函数模型的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型的应用”核心考点，依据高考评价体系梳理了实际问题中一次函数、分段函数、指数函数等模型的构建与应用，通过近五年考情分析明确应用题型占比达35%的高频考点，归纳销售利润、衰减规律等常考题型，形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+模型解构+素养落地”策略，如以2026年合肥质检放射性物质衰减题为例，解析指数函数模型建立与对数运算求解过程，培养数学思维与数学语言素养。特设易错点警示（如定义域忽略）和解题模板（列不等式、求导求最值等），助力学生掌握实战技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

函数模型的应用 一、单项选择题 1.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　) A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18} C.{x|15≤x<20} D.{x|10≤x<20} 基础过关 设这批台灯的销售单价为x元,由题意得,[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,解得10<x<20,又因为x≥15,所以15≤x<20,这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x<20}.故选C. 解析 2.茶叶是中国文化元素的重要象征之一,饮茶习俗在中国源远流长.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,已知某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)和泡茶时间t(单位:min)满足关系式y=若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃,则需要等待的时间为(　　) A.1.5 min B.2 min C.3 min D.4 min 令60=-10t+100,解得t=4;令=60,解得t=2,不符合题意,所以需要等待的时间为4 min.故选D. 解析 3.(2026·合肥质检)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被叫做半衰期,记为T(单位:天).铅制容器中有 甲、乙两种放射性物质,其半衰期分别为T1,T2.开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的质量的,则T1,T2满足的关系式为(　　) A.-2+= B.2+= C.-2+log2=log2 D.2+log2=log2 设开始记录时,甲、乙两种物质的质量均为1,则512天后,甲的质量为,乙的质量为,由题意可得==,所以2+=.故选B. 解析 4.(2026·莆田模拟)沙漏也叫做沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙,细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过t分钟时剩余的细沙量为y cm3,且y=a·e-bt(b为常数),经过16分钟 时,上方还剩下一半细沙,要使上方细沙是开始时的,需经过的时间为(　　) A.24分钟 B.28分钟 C.32分钟 D.36分钟 依题意有ae-16b=a,即e-16b=,两边取对数得-16b=ln=-ln 2,所以b=,得到y=a,当容器上方细沙只有开始时的时,则有a=a,所以=,两边取对数得-t=ln=-2ln 2,所以t=32,即需要经过的时间为32分钟.故选C. 解析 5.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6t0.27近似描述,则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时 根据题意得=1-0.6t0.27,整理得=t0.27,两边取常用对数,得lg= 0.27lg t,即1-lg 3-2lg 2=0.27lg t,所以lg t=≈= -,则t=1≈10-0.3≈1=0.5,故选C. 解析 6.(2026·深圳模拟)为了给地球减负,提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)(　　) A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年 设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5 000(1+20%)x>12 800,即1.2x>2.56,则x·lg 1.2>lg 2.56=lg= lg 256-2=8lg 2-2,即x>≈≈5.16.所以x=6,即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选D. 解析 二、多项选择题 7.长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下: (ⅰ)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]; (ⅱ)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (ⅲ)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变. 记x为调度前该水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式,则满足此次联合调度要求的函数解析式有(　　) A.y=-x2+6x B.y=x+50 C.y=|x-1| D.y=10 对于A,函数y=-x2+6x图象的对称轴为x=-=60,所以ymax=- ×602+6×60=180,超出了值域范围,A不符合题意.对于B,函数y=x+50,x∈[0,100]时,y∈[50,100],且y=x+50在[0,100]上单调递增,y -x=-x+50∈[0,50],即y≥x,B符合题意.对于C,函数y=|x-1|在[0,1]上单调递减,在[1,100]上单调递增,C不符合题意.对于D,函数y=10为增函数,且x∈[0,100]时,y∈[0,100],y-x=10-x=(10-),又0≤≤ 10,所以(10-)≥0,则10≥x,即y≥x,D符合题意.故选BD. 解析 8.如图,一座小岛与海岸线上的点P距离最近,最近距离是2 km,从P点沿海岸线正东12 km处有一个城镇.假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上,再步行去城镇,驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸线处距P点的距离,d1表示他驾驶小船的行驶距离.设u=+x,v=-x,则(　　) A.函数v=f(u)为增函数 B.15t-u-4v=36 C.当x=2时,此人从小岛到城镇花费的时间最少 D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间超过3 h 对于A,由0≤x≤12,u=+x单调递增,可得u∈[2,2+12],v= -x==,则v=f(u)在[2,2+12]上单调递减,A错误;对于B,t=+=+,所以15t-u-4v=5+3(12-x)-(+x)-4(-x)=(5-1-4)+36+(-3-1+4)x=36,B正确; 解析 对于C,由B可得15t=u+4v+36=u++36≥2+36=44,当且仅当u=4时,取等号,此时x+=4,即x=,C错误;对于D,当x=4时,t=+=+,t-3=-=>0,即t>3,D正确.故选BD. 解析 三、填空题 9.(2026·郑州模拟)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为　 　元.  因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 解析 4.24 10.某厂家生产某种产品的总成本y(元)与产量x(个)之间的关系为y= -x2+210x+75(0<x<200,x∈N*),若该产品的售价为200元/个,要使厂家盈利,则至少需要出售该产品　　　　个.  因为该产品的售价为200元/个,所以200x-(-x2+210x+75)>0,即x2-10x-75=(x-15)(x+5)>0,解得x>15或x<-5(舍去),所以至少需要出售该产品16个才能盈利. 解析 16 11.(2026·武汉模拟)为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1 020万块,那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约　　　　　万块.(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.5≈0.61,e-0.6≈0.55,e-0.7≈0.49)  36 根据题意,所给模型中y0=20,N=1 020,p=10%=0.1,x=6,则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y==≈ ≈36,所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 解析 四、解答题 12.近日,随着暑期来临,某市政府积极制定政策,决定政企联动,为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供x(x∈(0,20])(万元)的专项补贴.某制衣有限公司在收到该市政府x(万元)补贴后,产量将增加到t=(x+3)(万件).同时某制衣有限公司生产t(万件)产品需要投入成本为(万元),并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间,加班追产所获收益y(万元)关于政府补贴x(万元)的表达式; (1)y=t+x-=t+42-2x-,因为t=x+3,所以y=x+3+42-2x-=45-x-,x∈(0,20]. 解 (2)该市政府的专项补贴为多少万元时,某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益y(万元)最大? (2)y=45-x-=-+48,因为x∈(0,20],所以x+3>0,> 0,由基本不等式得(x+3)+≥2=18,当且仅当x+3= ,即x=6时,等号成立,y=-+48≤48-18=30,故当该市政府的专项补贴为6万元时,所获收益y取得最大值30万元. 解 13.随着我国经济发展,医疗消费需求增长,人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响,医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台,每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)=由市场调研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入-成本); (1)当0<x≤40时,W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2x2+120x-300;当40<x≤100时,W(x)=200x--300=- +1 800,W(x)= 解 (2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大?最大利润是多少? (2)若0<x≤40,W(x)=-2(x-30)2+1 500,当x=30时,W(x)max=1 500万元;若40<x≤100,W(x)=-+1 800≤-2+1 800=-120+ 1 800=1 680,当且仅当x=时,即x=60时,W(x)max=1 680万元,由于1 680>1 500,故该产品的年产量为60台时,公司所获利润最大,最大利润是1 680万元. 解 14.(2026·西安模拟)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似符合: Q(t)=(其中e为自然对数的底数,e≈2.718 28…),给出下列四个结论,根据上述关系,其中错误的结论是(　　) A.该生物群的数量不超过10 B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小 C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比 D.该生物群的数量的增长速度最大的时间t0∈(2,3) 素养提升 对于A,Q(t)==10-,则该生物群的数量不超过10,A正确.对Q(t)=求导得Q'(t)===,可得该生物群的数量的增长速度与种群数量不成正比,令f (t)=et+81e-t,则f'(t)=et-81e-t,令f'(t)=0,解得t=ln 9,当0≤t≤ln 9时,f'(t)≤0,f(t)单调递减,t>ln 9时,f'(t)>0,f(t)单调递增,所以当t=ln 9时,f(t)取得极小值,且为最小值,此时Q'(t)取得最大值,则该生物群的数量的增长速度先变大后逐渐变小,该生物群的数量的增长速度最大的时间t0=ln 9,而由 ln 9=2ln 3∈(2,3),知B、D正确.故选C. 解析 15.(多选题)当一束光通过一个吸光物质(通常为溶液)时,溶质吸收了光能,光的强度减弱.吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量,其影响因素有溶剂、浓度、温度等.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际生产和生活中,通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能,著名的朗伯-比尔定律表明了两者之间的等量关系为A=-lg T=lg,其中A是吸光度,T为透光率,I0为入射光强度,I为透射光强度.某化学有机高分子材料研究所测得了不同有机高分子材料的透光率(如下表): 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为A1,A2,A3,则(　　) A.<2 B.A2-A3<A1 C.A1+A3>2A2 D.A1A3> 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 T 0.6 0.7 0.8 由题意可知,A1=-lg 0.6,A2=-lg 0.7,A3=-lg 0.8.对于A选项,2A2=-2lg 0.7 =-lg 0.49,而y=lg x在定义域内单调递增,且0.49<0.6,所以lg 0.6> lg 0.49,即-lg 0.6<-lg 0.49,所以A1<2A2,又A2>0,所以<2,A正确.对于B选项,A2-A3=-lg 0.7+lg 0.8=-lg,因为>0.6,所以lg>lg 0.6,即-lg< -lg 0.6,所以A2-A3<A1,B正确.对于C选项,A1+A3=-lg 0.6-lg 0.8= -lg 0.48,因为0.48<0.49,所以lg 0.48<lg 0.49,即-lg 0.48>-lg 0.49,所以 解析 A1+A3>2A2,C正确.对于D选项,A1A3=(-lg 0.6)(-lg 0.8)=lg 0.6·lg 0.8, =(-lg 0.7)2=(lg 0.7)2,==log0.70.6,= =log0.80.7.log0.70.6-=log0.7=log0.7=log0.7 <log0.71=0,log0.80.7-=log0.8=log0.8=log0.8>log0.81=0, 解析 所以log0.70.6<log0.80.7,则有<,又lg 0.7·lg 0.8>0,则A1A3<,D错误.故选ABC. 解析 $