函数的奇偶性与周期性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据高考评价体系梳理了奇偶性判定、周期性应用、单调性综合三大核心考点，通过典型例题分析明确周期性计算占30%、奇偶性与单调性结合占45%的高频考查方向，归纳出抽象函数性质判断、函数值比较等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于真题模拟与素养提升并重，如第6题结合奇偶性与周期性求16项和，解析中运用“性质转化法”培养学生的数学思维和逻辑推理能力。特设易错点分析（如分段函数奇偶性判定）和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，助力学生高效冲刺高考。

函数的奇偶性与周期性 一、单项选择题 1.已知函数f(x)满足对于任意的实数x,都有f(x+3)=,且f(4)=,则 f(2 026)=(　　) A.- B. C.-1 D.1 基础过关 由f(x+3)=得f(x)的周期T=6,f(2 026)=f(337×6+4)=f(4)=. 解析 2.若偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-), f(π), f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 因为f(x)是偶函数,故f(-)=f(),f(-3)=f(3),又因为当x∈[0,+∞)时, f(x)单调递增,由<3<π可得f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-). 解析 3.已知奇函数f(x)在R上单调递减,若f(2m)+f(m+2)<f(0),则m的取值范围为(　　) A. B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D. 因为奇函数f(x)在R上有定义,所以f(0)=0,所以f(m+2)<-f(2m)=f(-2m),所以m+2>-2m,解得m>-.所以m的取值范围为.故选D. 解析 4.设函数f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=x2+ax-2,则f=(　　) A.- B.- C.- D.- 因f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又因f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),则有f(-x)=f(x+2),故得f(x+2)=-f(x),即得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故4是函数f(x)的一个周期.又f(x)为R上的奇函数,故f(0)=f(2)=4+2a-2=0,解得a= -1,则f=f=f=--2=-.故选C. 解析 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对于任意的x1>x2,都有f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),且f(2)=16,则不等式4x-8<f(x)<4x的解集为(　　) A.(0,2) B.(-2,0) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞) 因为f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),所以f(x1)-4x1>f(x2)-4x2,设g(x)=f(x)-4x,因为x1>x2,g(x1)>g(x2),则g(x)=f(x)-4x在R上是增函数,因f(2)=16,故g(2)=f(2)-8=8,因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以g(x)=f(x)-4x为奇函数,所以g(-2)=-8,g(0)=0,不等式4x-8<f(x)<4x可转化为-8<f(x)-4x<0,即g(-2)<g(x)<g(0),所以-2<x<0,即4x-8<f(x)<4x的解集为(-2,0).故选B. 解析 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)-1为奇函数,f(x+2)为偶函数,则f(1)+f(2)+…+f(16)=(　　) A.0 B.16 C.22 D.32 因为f(x)-1为奇函数,则f(0)=1,且函数f(x)的图象关于(0,1)中心对称,即f(x)+f(-x)=2,因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(2-x),则f(x+4)=f(-x),所以f(x)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x+8)=2,所以f(x)=f(x+8),故f(x)的周期为8,因为f(1)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+f(7)=2,f(4)+f(8)=2,所以f(1)+f(2)+…+ f(16)=2[f(1)+f(2)+…+f(8)]=16,故选B. 解析 二、多项选择题 7.(2026·海口模拟)下列函数是奇函数且为增函数的是(　　) A.y=x3 B.y=ex+e-x C.y=x+sin x D.y=- 对于A选项,函数y=x3是定义域为R的奇函数,且为增函数,A满足条件;对于B选项,设f(x)=ex+e-x,该函数的定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),故 解析 函数y=ex+e-x为偶函数,B不满足条件;对于C选项,设g(x)=x+sin x,该函数的定义域为R,g(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-g(x),故函数y=x+sin x为奇函数,g'(x)=1+cos x≥0对任意的x∈R恒成立,所以,函数y=x+sin x在(-∞,+∞)上为增函数,C满足条件;对于D选项,函数y=-为奇函数,且该函数在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调,D不满足条件.故选AC. 解析 8.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y)-1,则下列说法正确的有(　　) A.f(1)=1 B.函数y=是奇函数 C.f(x+1)=f(x-1)+2 D.当x>1时,f(x)>1,则f(x)在(0,+∞)上单调递减 取x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)-1,解得f(1)=1,A说法正确;取x=y=-1得f(1)= f(-1)+f(-1)-1,解得f(-1)=1,取y=-1得f(-x)=f(x)+f(-1)-1=f(x),f(x)是偶函 数,所以=-且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以y=是奇函数,B说法正确;由f(-1)=f(1)=1知,当x=0时,f(x+1)=f(x-1)+2不成立,C说法错误;设x2>x1>0,则>1,f=f(x2)=f+f(x1)-1>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,D说法错误;故选AB. 解析 三、填空题 9.写出一个同时满足下列3个性质的函数f(x)=　　　　　　　　　.  ①f(x)是偶函数;②f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;③f(x)的最小值为2. 考虑为偶函数的二次函数,设f(x)=ax2+b,a≠0,因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,则a>0,故f(0)=2,解得b=2,所以a>0时满足题意,取a=1,则f(x)=x2+2. 解析 x2+2(答案不唯一) 10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)=　　　　.  定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),则f(x-2)=-f(x),所以f((x-2)-2)=-f(x-2)=-(-f(x))=f(x),即-4是函数f(x)的一个周期,而8<12<16,则3<log212<4,-1<log212-4<0,又当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log212)= f(log212-4)=f=f=-f=-=-. 解析 - 11.若函数f(x)=在区间[-2 026,2 026]上的最大值为4,则最小值为 　　　　.  因为f(x)===+2,令g(x)=,x∈[-2 026,2 026],则f(x)=g(x)+2,因为g(-x)===-g(x),所以函数g(x)为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称,所以g(x)在[-2 026,2 026]上的最大值和最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0,则f(x)max+f(x)min=g(x)max+ g(x)min+4=4,因f(x)max=4,故f(x)min=0. 解析 0 四、解答题 12.已知f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值; (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x2-2x,因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x(x<0),所以m=2; 解 (2)作y=f(x)的图象; (2)当x>0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当x=0时,f(x)=0,当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,故函数f(x)图象如图所示. 解 (3)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求a的取值范围.(不必写出演算过程) (3)要使f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,结合图象可知,-1<a-2≤1,解得1<a≤3,所以实数a的取值范围是(1,3]. 解 13.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=2×4x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=2×4x　①,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).所以f(-x)+g(-x)=2×4-x,即f(x)-g(x)=2×4-x　②.由①②解得f(x)=4x+4-x,g(x)=4x-4-x. 解 (2)若方程mf(x)=(g(x))2+2m+9有解,求实数m的取值范围. (2)方程mf(x)=(g(x))2+2m+9有解,即m(4x+4-x)=(4x-4-x)2+2m+9=(4x+4-x)2+2m+5.令t=4x+4-x≥2,当且仅当x=0时取等号,所以mt=t2+2m+5在[2,+∞)上有解,即m(t-2)=t2+5.当t=2时,不成立.当t>2时,m== =(t-2)++4≥2+4=6+4=10,当且仅当t=5时取等号,故实数m的取值范围是[10,+∞). 解 14.定义在R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x+2)=(x+2)f(x),且f(2)=4.则 [f(2k)+f(-2k)]=(　　) A.30 B.60 C.90 D.120 素养提升 由题意可知,=,且=2,则=====2,所以f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=2(2+4+6+8+10)=60,因为函数f(x)为偶函数,所以f(-2)+f(-4)+f(-6)+f(-8)+f(-10)=60,则 [f(2k)+f(-2k)]=60+60=120.故选D. 解析 15.(2026·皖南模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)-3ex是奇函数,则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 因为函数y=f(x)+ex为偶函数,则f(-x)+e-x=f(x)+ex,即f(x)-f(-x)=e-x-ex　①,又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数,则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex,即f(x)+f(-x)=3ex+ 3e-x　②,联立①②可得f(x)=ex+2e-x,所以f(ln 3)=eln 3+2e-ln 3=. 解析 16.若函数f(x)=log4(24x+1)+(x+a)2满足f(|x|)+|x|=f(x)+x,则a=　　　.  函数f(x)满足f(|x|)+|x|=f(x)+x,则y=f(x)+x是偶函数,所以f(x)-f(-x)+2x=0,即log4+(4a+2)x=2x+(4a+2)x=0,所以a=-1. 解析 -1 $