2026年中考数学三轮冲刺07：利用分类讨论解决中考多解题（全国通用）

**基本信息** 以分类讨论思想为核心，系统构建几何与代数多解题的“分类标准-工具应用-结果验证”三阶方法体系，逻辑严谨，覆盖中考高频考点 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何类（5题型）|含等腰/直角三角形、全等相似、圆、图形变换多解题，配2026年多省市模拟题|按“不确定条件”分类（如腰底/直角顶点/对应关系），用勾股定理/相似判定等工具，遵循“不重不漏”验证原则|从几何图形不确定性（边/角/位置）出发，通过分类转化为确定问题，培养推理意识与几何直观| |代数类（3题型）|含参数方程、不等式组、函数多解题，配经典模拟题|按“参数影响”分类（如系数是否为0/判别式大小），结合方程求解/数轴分析，注重解的合理性检验|从代数参数不确定性（系数/解集/交点）切入，通过分类讨论突破多解，提升运算能力与模型意识|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺7:利用分类讨论解决中考多解题专项 中考全国考情分析 1、考查地位与命题意义 分类讨论是中考数学核心思想方法之一，多解题作为其主要载体，贯穿选择、填空、解答题（尤其前两题），全国各省市（江苏、山东、河南、安徽、黑龙江等）均高频考查。这类题目看似复杂，实则通过分类梳理可化繁为简，既考查学生对知识点的全面掌握程度，又侧重逻辑严谨性与思维缜密性，是区分基础分与中档分的关键题型，分值占比约 5%-8%（常以 3 分选填或 8 分解答题第一问形式呈现）。 2、核心考查内容 几何类多解题（占比 70% 以上）：三角形（等腰三角形腰 / 底不确定、直角三角形直角顶点不确定、三角形全等 / 相似对应关系不确定）、四边形（平行四边形顶点顺序不确定、特殊四边形判定条件多解）、圆（圆与直线位置关系、圆周角对应弧不确定、弦所对圆周角多解）、图形变换（折叠对应边 / 角不确定、旋转角度多解）； 代数类多解题（占比 30% 以下）：含参数方程（组）解的情况讨论、不等式（组）特殊解多解、函数图像与坐标轴交点多解、二次函数顶点位置多解。 3、命题趋势 侧重几何与代数结合：如含参数二次函数与三角形、圆的综合多解题，需兼顾代数运算与几何分类； 隐藏分类条件：不再明确提示 “多解”，需学生自行挖掘题目中 “不确定” 的条件（如 “某点在直线上” 未明确线段内外、“两图形相似” 未明确对应顶点）； 强调解题规范性：分类讨论需遵循 “不重不漏” 原则，答案需整合所有符合条件的结果，避免漏解或重复。 核心题型及具体解决方法 一、几何类多解题（重点突破） 题型一、等腰三角形多解题 考查特征：已知两边求第三边、已知一角求另外两角、已知顶点 / 底边不确定求线段长度或角度； 解题方法： ① 确定分类标准：按 “腰底不确定”（已知两边时，分两边分别为腰）、“顶角底角不确定”（已知一角为锐角时，分该角为顶角或底角）、“顶点位置不确定”（如等腰三角形一个顶点固定，另两个顶点在直线上）分类； ② 验证合理性：根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）、内角和为 180° 排除无效解； ③ 整合结果：汇总所有符合条件的答案。 易错提醒：忽略 “三角形存在性” 验证，导致出现两边之和小于第三边的无效解。 （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____．例题 【答案】8或12 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 题型二、直角三角形多解题 考查特征：已知两边求第三边、已知斜边 / 直角边不确定、直角顶点位置不确定； 解题方法： ① 分类标准：按 “直角顶点不确定”（分三个顶点分别为直角顶点）、“斜边不确定”（已知两边时，分较长边为斜边或直角边）分类； ② 核心工具：勾股定理（分情况列方程）、三角函数（已知角度时）； ③ 验证：确保直角三角形三边满足勾股定理，角度和为 180°。 示例：已知直角三角形两边长为 3 和 4，求第三边长 —— 分 “4 为斜边”和 “4 为直角边”，共两解。 （2026·河北廊坊·一模）综合与实践例题 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 【答案】(1)2； (2) (3)见解析，无数 (4)6 (5)，m的取值范围是 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， 在中，，则； （2）解：如图1，作，垂足为， 由折叠可知，，，， 在中，，则， ， 矩形， ， ， 在中，，， ， ， 在中，； （3）解：如图2，即为所求， 以点为圆心，为半径作圆，在与矩形纸片相交弧上任选一点K，连接、即可； 由图可知，，即是等边三角形， ， ， 即点K可以是与矩形纸片相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的； （4）解：由折叠可知，，， 由（2）知，，即， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的周长为：； （5）解：由折叠可知，，，， ，， ，， 则， ， 由（4）知，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ，， 当与点重合时，，则， 当与点重合时，，则， 点落在线段上（包括端点）， ， 综上可知：，其中． 题型三、三角形全等 / 相似多解题 考查特征：未明确对应顶点、对应边、对应角，求线段长度或角度； 解题方法： ① 分类标准：按 “对应顶点不确定”（如△ABC∽△DEF，分 A 对应 D/B/E/C/F 不同组合）、“对应边不确定”（如两边成比例时，分不同边对应成比例）分类； ② 核心工具：全等判定定理（SAS、ASA、SSS）、相似判定定理（AA、SAS、SSS），结合比例式列方程； ③ 排除重复解：相同结果的分类可合并，避免冗余。 （2026·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ）例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由图2知，当时，， 时，，故① 错误； 时，，，， 在中，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，点为中点， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为8， 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 当与相似时， ， 或， 或， 解得或，故④ 错误； 综上可知，正确结论的个数是2． 题型四、圆相关多解题 考查特征：弦所对圆周角、圆与直线的位置关系、圆与圆的交点、切线的判定多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “弦所对圆周角”（分优弧和劣弧对应的圆周角）、“圆与直线位置”（相切、相交、相离，相交时弦长多解）、“圆上点的位置”（分点在圆内 / 外 / 上）分类； ② 核心工具：圆周角定理、切线性质、勾股定理（求弦长、切线长）； ③ 注意：圆的半径不变，分类时需结合圆的对称性。 （2026·河南南阳·一模）如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（   ）例题 A．的半径为 B．A、B两点间的距离为 C．点P的运动速度为 D．的度数为 【答案】C 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故A选项正确，不符合题意； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故B选项正确，不符合题意； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故C选项错误，符合题意； 当点P运动到点B时，，即， ∴是等边三角形， ∴，故D选项正确，不符合题意． 题型五、图形变换多解题 考查特征：折叠、旋转、平移后对应关系不确定，求线段长度、角度或重叠面积； 解题方法： ① 分类标准：按 “折叠对称轴不确定”（如矩形折叠，分不同边为对称轴）、“旋转角度不确定”（如旋转 90°/180°/270°）、“平移方向不确定”（水平 / 竖直 / 斜向）分类； ② 核心工具：图形变换的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等）、勾股定理、相似三角形； ③ 画图辅助：动手画出不同分类的图形，直观分析对应关系。 （2026·山西大同·一模）综合与实践例题 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵平移后四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即平移距离为； （2）解：四边形是矩形 理由：∵折叠， ∴，，， ∴， ∴、D、B三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是矩形； （3）解：当点F在的上方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点F在的下方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 二、代数类多解题 题型一、含参数方程（组）多解题 考查特征：含参数一元一次方程、二元一次方程组解的个数讨论，或分式方程增根多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “参数系数是否为 0”（一元一次方程 ax=b，分 a≠0/a=0 且 b=0/a=0 且 b≠0）、“分式方程最简公分母为 0 的解”（确定增根的可能值）分类； ② 核心工具：方程求解步骤、增根定义（使最简公分母为 0 且代入整式方程成立）； ③ 验证：分式方程需检验增根是否符合原方程，含参数方程组需检验解的合理性。 （2026·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　）例题 A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】原方程变形为 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 题型二、不等式（组）多解题 考查特征：含参数一元一次不等式组的整数解多解，或不等式解集范围不确定； 解题方法： ① 分类标准：按 “参数影响不等号方向”（两边乘除负数时不等号反向）、“不等式组公共解集的边界不确定”（分参数在边界左侧 / 右侧）分类； ② 核心工具：不等式求解步骤、数轴表示公共解集、整数解筛选； ③ 临界值验证：注意边界值是否包含（等号是否成立），避免漏解。 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．例题 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， ∴； 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且且，即 ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 题型三、函数多解题 考查特征：二次函数与 x 轴交点个数、一次函数与二次函数交点多解，或函数图像过定点多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “判别式大小”（二次函数 Δ=b²-4ac，分 Δ>0/Δ=0/Δ<0）、“函数系数不确定”（如二次函数开口方向、一次函数斜率）分类； ② 核心工具：判别式公式、函数解析式联立求解、定点坐标代入验证； ③ 结合图像：画出函数大致图像，根据图像直观判断交点个数。 （2026·安徽芜湖·一模）一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（    ）例题 A．无法确定 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 【答案】D 【详解】解：∵ 一次函数 经过点， ∴ 将代入解析式得， 解得：， 即一次函数解析式为． 联立两个函数解析式得， 整理得， 此时． ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点． 经典模拟题 1．（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 3．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，则“落边折痕”的长__________；若是等腰三角形，其中，，则其“落边折痕”的长度__________． 【答案】 或 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可知，， ，， ； 根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． 在等腰中， ，，， 只能是点向下折叠，若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义， 分情况讨论： ①如图②，当沿折叠，点落在边上的点处时，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由折叠得， ∴ ∴， ， ， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ，即， ，， ， ， ∴在中，； ②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时， 同①可得，； ③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时， ∴， ∴为的垂直平分线，即， 由①可知， ， ； ④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线， 同③可得，． 综上所述，“落边折痕”的长度为或． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 【答案】1或 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，则，， ∵，，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵ ∴ ①当时， ∴； 解得：； ②当时， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为：1或 7．（2026·广西防城港·一模）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．下面是小明同学在学习了“特殊的平行四边形”相关知识后进行的探究活动，请根据相关要求回答问题． (1)如图1，矩形纸片，对折此纸片使与重合，得到折痕，把纸片展平，再在上选一点，沿折叠，使点落在上时，记为点，则的度数为______． (2)将矩形纸片换成边长为8cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，点仍然在上时，延长，交于点，连接． ①猜想的度数，并说明理由． ②求此时的长． (3)在（2）的探究中，改变点在上的位置（点不与点，重合），沿折叠纸片，使点落在正方形内部的点处，连接，，并延长，交于点，连接．当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；② (3)的长为或 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同（1）可得：， ∵边长为的正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②∵折叠， ∴，， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 故； （3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 8．（2026·河南周口·一模）如图1，在 中， D，E分别是边，的中点．将 绕点A 顺时针旋转角（ 连接，． (1)猜想 与 的数量关系，并结合图2给予证明； (2)探究： ①当旋转角的度数为 时，则 ， ②在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且 时，直接写出的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①或②的长为或 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵为的中点， ∴，同理可得， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：①如图1， 当 时， ， 又∵， ∴， 由（1）可得，，即，则，即； 如图2，同理可得，此时； 故答案为：或； ②如图3，由（1）可得， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得，，， 设，则， 由勾股定理可得，， 解得（负值舍去），即， ∴； 如图4， 同理，，设，则， 由勾股定理可得，， 解得，即， 的长为或． 9．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： (3)在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，见解析 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴为直线． ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：令，，则， 抛物线经过点，对称轴为直线， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 设直线和的解析式分别为和， 和， 解得：和， 直线和的解析式分别为和， 轴，， ，， ， ，， 当有最大值，取得最大值， 设，由，有， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值，即有最大值， 此时 ， 将沿方向平移个单位长度得到， 直线的解析式为， 点向右平移个单位长度．向下平移个单位长度， ， 此时．即的最大值为； （3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线， ． ，， 直线的解析式为， 即， ， ， ， 时有， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得，（，舍去）， 当时， 可得： 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得:，（，舍去）， 当时，可得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 真题再现 1．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 4．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积S关于运动时间t的函数解析式为； (3)当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【详解】（1）解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴ 答：点的坐标为． （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴， 作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积， 综上所述，， 答：的面积关于运动时间t的函数解析式为． （3）解：如图，当时，，点和点重合，，，， 假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺7:利用分类讨论解决中考多解题专项 中考全国考情分析 1、考查地位与命题意义 分类讨论是中考数学核心思想方法之一，多解题作为其主要载体，贯穿选择、填空、解答题（尤其前两题），全国各省市（江苏、山东、河南、安徽、黑龙江等）均高频考查。这类题目看似复杂，实则通过分类梳理可化繁为简，既考查学生对知识点的全面掌握程度，又侧重逻辑严谨性与思维缜密性，是区分基础分与中档分的关键题型，分值占比约 5%-8%（常以 3 分选填或 8 分解答题第一问形式呈现）。 2、核心考查内容 几何类多解题（占比 70% 以上）：三角形（等腰三角形腰 / 底不确定、直角三角形直角顶点不确定、三角形全等 / 相似对应关系不确定）、四边形（平行四边形顶点顺序不确定、特殊四边形判定条件多解）、圆（圆与直线位置关系、圆周角对应弧不确定、弦所对圆周角多解）、图形变换（折叠对应边 / 角不确定、旋转角度多解）； 代数类多解题（占比 30% 以下）：含参数方程（组）解的情况讨论、不等式（组）特殊解多解、函数图像与坐标轴交点多解、二次函数顶点位置多解。 3、命题趋势 侧重几何与代数结合：如含参数二次函数与三角形、圆的综合多解题，需兼顾代数运算与几何分类； 隐藏分类条件：不再明确提示 “多解”，需学生自行挖掘题目中 “不确定” 的条件（如 “某点在直线上” 未明确线段内外、“两图形相似” 未明确对应顶点）； 强调解题规范性：分类讨论需遵循 “不重不漏” 原则，答案需整合所有符合条件的结果，避免漏解或重复。 核心题型及具体解决方法 一、几何类多解题（重点突破） 题型一、等腰三角形多解题 考查特征：已知两边求第三边、已知一角求另外两角、已知顶点 / 底边不确定求线段长度或角度； 解题方法： ① 确定分类标准：按 “腰底不确定”（已知两边时，分两边分别为腰）、“顶角底角不确定”（已知一角为锐角时，分该角为顶角或底角）、“顶点位置不确定”（如等腰三角形一个顶点固定，另两个顶点在直线上）分类； ② 验证合理性：根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）、内角和为 180° 排除无效解； ③ 整合结果：汇总所有符合条件的答案。 易错提醒：忽略 “三角形存在性” 验证，导致出现两边之和小于第三边的无效解。 （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____．例题 题型二、直角三角形多解题 考查特征：已知两边求第三边、已知斜边 / 直角边不确定、直角顶点位置不确定； 解题方法： ① 分类标准：按 “直角顶点不确定”（分三个顶点分别为直角顶点）、“斜边不确定”（已知两边时，分较长边为斜边或直角边）分类； ② 核心工具：勾股定理（分情况列方程）、三角函数（已知角度时）； ③ 验证：确保直角三角形三边满足勾股定理，角度和为 180°。 示例：已知直角三角形两边长为 3 和 4，求第三边长 —— 分 “4 为斜边”和 “4 为直角边”，共两解。 （2026·河北廊坊·一模）综合与实践例题 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 题型三、三角形全等 / 相似多解题 考查特征：未明确对应顶点、对应边、对应角，求线段长度或角度； 解题方法： ① 分类标准：按 “对应顶点不确定”（如△ABC∽△DEF，分 A 对应 D/B/E/C/F 不同组合）、“对应边不确定”（如两边成比例时，分不同边对应成比例）分类； ② 核心工具：全等判定定理（SAS、ASA、SSS）、相似判定定理（AA、SAS、SSS），结合比例式列方程； ③ 排除重复解：相同结果的分类可合并，避免冗余。 （2026·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ）例题 A．1 B．2 C．3 D．4 题型四、圆相关多解题 考查特征：弦所对圆周角、圆与直线的位置关系、圆与圆的交点、切线的判定多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “弦所对圆周角”（分优弧和劣弧对应的圆周角）、“圆与直线位置”（相切、相交、相离，相交时弦长多解）、“圆上点的位置”（分点在圆内 / 外 / 上）分类； ② 核心工具：圆周角定理、切线性质、勾股定理（求弦长、切线长）； ③ 注意：圆的半径不变，分类时需结合圆的对称性。 （2026·河南南阳·一模）如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（   ）例题 A．的半径为 B．A、B两点间的距离为 C．点P的运动速度为 D．的度数为 题型五、图形变换多解题 考查特征：折叠、旋转、平移后对应关系不确定，求线段长度、角度或重叠面积； 解题方法： ① 分类标准：按 “折叠对称轴不确定”（如矩形折叠，分不同边为对称轴）、“旋转角度不确定”（如旋转 90°/180°/270°）、“平移方向不确定”（水平 / 竖直 / 斜向）分类； ② 核心工具：图形变换的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等）、勾股定理、相似三角形； ③ 画图辅助：动手画出不同分类的图形，直观分析对应关系。 （2026·山西大同·一模）综合与实践例题 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 二、代数类多解题 题型一、含参数方程（组）多解题 考查特征：含参数一元一次方程、二元一次方程组解的个数讨论，或分式方程增根多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “参数系数是否为 0”（一元一次方程 ax=b，分 a≠0/a=0 且 b=0/a=0 且 b≠0）、“分式方程最简公分母为 0 的解”（确定增根的可能值）分类； ② 核心工具：方程求解步骤、增根定义（使最简公分母为 0 且代入整式方程成立）； ③ 验证：分式方程需检验增根是否符合原方程，含参数方程组需检验解的合理性。 （2026·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　）例题 A． B． C．且 D．且 题型二、不等式（组）多解题 考查特征：含参数一元一次不等式组的整数解多解，或不等式解集范围不确定； 解题方法： ① 分类标准：按 “参数影响不等号方向”（两边乘除负数时不等号反向）、“不等式组公共解集的边界不确定”（分参数在边界左侧 / 右侧）分类； ② 核心工具：不等式求解步骤、数轴表示公共解集、整数解筛选； ③ 临界值验证：注意边界值是否包含（等号是否成立），避免漏解。 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．例题 题型三、函数多解题 考查特征：二次函数与 x 轴交点个数、一次函数与二次函数交点多解，或函数图像过定点多解； 解题方法： ① 分类标准：按 “判别式大小”（二次函数 Δ=b²-4ac，分 Δ>0/Δ=0/Δ<0）、“函数系数不确定”（如二次函数开口方向、一次函数斜率）分类； ② 核心工具：判别式公式、函数解析式联立求解、定点坐标代入验证； ③ 结合图像：画出函数大致图像，根据图像直观判断交点个数。 （2026·安徽芜湖·一模）一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（    ）例题 A．无法确定 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 经典模拟题 1．（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 4．（2026·山东济宁·一模）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，则“落边折痕”的长__________；若是等腰三角形，其中，，则其“落边折痕”的长度__________． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 7．（2026·广西防城港·一模）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．下面是小明同学在学习了“特殊的平行四边形”相关知识后进行的探究活动，请根据相关要求回答问题． (1)如图1，矩形纸片，对折此纸片使与重合，得到折痕，把纸片展平，再在上选一点，沿折叠，使点落在上时，记为点，则的度数为______． (2)将矩形纸片换成边长为8cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，点仍然在上时，延长，交于点，连接． ①猜想的度数，并说明理由． ②求此时的长． (3)在（2）的探究中，改变点在上的位置（点不与点，重合），沿折叠纸片，使点落在正方形内部的点处，连接，，并延长，交于点，连接．当时，求的长． 8．（2026·河南周口·一模）如图1，在 中， D，E分别是边，的中点．将 绕点A 顺时针旋转角（ 连接，． (1)猜想 与 的数量关系，并结合图2给予证明； (2)探究： ①当旋转角的度数为 时，则 ， ②在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且 时，直接写出的长． 9．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： (3)在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 真题再现 1．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $