第八节函数模型的应用课件-2027届高三数学一轮复习

第八节 第二章　函数与基本初等函数 函数模型的应用 【目标要求】　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义. 1.三种函数模型性质比较 　 　函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调_________ 单调_________ 单调_________ 递增 递增 递增 [微点清]　“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 增长 速度 越来越________ 越来越_______ 相对平稳 图象的变化 随x值增大,图象与_______轴接近平行 随x值增大,图象与_______轴接近平行 随α值变化而各有不同 快 慢 y x 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数相关模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数相关模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数相关模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0) 1.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 2.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(　　) (2)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　) “指数爆炸”是针对a>0,b>1的指数型函数g(x)=a·bx+c. 解析 (3)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>1)的增长速度.(　　) (4)在选择函数模型解决实际问题时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　) 由指数函数与幂函数的图象与性质可知,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>1)的增长速度. 解析 模型只是近似模拟,与实际问题不一定完全一致,错误. 解析 2.下列函数中,增长速度最慢的是(　　) A.y=2 026x B.y=log2 026x C.y=x2 026 D.y=2 026x 根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异,可知对数函数增长速度最慢. 解析 3.某灯具商店销售一种节能灯,每件进价10元,每月销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元)之间满足如下关系式:y=-10x+500(20<x≤40且x∈N).则灯具商店每月的最大利润为(　　) A.3 000元 B.4 000元 C.3 800元 D.4 200元 设灯具商店每月的利润为z元,则z=(x-10)(-10x+500)=-10(x-30)2+ 4 000≤4 000,故选B. 解析 4.(人A必一P156T12改编)有一组实验数据如下表所示:   则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　) A.y=2x+1-1 B.y=x3 C.y=2log2x D.y=x2-1 x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 将各点(x,y)分别代入各函数可知,最能体现这组数据关系的函数模型是y=x2-1.故选D. 解析 5.(人A必一P155T6改编)一个容器装有细砂a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细砂量为y=ae-btcm3,经过 8 min后发现容器内还有一半的细砂,则再经过______min,容器中的细砂只有开始时的八分之一. 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,所以e-8b=,若容器中的细砂只有开始时的八分之一,则y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,即t=24,所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一. 解析 16 【例1】　(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度,当血药浓度介于最低有效浓度和 最低中毒浓度之间时药物发 挥作用.某种药物服用1单位 后,体内血药浓度变化情况 与相关阈值如图所示(服用 药物时间对应0时),则下列说法中正确的有(　　) 考点一 用函数图象的变化刻画变化过程 A.服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B.若每次服药1单位,首次服药后,2.5小时之内不能再次服药 C.若每次服药1单位,首次服药后,3小时之后可以再次服药 D.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用 对于A,从题图的持续期可以得出,服用药物后10分钟到5.5小时之 间,血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间,药物发挥作 用,A正确.对于B,服药1单位后,若2.5小时后再次服药,则在首次服药3.5小时后,即第2次服药1小时后,体内血药浓度将会超过最低中毒浓度,会引起中毒,因此若每次服药1单位,首次服药后,2.5小时之内不能再次服药,B正确.对于C,服药1单位后,若3小时后再次服药,则在首次服药4小时后,即第2次服药1小时后,血药浓度将会超过最低中 解析 毒浓度,引起中毒,C错误.对于D,第一次服药10分钟到5.5小时之内,药物会持续发挥治疗作用,第1次服药5.5小时后第2次服药,由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度,从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度,同时观察两次累计的最大值,不会超过最低中毒浓度,D正确.故选ABD. 解析 以图表为工具记录数据,是生活中形象化处理数据的常用手段,这类问题一般不难,看清楚图中横、纵轴的意义,明白图象走势代表的变化关系,即可轻松得解. 【训练1】　(多选题)某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时长为6 h),得到了剩余电量y(单位:百分比)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断中正确的有(　　) A.测试结束时,该手机剩余电量为85% B.该手机在前5 h内电量始终在匀速下降 C.该手机在0~3 h内电量下降的速度比在 3~5 h内下降的速度更慢 D.该手机在5~6 h进行了充电操作 解析 【例2】　(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0 (p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 考点二 已知函数模型的实际问题 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析 解析 求解已给函数模型的实际问题的关注点 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. 3.利用该模型求解实际问题. 【训练2】　为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降,某造纸企业引进了一种新的废水净化技术,已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为P0=1 mg/L,首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为P1=0.94 mg/L,第n次净化后所排放的废水中的污染物的浓度Pn=P0-(P0-P1)×30.5n+t(t∈R,n∈N*)(单位:mg/L),依据当地环保要求,企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过0.04 mg/L,为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标,则废水净化的次数至少为(　　)(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) A.4 B.5 C.6 D.7 解析 【例3】　某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2025年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(　　) A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年 考点三 构建函数模型的实际问题 解析 【训练3】　人工放射性核素碘⁃131可发射β射线治疗甲亢,已知该物质的半衰期为8天,设质量为a的碘⁃131经过x天后剩留的质量为y,则y关于x的函数解析式是(　　) A.y=a,x∈N* B.y=a,x∈N* C.y=a,x∈N* D.y=a,x∈N* 解析 对于A,由图象可得,当t=6时,y=85,所以测试结束时,该手机剩余电量为85%,故A正确;对于B,当t∈[0,5]时,函数图象不是一条直线,故不是匀速下降,故B错误;对于C,由图象可得,在0~3 h内电量下降的速度为=,在3~5 h内电量下降的速度为=10,因为>10,所以该手机在0~3 h内电量下降的速度比在3~5 h内下降的速度更快,故C错误;对于D,由图象可得该手机在5~6 h电量上升了55%,所以进行了充电操作,故D正确.故选AD. 因为Lp=20×lg随着p增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以 p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,不可能成立,故B不正确;因为= =1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 因为P0=1 mg/L,P1=0.94 mg/L,所以0.94=1-(1-0.94)×30.5+t,解得t=-0.5,即Pn=1-0.06×30.5n-0.5(n∈N*),设第n次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过0.04 mg/L,则1-0.06×30.5n-0.5≤0.04,即30.5n-0.5 ≥16,0.5n-0.5≥log316,所以n≥8log32+1=+1≈,因为n∈N*,所以废水净化的次数至少为7次.故选D. 设研发资金开始超过200万元的年份是n,则第n年投入的研发资金为130(1+12%)n-2 025,则130(1+12%)n-2 025≥200,即(1+12%)n-2 025≥,所以n-2 025≥≈3.8,所以n≥2 029.所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2029年.故选B. 解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作答.以上过程可简洁表述为: 由题意,经过一个半衰期(8天)后,剩留的质量y=a×,经过两个半衰期(16天)后,剩留的质量y=a×,经过三个半衰期(24天)后,剩留的质量y=a×,…,经过x天后,剩留的质量y=a×,x∈N*.故选A. $