第3节 函数的奇偶性和周期性课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　函数的奇偶性和周期性 课标解读　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.了解函数周期性的概念和几何意义.3.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D 且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数  关于　　　对称  奇函数 且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数  关于　　　对称  f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 微点拨 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)是偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)是奇函数. 2.函数图象关于y轴对称,必为偶函数;关于原点对称,必为奇函数.互为充要条件. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　,那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个　　　　　　　就叫做f(x)的最小正周期.  微点拨 若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 常用结论 1.(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|). (2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数) (1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a; (2)若f(x+a)=,则周期T=2a; (3)若f(x+a)=-,则周期T=2a; (4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(　　) (2)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y=f(x)是奇函数.(　　) (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(　　) (4)若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3.(　　) × 解析 0不一定在函数的定义域内. × 解析 只有对函数的定义域内的任意的自变量的值x,都有-x也在这个定义域内,且有f(-x)=-f(x),才能判定f(x)是奇函数. √ √ 2.(多选题)(人A必修一教材例题改编)下列函数是奇函数的是(　　) A.y=sin x B.y=cos x C.y=x3 D.y=2x AC 解析 对于A,由正弦函数的性质可知y=sin x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知y=cos x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知y=2x为非奇非偶函数.故选AC. 3.(2025·全国1,5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　) A.- B.- C. D. A 解析 由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立,于是f(-)=f()=f() =5-2=-故选A. 4.(2023·全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+)为偶函数,则a=　　　　　.  2 解析 由题意整理得f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+)=x2+(a-2)x+cos x+1,所以f(-x) =(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos x+1,因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,解得a=2. 5.(人A必修一教材习题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为　　 　 　　.  f(x)= 解析 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x(1-x),又因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=x(1-x),故函数解析式为f(x)= 考点一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)= (3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (4)f(x)=|x+1|-|x-1|; (5)f(x)=. 考点一 考点二 考点三 解 (1)由题意知,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)(方法一　定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1 =x2-2x-1=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数. (方法二　图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 考点一 考点二 考点三 (3)因为f(x)的定义域为[-1,4],不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (4)f(x)的定义域为R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (5)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,所以x+2>0,所以f(x)=,定义域为[-1,0)∪(0,1].所以f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 考点一 考点二 考点三 例2　(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)=-f(-x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则y=f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇函数 AD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,若∀t∈R,当t>0时,令t=x2,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(t)=-f(-t), 即f(-t)=-f(t); 当t=0时,令t=x2=0,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(0)=-f(-0),即f(0)=0; 当t<0时,令t=-x2,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(-t)=-f(t), 综上,∀t∈R,f(-t)=-f(t),所以f(x)是奇函数,故A正确; 对于B,在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,得2[f(0)]2=2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),故B错误; 对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,故C错误; 考点一 考点二 考点三 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令x=y=0,得f(0)=0; 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0; 令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0; 令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则该函数既非奇函数也非偶函数;若定义域关于原点对称,则进一步判断是否满足f(-x)=f(x)(偶函数)或f(-x)=-f(x)(奇函数). (2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域) 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2024·天津,4)下列函数是偶函数的是(　　) A. B. C. D. B 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,设f(x)=,则f(x)的定义域为R,由f(-1)=,f(1)=, 得f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数,A不符合; 对于B,设g(x)=,则g(x)的定义域为R,且g(-x)= =g(x),所以g(x)为偶函数,B符合; 对于C,设h(x)=,则h(x)的定义域为{x|x≠-1},显然定义域不关于原点对称,所以h(x)不是偶函数,C不符合; 对于D,设φ(x)=,则φ(x)的定义域为R,由φ(-1)=,φ(1)=,得φ(-1)≠φ(1),所以φ(x)不是偶函数,D不符合.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·广东汕头模拟)已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x)+f(y)=2f()·f(),f(0)≠0,则f(x)是　　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  偶 解析 令x=y=0,则2f(0)=2f(0)·f(0).因为f(0)≠0,所以f(0)=1. 由题意知f(x)的定义域为R,关于原点对称,令y=-x,因为f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 考点一 考点二 考点三 考点二　函数奇偶性的应用 例3　(1)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=+ax3-bx-5,且f(-2)=2,那么f(2)等于(　　) A.-12 B.2 C.-18 D.10 A 解析 令g(x)=+ax3-bx,因为x≠0,且g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数. 因为f(-2)=g(-2)-5=2,所以g(-2)=7,从而g(2)=-7,故f(2)=g(2)-5=-12.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·新高考Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 B 考点一 考点二 考点三 解析 (方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 不妨令x=1,则有f(-1)=f(1), ∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln,∴-1+a=-1-a,∴a=0. 此时f(x)=xln,易知函数f(x)的定义域为, f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x),∴a=0符合题意. (方法二)设g(x)=ln,函数g(x)的定义域是 g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),∴函数g(x)是奇函数.而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.故选B. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人B必修一教材习题)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,求实数a的值. 解析 (方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 不妨令x=1,则有f(-1)=f(1), ∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln, ∴-1+a=-1-a,∴a=0. 此时f(x)=xln,易知函数f(x)的定义域为, f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x),∴a=0符合题意. 考点一 考点二 考点三 (方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3, ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴x2-(a-2)x+3=x2+(a-2)x+3, ∴a-2=0,∴a=2. (方法三)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,∵f(x)为偶函数, ∴f(-1)=f(1),∴1-(a-2)+3=1+(a-2)+3,∴a=2,∴f(x)=x2+3,满足对任意x∈R,有f(-x)=f(x), ∴a=2. 考点一 考点二 考点三 (3)设定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　 　　　.  (-∞,-2)∪(0,2) 解析 因为对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.由xf(x)<0,可得 又f(x)为偶函数,且f(2)=0, 所以可作出y=f(x)的示意图如图所示. 由图可知不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 考点一 考点二 考点三 (4)(2025·广东广州模拟)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=eax.若f(ln 2)=-16,则a=　　　　　.  -4 解析 因为f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=eax. 所以当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-e-ax. 又ln 2∈(0,1),f(ln 2)=-16,所以-e-aln 2=-16,所以e-aln 2=16, 所以-aln 2=ln 16=4ln 2,解得a=-4. 考点一 考点二 考点三 规律方法　已知函数奇偶性可以解决的四个问题 求函 数值 利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解 求解 析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出 求参数 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数 画图象 利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·湖北襄阳模拟)设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=(　　) A.-log2x B.log2(-x) C.logx2 D.-log2(-x) D 解析 当x<0时,-x>0,f(-x)=log2(-x), 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-log2(-x).故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(原创题)已知函数f(x)=是偶函数,则实数b的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 C 解析 函数f(x)的定义域是{x|x∈R,x≠0}.由f(-x)=f(x),得,得e(2-b)x=ebx,故2-b=b,解得b=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点三　函数的周期性 例4　(1)(2025·江西新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)=-5, f(17)=3,f(x+1)=f(x)+f(x+2),则f(2 026)=(　　) A.5 B.-5 C.2 D.-2 D 解析 由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x,得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1). 两式相加,得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)=3,所以f(5)=f(17)=3,又f(5)=-f(2),所以f(2)=-3.又f(2)=f(1)+f(3),即-3=f(1)-5,解得f(1)=2,所以f(2 026)=f(337×6+4)=f(4) =-f(1)=-2.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·四川内江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足 f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=(　　) A.0 B.2 025 C.2 024 D.2 D 解析 因为f(1-x)=f(1+x),且函数f(x)是定义在R上的奇函数, 则f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)+f(x)=0, 令x=1,可得f(3)+f(1)=0;令x=2,可得f(4)+f(2)=0. 可得f(x+4)+f(x+2)=0,则f(x+4)=f(x),可知4为f(x)的一个周期,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=f(1)+506×0=2.故选D. 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·福建莆田模拟)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈(4,6]时f(x)=2x+1,则f(x)在区间[-2,0)上的表达式为　　　 　　.  f(x)=-2-x+4-1 解析 当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],所以-x+4∈(4,6],又当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,所以f(-x+4)=2-x+4+1, 又f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为T=4,所以f(-x+4)=f(-x). 又函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-x+4+1, 所以当x∈[-2,0)时,f(x)=-2-x+4-1. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求和、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·江苏淮安模拟)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(2)=,则f(2 024)=(　　) A.- B. C.-4 D.4 D 解析 因为f(x+2)=,所以f(x+4)==f(x),则f(x)的周期为4, 又f(2)=,所以f(0)=4, 所以f(2 024)=f(4×506)=f(0)=4.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东威海模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=-f(x+2),若f(2)=2,则f(i)=(　　) A.0 B.2 C.8 D.10 B 解析 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).因为f(x)=-f(x+2), 所以f(1)=-f(3),f(2)=-f(4), 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 令x=-1,得f(-1)=-f(1), 即f(1)=-f(1),所以f(1)=0,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以4为函数f(x)的一个周期. 所以f(i)=f(1)+f(2)+4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2.故选B. 考点一 考点二 考点三 $