精品解析：广东肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期高二期中检测数学试卷

肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期高二级期中检测 数 学 命题人：欧国成 审核人：王翠英 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列导数式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断． 【详解】，，，． 2. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 3. 二项式展开式中有理项的项数是（ ） A. 1项 B. 2项 C. 3项 D. 4项 【答案】C 【解析】 【详解】设二项式展开式第项为. 展开式通项. 其中. 令为整数，即能被整除. 逐一验证得满足条件，故有理项的项数为. 4. 已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】分析出的正负，进而得出的单调区间和极值即可求解． 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 5. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案. 【详解】由函数有. 函数在处有极小值10. 所以，即 解得: 或 当时， 令得或，得 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 显然满足函数在处有极小值10. 当时， 所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10. 所以 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题. 6. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 120 B. 150 C. 300 D. 360 【答案】B 【解析】 【详解】名护士分到个科室,每科至少人,分组类型为和两种. ①分组为的分配方案. 先分组:. 再分配到科室:. ②分组为的分配方案. 先分组:. 再分配到科室:. 综上所述,不同分配方案总数为. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上恒成立求得参数范围． 【详解】， 在上单调递增，则在上恒成立， 所以在上恒成立， ，时，的最大值是， 所以． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，，可判断ABC，把等式两边求导数，取，可判断D. 【详解】令，可得，A正确； 令，可得， 故，B错误； 取，可得， 故，C正确； 由， 两边求导数，可得， 取可得，D错误. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 在定义域内无最小值，无最大值. D. . 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确， 对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确. 11. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列组合逐选项分析求解即可. 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为100，200，300.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“小明选到类题目”，事件为“小明选到类题目”， 事件为“小明选到类题目”，事件为“小明做对所选题目”， 则，同理，， 由题设， 故 . 13. 定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数__________． 【答案】（满足即可） 【解析】 【分析】先求得，由已知得出，取任意满足要求的即可． 【详解】，因为为奇函数，所以，即， 又对任意的，，，都有， 所以在上单调递减，则， 所以可以取． 14. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有5个红球，4个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. （1）求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. （2）求第二次才取到红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设为“第一次取出红球”， 为“第二次取出红球”， 则. 【小问2详解】 设为“第二次才取到红球”，. 16. 已知（，）. （1）若展开式的二项式系数和为128，求n的值； （2）当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： （3）当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】（1）7 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可求的值. （2）根据二项展开式的通项公式，求出的系数和常数项，根据可求的值. （3）设为二项展开式的第项的系数，由，确定的值，再求即可. 【小问1详解】 由题意. 【小问2详解】 当时， 展开式的通项公式为. 由，所以； 由，所以. 由，又，所以或. 【小问3详解】 当，时， ， 其展开式的通项公式为. 其系数为. 由， 所以. 所以二项式的展开式中第5项的系数最大，且. 17. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【小问1详解】 函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． 【小问2详解】 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 18. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率： （2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，根据条件求出，，，，再利用全概率公式，即可求解； （2）①设为“第天选择食堂”，根据条件得到，，，利用全概率公式得到，即可证明结果； ②由①得到，再对分类讨论，利用单调性，即可求解. 【小问1详解】 设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. 【小问2详解】 ①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列. ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）分离参数后构造函数，转化问题为直线与的图象有两个交点，利用导数分析单调性和最值可得； （3）类似极值点平移问题，先由单调性得到，构造函数，，求导分析单调性后可得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 五、20.卷面分（共1题，每题5分）：本题为试卷卷面评分，由阅卷老师评分，学生不用作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期高二级期中检测 数 学 命题人：欧国成 审核人：王翠英 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列导数式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 3. 二项式展开式中有理项的项数是（ ） A. 1项 B. 2项 C. 3项 D. 4项 4. 已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时取得极小值 5. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 6. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 120 B. 150 C. 300 D. 360 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 在定义域内无最小值，无最大值. D. . 11. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为100，200，300.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________. 13. 定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数__________． 14. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有5个红球，4个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. （1）求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. （2）求第二次才取到红球的概率. 16. 已知（，）. （1）若展开式的二项式系数和为128，求n的值； （2）当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： （3）当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 17. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 18. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率： （2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 五、20.卷面分（共1题，每题5分）：本题为试卷卷面评分，由阅卷老师评分，学生不用作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $