD=DB, ∠BAC=2∠ABC,AC=DB, AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， .∠BAC+2∠ABC=3∠ABC=90°， ∠ABC=30°，∠BAC=60°， :tan∠BAC=an60°=BC-5, AC ∠BCE=∠BDE,∠ABC=∠CBD, △DBHACBF, CFBC=BC=3: ·DH DB AC (3)证明：如图②，延长BE至M,使得ME=√3EA,连接AM,AC,则√3EA+EB=MB, 名 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ E F G 图② :AB是直径， LAEB=90°， ∠AEM=90°， tanM EA3 ∠M=30°， :∠ACE=∠ABE,∠AEC=∠ABC=30°=∠M, .△MBA∽△ECA, MB AB EC AC 在RtABC中，∠ABC=30°， .AB =2AC, MB AB EC AC =2, .MB=2EC 即2EC=BM=V3EA+EB, ..2EC-EB-5 EA 35.(2026安徽芜湖·二模)如图，在ABC中，点0在边AB上，以点0为圆心的00分别与边AC相切 于点A,与边BC相切于点D,过点O作OE⊥AB,与BC交于点E. B D E (I)求证：OE=CE. 43 ■■■ ■了 (②)若O0的半径为4，AC=8,求BE的长. 【答案】()见解析 (②BE=25 3 【详解】(1)证明：如图，连接0C,OD, :⊙O与边AC相切于点A,与边BC相切于点D, D E ∴.∠0AC=∠0DC=90°，0A=OD, CO平分∠ACD,即∠AC0=∠DC0, 又：OE⊥AB, .OE‖AC, .∠ACO=∠EOC, ∠E0C=LDC0, :0E CE (2)解：：AC,CD均为O0的切线， .CD=AC=8. 设OE=CE=x. 在Rt△0DE中，OE2=OD2+DE2,即x2=42+(8-x), 解得x=5, DE=CD-CE=8-5=3. .∠BEO=∠OED,∠BOE=∠ODE=90°， .△B0 EAODE, OE BE DE OE 5BE 35 解得BE=25 36.(2026云南大理一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上 一点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交⊙O于 点F,设⊙0的半径为r. 44 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ D (I)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是00的切线： (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出一 个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF,PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)LABC=60 (2)见解析 (3)存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由见解析 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， :∠BAC=30°， :∠ABC=90°-∠BAC=60°； (2)证明：连接0C, D :AD⊥PC, ∠ADP=90°， :0A=0C, .∠0AC=∠0CA, :AC平分∠PAD, .∠CAD=∠CAP, .∠CAD=∠OCA, ..OCI AD, :∠ADP=90°， 45 ■产 ∠0CP=∠ADP=90°， .OC⊥PD, 又：0C是⊙0的半径， .PC是⊙0的切线： (3)解：存在常数a,b,使等式EF,PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由如下： 连接AE,BF, D :四边形ABFE是⊙O的内接四边形， ∠AEF+∠ABF=180°， ,∠PBF+∠ABF=180°， ∠AEF=∠PBF, :∠FPB=∠EPA, ∴.△PBF∽△PEA, PF PB PA PE ..PA.PB=PF.PE, 在Rt△0CP中，∠0CP=90°， ∴.0p2-r2=PC2, :PA.PB=(0P+r)(0P-r=0P2-r2, .PA.PB=PC2, :PF.PE=PFPF+EF）=PF2+PF·EF, .PC2=PF2+PF.EF, ∴.PF.EF=PC2-PF2, EF.PF aPC2+bPF2, .a=1,b=-1. 37.(2026河北邯郸·二模)如图1，在正方形ABCD中，AB=6.以AB为直径在正方形内部作半圆⊙0， 点O为圆心.点E在AD边上，且AE=2,连接BE,交半圆于点F.点G为BF上的动点. 46 分■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ D D D F G G B B 0 图1 图2 图3 (I)如图1，连接AF,求AF的长： (2)如图2，连接CG,DG,当CG=DG时，求FG的长； (3)如图3，连接BG,FG,求△BFG面积的最大值， 【答案】(1)AF=3 ③)6 4 【详解】(1)解：在Rt△ABE中，AB=6,AE=2√5， :tan∠ABE= 2V3V5 63 ∠ABE=30°. :AB为直径， ∠AFB=90°. AF=AB.sin30°=6 =3 2 (2)解：连接OG,OF, E G B 当CG=DG时，点G在CD的垂直平分线上，此时CD的垂直平分线过圆心O. .0G⊥AB,∠A0G=90°， :∠A0F=2∠ABF=60°， ∠F0G=∠A0G-∠A0F=90°-60°=30°. 又：AB=6, 47 ■ 圆的半径为3， ÷FG的长=30x3π- 180 3 (3)解：当点G为BF中点时，△BFG面积最大， 连接OG交BF于点H,则OG⊥BF,且点H为BF的中点， D G B ○ BF=AB2-AF2=33, :∠ABE=30°，∠AFB=90°， .∠BAF=60°， :点O为AB的中点， OH∥AF, .∠B0G=∠BAF=60°，∠OHB=∠AFB=90°， .OB=OG, :△BOG为等边三角形， :0H=10G=3 2 2 ÷aBFG面积最大值=BF.GH=95 4 0 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题07:圆 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 圆的基本性质（垂径定理、圆心角 / 圆周角） 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，5–8 分；垂径定理考弦长、半径、弦心距计算；圆周角定理考角的转化、直径所对圆周角为直角；2025 重点：圆周角与圆心角关系、垂径定理与勾股定理结合、圆内接四边形对角互补。 平面几何核心基础，圆综合题解题关键；命题侧重性质直接应用与简单推理，是几何中档题高频命题点。 切线的判定与性质 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档 + 压轴题，解答题必考，6–10 分；判定：连半径证垂直、作垂直证半径；性质：切线垂直于过切点半径、切线长定理；2025 重点：切线证明 + 线段计算、切线与相似 / 三角函数结合、切线长定理应用。 圆核心高频考点，中考解答题必考；命题结构稳定，第一问证切线，第二问求长度 / 角度，区分度高。 弧长与扇形面积计算 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 基础题，选择 / 填空，3–5 分；考查弧长公式、扇形面积公式；2025 重点：直接公式计算、阴影面积（割补法）、圆锥侧面积与底面半径关系。 中考基础得分点，公式固定易掌握；常结合实际情境（如扇形零件、圆锥模型）考查，难度低、分值稳。 圆与三角形 / 四边形综合 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 压轴题，解答压轴，10–16 分；考查圆与全等 / 相似、等腰 / 直角三角形、特殊四边形结合；2025 侧重：圆内接四边形 + 相似、切线 + 三角函数、直径 + 直角三角形、隐圆最值问题。 中考几何压轴核心载体，综合度高；2025 真题高频，重模型识别、辅助线构造与数形结合能力。 押题预测 押题预测 题型一、圆的基本性质（垂径定理、圆心角 / 圆周角） 1．（2026·广东珠海·模拟预测）如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，点是上异于的一点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃定西·三模）如图，是的直径，是弦，，，则（  ） A．45° B．60° C．70° D．75° 4．（2026·江苏南通·一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 6．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽宣城·二模）如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 8．（2026·河南许昌·二模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则阴影部分的面积是_______． 9．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，是边上一点，连接．是的外接圆，且与边相切于点，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，，求的长． 10．（2026·广东汕头·一模）如图1，内接于，，． (1)求的半径； (2)如图2，点D在，连接，交于点E，若，求的长； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，点C关于的对称点落在上，连接，并延长交于点，求的长． 题型二、切线的判定与性质 11．（2026·安徽阜阳·二模）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且与相交于点G，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．当最大时， 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，于点C，O为上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点E，点D为的中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 13．（2026·湖北随州·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 15．（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 16．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的外接圆，是直径，点是左侧上的一点，连接、，延长到点，连接，是的切线，． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 题型三、弧长与扇形面积计算 18．（2026·河北唐山·二模）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点A，E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点A，B，C在上，且为直径，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏常州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ） A． B． C． D． 21．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 22．（2026·山西忻州·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·山西朔州·一模）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点．若，则线段，，所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·山西阳泉·二模）为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛．花坛设计图如图所示，已知是上两点，以点为圆心画弧，分别与交于点，且直径与相切于点，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪．若，则种植草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 25．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知，以为直径的与相切于点B，交于点D．若，，求的长（结果保留）． 26．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 27．（2026·湖北随州·二模）如图，是的直径，C，D是上位于两侧的两点，，交的延长线于点P，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分（线段及围成的图形）的面积． 题型四、圆与三角形 / 四边形综合 28．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 29．（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 30．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 31．（2026·四川广元·二模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积_______． 32．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，是的外接圆，，若的半径为5，，则________，以、为边作平行四边形，与相交于点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，则________． 33．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 34．（2026·浙江杭州·一模）已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H． (1)求证：． (2)试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由． (3)如图②，连接，求证：． 35．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，点在边上，以点为圆心的分别与边相切于点，与边相切于点，过点作，与交于点． (1)求证：． (2)若的半径为4，，求的长． 36．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 37．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $