甘肃兰州2026年中考数学 圆专项练习

**基本信息** 20道题聚焦圆的切线证明与几何计算，系统覆盖切线判定、圆的性质及几何综合应用，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|20道（第1问）|以“连半径证垂直”为主，结合角平分线、平行性质|圆的半径性质→等角转化→垂直关系推导| |几何计算|20道（第2问）|结合相似三角形、勾股定理求长度/半径|直径圆周角→相似判定→方程思想解决计算|

2026兰州中考圆专项练习 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB 上一点，以OA为半径的⊙O经过点D,交AB于点E. (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)若BE=2,BD=4,求AB长. A 0 E B D y 2、如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,交AC于点D, 交AB于点E,过点D作DF⊥AB于F. (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若AC=12,⊙0的半径为5，求DF的长. D E B 2 3、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D,交BC于点H,过点D的直线EF∥BC,分别交AB,AC的 延长线于点E,F. (1)求证：直线EF是⊙0的切线： B D 4、如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，AB⊥CD于点E, P是AB延长线上一点，且∠BCP=∠BCD. (1)求证：CP是⊙O的切线： (2)若CD=8,EB=2,求⊙O的半径. EB P D 5、如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙0的直径，点D在AB的延长线 上，连接CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若点B是AD的中点，且BE=3,求⊙0的半径. A D B 5 6、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径， C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若BC=6,AC=8,求CE的长. E C D A 0 B 7、如图，在△ABC中，AB=AC,点O在AC上，以OC为半径的⊙0 与BC相交于点E,交AB于点D,过E点作⊙O的直径EF,连接FD ,若∠F=45°. (1)求证：AB与⊙0相切于点D: (2)若sinA=,AB=8,求DG的长， D B 7 8、如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙0上取一点C,延 长AB至点D,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC 的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. E D B o 9、如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，D是AB上一点，BD =BC,连接CD并延长至点E,使得AE=AC. (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为5，AE=8,求DE的长. E 0 A B D 10、如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC交BC于点E,⊙O 是△ABE的外接圆，过点E作ED⊥AC于点D交AB的延长线于点 P. (1)求证：PE是⊙0的切线； (2)若sinP=号，BP=3,求CD的长. D E B 10 11、如图，AB为⊙0的直径，C、E为⊙0上的两点，过点E的直线 交CB的延长线于点D,CD⊥DE,∠ABC=2∠A. (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若⊙0半径为N5,AB=5BD,求AE的长. A 0 B 11 12、如图，点C在⊙0的直径AB的延长线上，点P是⊙0上任意一 点，且∠BPC=∠A. (1)求证：P℃是⊙0的切线： (2)若⊙0的半径为W5,tanBPC=,求CP的长. B 12 13、如图，已知△ABC内接于⊙0，AC是⊙0的直径，D是B的中点， 过点D作AB的平行线，分别交CB、CA的延长线于E、F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AF=4,EC=6,求⊙0的半径r. D A 0 13 14、如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点D是OA上一点， DE⊥AB交BC的延长线于点E,点F是DE上一点，连接CF,CF =EF. (1)求证：C℉是⊙0的切线； (2)若AB=DE=8,点D是OA的中点，求BC的长. A D B E 14 15、如图，PA与⊙0相切于点A,OP交⊙0于点C,AB⊥OP于点D, 交⊙O于点B,连接AC、PB. (1)求证：PB是⊙O的切线： (2)若tanA0C=专，AC=V5,求OD的长. A ⊙ 15 16、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E,O 为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F. (1)求证：BC是⊙0的切线； (2)若CF=2,sinC=,求AB的长. 0 B C 16 17、已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC 于D,E为AB上一点，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作⊙D. (1)求证：AC是⊙D的切线： (2)若BB=8,且sin∠C=是，求AD的长. 2 ⊙ D 17 18、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点 D,点O是边AB上一点，以点O为圆心OB长为半径作圆，⊙O经 过点D. (1)求证：直线AC是⊙0的切线： (2)若B0=4,A0=5,求tan∠CBD的值. D δ B 18 19、如图，⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，F是AD延长 线上一点，连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD. (1)求证：C℉是⊙O的切线： (2)若AC=8,sinB=,求FD的长. C D 0 B 19 20、如图，在△ABC中，BA=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D, 过点D作DE⊥BC,垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F. (1)求证：DF为⊙O的切线： (2)若BE=1,BF=3,求DF的长. B D 20 参考答案 1、 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的 ⊙O经过点D,交AB于点E, (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BE=2,BD=4,求AB长. D 【解答】(1)证明：，OA=OD, .∠OAD=∠ODA, ,AD是∠BAC的平分线， ∴.∠DAC=∠OAD, .∠DAC=∠ODA, .OD∥AC, .∴.∠BDO=∠C=90°， OD是半径， BC是⊙O的切线： (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OE=OA=r,OB=2+r,AB=2+2r, 由勾股定理得，OB2-OD2=BD2,即(2+r)2-2=42, 解得，r=3, ∴.AB=2+2X3=8, AB的长为8. 2、 如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,交AC于点D,交AB于点E,过点D 作DF⊥AB于F. 21 (1)求证：DF是⊙O的切线 (2)若AC=12,⊙0的半径为5，求DF的长. D A F E ◇ 【解答】(1)证明：连接OD,则OD=OC, .∠ODC=∠C, .AB=BC, ∴.∠A=∠C, .∠ODC=∠A, .OD∥AB, ,DF⊥AB于点F, ∴.∠ODF=∠AFD=90°， OD是⊙O的半径，且DF⊥OD, DF是⊙O的切线 (2)解：连接BD, BC是⊙O的直径，AC=12,⊙O的半径为5， .AB=BC=2X5=10,∠BDC=90°， BD⊥AC, ∠ADB=90°，AD=CD=吉AC=吉×12=6， BD=AB2-AD2=V102-6=8, :SA4BD=专×10DF=吉X6X8, ∴DF=号， DF的长是等. 22 D E B 3、 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点H, 过点D的直线EF∥BC,分别交AB,AC的延长线于点E,F. (1)求证：直线EF是⊙O的切线： B D 【解答】(1)证明：如图，连接OD, .OA=OD, ∴.∠OAD=∠ODA. .AD平分∠BAC, ∴.∠OAD=∠DAC, ∴.∠ODA=∠DAC, ∴AC∥OD, .∠ODE=∠F. ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. EF∥BC, ∴.∠F=∠ACB=∠ODE=90°， 即OD LEF, ∴.直线EF是⊙O的切线； 23 4 B H D 4、 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E,P是AB延长线上一点， 且∠BCP=∠BCD. (1)求证：CP是⊙O的切线： (2)若CD=8,EB=2,求⊙O的半径. E B D 【解答】(1)证明：连接OC,则OC=OA, ∴.∠OCA=∠A, ,AB是⊙O的直径，AB⊥CD, ∴.∠ACB=∠AEC=90°， ∴.∠BCD=∠A=90°-∠ACD, ∴.∠OCA=∠BCD, ,∠BCP=∠BCD, ∴.∠BCP=∠OCA, ∴.∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°， .OC是⊙O的半径，且CP⊥OC, ∴.CP是⊙O的切线， (2)解：AB⊥CD,CD=8,BE=2, .CE=DE=号CD=4,∠CEB=∠AEC=90°， ∴.∠BCE=∠A=90°-∠ACE, .△BCE∽△CAE, 24 ∴盟=器， ∴AE=器=号=8， AB=AE+BE=8+2=10, ..OA=AB=5, .⊙0的半径长为5. A 5、 如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD,∠BCD= ∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若点B是AD的中点，且BE=3,求⊙O的半径. B 【解答】(1)证明：连接OC, AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. ∴.∠A+∠ABC=90°. .OB=OC, ∴.∠ABC=∠OCB, .∠BCD=∠A, ∴.∠BCDH∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， 25 ∴.OC⊥CD, .OC为⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线： (2)解：点B是AD的中点， ∴.BD=AB=2OC .OB=OC, ..OD=OB+BD=30C, 器=， BE⊥AD, ∴.∠DBE=90°， 又，∠OCD=90°， ∴sinD=器=器=青： ∴.DE=3BE=9, 在Rt△DBE中， BD=VDE2-BE2=V52-32=62, ∴0C=3V2, 即⊙0半径为3√2 6、 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作 CE⊥AD,交AD的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若BC=6,AC=8,求CE的长 26 B D A B 0 【解答】(1)证明：如图，连接OC, C 0 A B 0 ..OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, :C是D的中点， ∴D=C, .∠OAC=∠CAE, ∴.∠OCA=∠CAE, .AE∥OC, ,CE⊥AD, ∴.CE⊥OC, OC是半径， CE是⊙O的切线： (2)解：，AB是直径， .∠ACB=90°， 27 在直角三角形ABC中，BC=6,AC=8, 由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=10, :D=C, .CD=6, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠B+∠ADC=180°， .∠CDE+∠ADC=180°， ∴.∠CDE=∠B, ,CE⊥AD, .∠ACB=∠E=90°， .△CDE∽△ABC, 器=器，即品=等。 解得：CE=兽. 8、 如图，在△ABC中，AB=AC,点O在AC上，以OC为半径的⊙O与BC相交于点E,交 AB于点D,过E点作⊙O的直径EF,连接FD,若∠F=45°· (1)求证：AB与⊙O相切于点D: (2)若sinA=寻，AB=8,求DG的长. E y D 【解答】(1)证明：连接OD, 0 D B 28 由条件可知∠DOE=2∠F=90°， .AB=AC, ∴.∠B=∠C, .OC=OE, ∴.∠C=∠CEO, ∴.∠CEO=∠B, EF∥AB, .∠ODB=90°， D在⊙O上， .⊙O与AB相切于点D: (2)解：：sinA=器=是， ∴0A=号0D, ,OF=OC=OD,OA+OC=AC=AB=8,∠DOF=90°， 号OD+OD=8, ..OF=OD=3, ∴0A=胃×3=5，DF=N0D2+0F=V20F=32, ∴AD=V0A2-0D2=V52-32=4, AD∥OF, .△AGD∽△OGF, …器=清 DG=号DF=号×3V2, DG=19 8、 如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接DC, ∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若CD=4,DB=2,求AE的长， 29 E C ⊙ 【解答】(1)证明：连接OC,OE,如图， AB为直径， ∴.∠ACB=90°，即∠BCOH∠ACO=90°， 又.∠DCB=∠CAD, .∠CAD=∠OCA, ∴.∠OCA=∠DCB, ∴.∠DCB+∠BCO=90°， 即∠DCO=90°， ,OC是⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线； (2)解：，∠DCO=90°，OC=OB, ∴.0C2+CD2=0D2, .0B2+42=(0B+2)2, OB=3, AB=6, AE⊥AD,AB是⊙O的直径， AE是⊙O的切线， .CD是⊙O的切线； ..AE=CE, .AD24AE2=DE2, ∴.(6+2)2+AE2=(4+AE)2, 解得AE=6. 30 E D B 0 9、 如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，D是AB上一点，BD=BC,连接CD并延长 至点E,使得AE=AC (1)求证：AE是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为5，AE=8,求DE的长. E B D C 【解答】(1)证明：，BD=BC, ∴.∠BCD=∠BDC, ,∠BDC=∠ADE, .∠BCD=∠ADE, .AE=AC, ∴.∠ACE=∠AEC, AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCD=90°， ∴.∠AEC+∠ADE=90°， ∴.∠EAD=180°-（∠AEC+∠ADE)=90°， AE⊥AB, ∴AE是⊙O的切线； 31 (2)解：，AB是⊙0的直径，⊙0的半径为5， .∠ACB=90°，AB=10, .AE=8,AC=AE, AC=8. BC=6, ..BD=BC=6, .'.AD=AB-BD=4, 在Rt△AED中，DE2=AE2+AD2 DE=V42+82=V80=45: 10、 如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC交BC于点E,⊙O是△ABE的外接圆，过点 E作ED⊥AC于点D交AB的延长线于点P. (1)求证：PE是⊙O的切线： (2)若sinP=号，BP=3,求CD的长， C D E B 【解答】(1)证明：如图，连接OE, B 由条件可知∠OAE=∠DAE, .OE=0A, 32 .∠OEA=∠OAE, .∠DAE=∠OEA, .OE∥AD, .ED LAC, .OE⊥DP, OE是⊙0的半径， PE是⊙O的切线； (2)解：：sin∠P=号=器，BP=3,0B=0B, 小器=， OE .OE=2, ∴.AB=2OE=4, .∴.AP=AB+BP=4+3=7, :sin∠P=8=号， ∴AD=AP=普， ∴CD=AC-AD=4-号=号， CD的长为号 11、 如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D,CD ⊥DE,∠ABC=2∠A. (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若⊙0半径为V5,AB=5BD,求AE的长. ○ 9 【解答】(1)证明：如图1，连接OE, 33 0 A B D 图1 .AO=OE, ∴.∠A=∠OEA, ∴.∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A, 又，∠ABC=2∠A, .∠ABC=∠BOE, ∴.OE∥CD, CD⊥DE, .OE⊥ED, 又.OE为半径， ∴DE是⊙O的切线； (2)解：如图2，连接BE, 0 A D 图2 .OE=OB, ∴.∠OEB=∠OBE, .∠BED+∠OEB=90°， ∴.∠BED+∠OBE=90°， .AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°， ∴.∠BAE+∠ABE=90°， 34 .∠BED=∠BAE, 又，∠AEB=∠BDE, ∴.△AEB∽△EDB, ∴船=器， .BE2=AB·BD, .4B=2r=2V5,AB=5BD, BE2=4, .BE=2, ∴AE=VAB2-BE2 25-2=4 12、 如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点P是⊙O上任意一点，且∠BPC=∠A. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为v5,tan∠BPC=青，求CP的长. ● A 【解答】(1)证明：连接PO, 3 2 B ,AB为直径， ∴.∠APB=∠2+∠3=90°（直径所对的圆周角是直角）. .OA=OP, 35 .∠A=∠3（等边对等角）. ∠1=∠A, .∠1+∠2=90°. .PC⊥OP .OP是⊙0的半径， ∴.CP为⊙O的切线 (2)解：：∠1=∠A,tan21=专， ∴AB=2W5,tanA=克 即器= 设PB=a,则AP=2a, .AB2=PB2+4P2 :么5=a2+2 解得a=2, ∴.PB=2,AP=4 ∠C=∠C,∠1=∠A, .△CPB∽△CAP 器=器=器=主（相似三角形的对应边成比例. 设BC=x,则PC=2x,AC=4x, .AC=AB+BC, 4x=25+x. x=5, 4.PC-2x- 13、 如图，已知△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作AB的平行线， 分别交CB、CA的延长线于E、F. (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若AF=4,EC=6,求⊙O的半径r. 36 D 【解答】(1)证明：如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径，D是B的中点，连 接OD交AB于点G,则OD为圆的半径， D G O ∴AG=BG, .AO=OC, ∴.OG是△ABC的中位线， ∴.OG∥BC,即OD∥CE, 又，AC是⊙O的直径， .∠ABC=90°， ,EF∥AB, .∠CEF=90°， ,OD∥CE, ∴.∠ODE=90°， .半径OD⊥EF, EF是⊙O的切线； (2)解：设⊙O半径为”，则OA=OC=OD=r, AF=4, ∴.OF=4+r,CF=4+2r, ,OD∥CE,EC=6, 器=器，即新=， 整理得：2-r-12=0, 37 解得：r=4或r=-3(经检验，都是分式方程的解，负不合题意，舍去)， .⊙0的半径r=4. 14、 如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线 于点E,点F是DE上一点，连接CF,CF=EF, (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)若AB=DE=8,点D是OA的中点，求BC的长. D B C 【解答】(1)证明：连接OC,则OC=OB, .∠OCB=∠B, ,DE⊥AB交BC的延长线于点E, .∠EDB=90°， .CF=EF, ∴.∠FCE=∠E, ∴.∠OCB+∠FCE=∠B+∠E=90°， ∴.∠OCF=180°-（∠OCB+∠FCE)=90°， .OC是⊙O的半径，且CF⊥OC, CF是⊙O的切线， (2)解：AB=DE=8, ∴0A=0B=吉AB=4, 点D是OA的中点， ∴.OD=AD=专OA=2, ..BD=OB+OD=6, :∠ACB=∠EDB=90°，∠B=∠B, ∴.△ABC∽△EBD, 38 ∴骺=器， :EB=VBD2+DE2=V62+g2=10, ∴BC=2==兽， BC的长是号 A D B E 15、 如图，PA与⊙O相切于点A,OP交⊙O于点C,AB⊥OP于点D,交⊙O于点B,连接AC、 PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若tan∠A0C=号，AC=V5,求oD的长. A D C B 【解答】(1)证明：如图，AB⊥OP于点D,连接OB,则OA=OB, A O、.D ⊙ .∠AOP=∠BOP, ,PA与⊙O相切， ∴.∠OAP=90°， 在△AOP和△BOP中， 39 OP=OP ∠A0P=∠BOP OA-OB ∴.△AOP≌△BOP(SAS), ∴.∠OAP=∠OBP=90°， OB⊥OP, 又OB是半径， PB是⊙O的切线； (2)解：：tan∠A0C=号， ∴tan∠A0C=品=手， 设AD=4k,则OD=3k, 在直角三角形AOD中，由勾股定理得：C0=A0=√OD2+AD2=5k, ..CD=OC-OD=2k, 在Rt△ACD中，AC=V5, 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2 4+2k-(52 解得：k=青（负值舍去）， 0D=, 16、 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E,O为AC上一点，经过点A、 E的⊙O分别交AB、AC于点D、F. (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若CF=2,sinC=寻，求AB的长. 40 D B 内 【解答】(1)证明：连接OE,则OE=OA, ∴.∠OEA=∠OAE, AE平分∠BAC ∴.∠BAE=∠OAE, ∴.∠OEA=∠BAE, ∴.OE∥AB, .∠OEC=∠B=90°， .OE⊥BC, 点E在⊙O上， BC是⊙O的切线. D B E C (2)解：，点E、F在⊙O上， ∴.OE=OF, :simC=是，∠0EC=90°， 器=， 又.CF=2, 器=， ∴.0E=3, 名 .∴.AC=3+3+2=8, :sinC=是，∠B=90°， 晋=， 解得AB=号， ∴AB的长为号 17、 已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于D,E为AB上一点， DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作⊙D. (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)若BE=8,且sin∠C=寻，求AD的长 E ⊙ D 【解答】(I)证明：如图，过点D作DF⊥AC于F, E B D .∠B=90°， ∴DB⊥AB, 又，AD平分∠BAC, .'.DF=DB, OF是⊙O的半径， AC是⊙D的切线； 42 (2)解：∠B=∠CFD=90°， 在Rt△BDE和Rt△FDC中， (DE=DC BD-DF ∴.Rt△BDE≌Rt△FDC(HL), ∴.BE=FC=8, :sin∠C=, 器=， 设CD=5a,DF=3a, .CD2=DF2+CE2, ∴.(5a)2=(3a)2+82, 解得a=2, ∴.DE=DC=10, ∴BD=VDB2-BE2=V102-82-=6, .'.BC=BD+CD=16, 又“sin4C=器=， .同理可得AB=12, ∴AD=VAB2+BD2=V122+62=6W5】 18、 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O是边AB上一点， 以点O为圆心OB长为半径作圆，⊙O经过点D. (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)若BO=4,AO=5,求tan∠CBD的值. D 【解答】(1)证明：如图，连接OD, 43 C D ⊙ .OB=OD, ∴.∠ODB=∠OBD, 由条件可知∠DBC=∠OBD, ∴.∠DBC=∠ODB, ∴.OD∥BC, .∠ADO=∠C=90°， OD是⊙0的半径， .直线AC是⊙O的切线； (2)由(1)知，OD∥BC, .△AOD∽△ABC, 器=器=器， .'OB=OD=4,AB=04+0B=9, =危 ∴BC=碧， 由勾股定理得AC=VAB2-BC2=号， 号=￥。 解得：AD=3, ∴CD=AC-AD=号， tan∠CBD=器=青， 19、 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD,CF, 且∠DCF=∠CAD. 44 (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AC=8,sinB=青，求FD的长. C ”F D B 【解答】(1)证明：连接OC,则OC=OD, .∠OCD=∠ADC, AD是⊙O的直径， ∴.∠ACD=90°， ,F是AD延长线上一点，∠DCF=∠CAD, ∴.∠OCF=∠OCD+∠DCF=∠ADC+∠CAD=90°， ,OC是⊙O的半径，且CF⊥OC, ∴CF是⊙O的切线 (2)解：：∠ACD=90°，∠ADC=∠B, 8=sin∠ADC=sinB=手， AC=8, AD=4C=×8=10, .CD=AD2-AC2=102-82=6,F4=FD+10, ,∠DCF=∠CAD,∠F=∠F, .△CDF∽△ACF, 咒=既=器==， ∴FD=FC,FC=FA=寻(FD+10), ∴FD=×(FD+10), 解得FD=, FD的长是9 45 ”F D B 20、 如图，在△ABC中，BA=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂 足为E,延长DE交AB的延长线于点F, (1)求证：DF为⊙O的切线： (2)若BE=1,BF=3,求DF的长， B E C 【解答】(1)证明：连接OD,BD,如图， F E 0 ,AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， BD⊥AC, .'AB=CB, ∴.点D为AC的中点， 点O为AB的中点， .OD为△ABC的中位线， .OD∥BC, ∴.∠ODE=∠DEC, ,DE⊥BC, 46 .∠DEC=90°， ∴.∠ODE=90°， DF⊥OD, ,OD为⊙O的半径，D为OD的外端点， ∴DF为⊙O的切线： (2)解：如上图， ,DE⊥BC,BE=1,BF=3, “由勾股定理，得EF=√BP2-BE2=22, 由(1)知BE∥OD, △ODF∽△BEF, 器=器=器， .BE=1,BF=3,OB=OD, :39=9-245+0胆 22 解得OB=号，DE=V2, ∴DF=DE+EF=32.