第二节　第2课时　函数的奇偶性与周期性课件-2027届高三数学一轮复习

第二节 第二章　函数与基本初等函数 函数的基本性质 第2课时　函数的奇偶性与周期性 第二节 【目标要求】　1. 结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有 -x∈D,且___________,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______ 对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有 -x∈D,且__________,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______ 对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且_______________,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数,那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 1.奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数. 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任意自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函 数.(　　) 如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)= f(x)+g(x)=F(x),则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数,正确. 解析 (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　) 如f(x)=的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,而f(x)=的图象不过原点,所以奇函数的图象不一定过原点,所以错误. 解析 (3)若T是函数f(x)的周期,则kT,k∈N*也是函数f(x)的周期.(　　) (4)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　　) 若T是函数f(x)的周期,则f(x+T)=f(x),所以f(x+kT)=f(x)(k∈N*),所以kT,k∈N*也是函数f(x)的周期,所以正确. 解析 若奇函数f(x)在x=0处没有定义,则f(0)不存在,错误. 解析 2.(人A必一P84例6改编)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)=|x-1| B.f(x)=x+ C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=ex+e-x 对于A,函数f(x)=|x-1|的定义域为R,关于原点对称,任取x=3,则-x=-3, f(-3)=4,f(3)=2,因f(-3)≠f(3),故f(x)=|x-1|不是偶函数;对于B,函数f(x)= x+的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,任取x=3,则-x=-3,f(-3)=-, 解析 f(3)=,因f(-3)≠f(3),故f(x)=x+不是偶函数;对于C,函数f(x)=ex-e-x的定义域为R,关于原点对称,任取x=3,则-x=-3,f(-3)=e-3-e3,f(3)=e3-e-3,因f(-3)≠f(3),故f(x)=ex-e-x不是偶函数.对于D,函数f(x)=ex+e-x的定义域为R,关于原点对称,因f(-x)=e-x+ex=ex+e-x=f(x),故f(x)=ex+e-x是偶函数.故选D. 解析 3.(人A必一P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)的解析式是f(x)=(　　) A.-x(1+x) B.x(1-x) C.x(1+x) D.-x(1-x) 解析 4.已知偶函数f(x)的定义域为R,且当x>0时,f(x)=-3x+m,若f(-2)=-7,则f(3)=(　　) A.-11 B.-15 C.-25 D.-29 由偶函数的性质可知,f(-2)=f(2)=-9+m=-7,得m=2,即x>0时,f(x)=-3x+2, f(3)=-27+2=-25.故选C. 解析 5.已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)+f(-2a)>0,则实数a的取值范围是_________. (-3,1)　 f(x)=x2+2x(x≥0)是增函数,且f(0)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在R上是增函数.由f(3-a2)+f(-2a)>0,得f(3-a2)>-f(-2a)=f(2a),于是3-a2>2a,解得-3<a<1.故a∈(-3,1). 解析 (1)下列函数中,是奇函数且在定义域内是减函数的是(　　) A.y=x B.y= C.y=-x|x| D.y=2-x 考点一 函数奇偶性的判断………………自练自悟 解析 解析 (2)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析 (3)(2026·新乡模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),则下列结论一定正确的是(　　) A.f(x)+1是奇函数 B.f(x-1)是奇函数 C.f(x)-1是奇函数 D.f(x+1)是奇函数 对于B,因为f(x+y+1)=f(x)+f(y),令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1),所以 f(-1)=0.令y=-2-x,则f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0,故f(x)的图象关于点(-1,0)对称,则f(x-1)的图象关于点(0,0)对称,即f(x-1)是奇函数,故B正确;对于 解析 C,令x=y=0,可得f(1)=f(0)+f(0),则f(0)=f(1),当f(1)≠2时,f(0)-1≠0,此时f(x)-1不可能是奇函数,由于无法确定f(1)的值,故f(x)-1不一定是奇函数.对于A,D,取f(x)=x+1,满足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)+1=x+2与f(x+1)=x+2都不是奇函数,故A,D错误. 解析 (4)已知不恒等于零的函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(1)=,则函数f(x)是_____函数(选奇、偶填空),f(2 026)= ______. 分别令x=1,y=0得f(1)+f(1)=2f(1)f(0),又f(1)=,则f(0)=1,令x=0,则f(y)+ f(-y)=2f(0)f(y),即f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数;令y=1,则f(x+1)+f(x-1)= f(x),用x+1替换x得f(x+2)+f(x)=f(x+1),所以f(x+2)+f(x-1)=0,在f(x+2)+ f(x-1)=0中用x+3替换x,得f(x+5)+f(x+2)=0,所以f(x+5)=f(x-1),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2 026)=f(6×337+4)=f(4)=-f(1)= -. 解析 偶 - 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 1.定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 考向❶利用奇偶性求解析式 【例1】　(1)(2026·昆明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当且仅当x>0时,f(x)=ln x,则当x<0时,f(x)的解析式为_______________. 考点二 函数奇偶性的应用 解析 f(x)=-ln(-x) (2)如图,下列函数的图象和如图最接近的是(　　) A.sin x B.cos x C. D. 解析 解析 考向❷求参数值 【例2】　已知函数f(x)=为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.1 C.0 D.-2 解析 [-1,+∞) 解析 利用函数的奇偶性可以解决以下问题 1.求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. 2.求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出. 3.求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❸ ❷ ❶ (1)已知定义在R上的函数g(x)=ex-e-x+f(x),其中g(x)是奇函数且在R上单调递减,f(log2x)+f(2)>0的解集为(　　) A. B. C. D.(4,+∞) 解析 (2)已知函数f(x)=为奇函数,其中a,b∈R,则a+b=_____. -2 解析 (3)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时有f(x)=x3-|x-2|,则f(x)的解析 式为　　　　　　　　　　　　. 解析 【例4】　(1)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数且f(x)+f(x+2)=0.若x∈[1,2)时,f(x)=4-x2,则f(2 029)+f(0)的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 考点三 函数的周期性 因为f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x+2)=f(-x)　①.因为f(x)+f(x+2)=0,所以f(x)=-f(x+2)　②,所以f(x+2)=-f(x+4)=-f(x),即f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 029)=f(4×507+1)=f(1)=4-1=3.由①②可知f(x)=-f(-x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.所以f(2 029)+f(0)=3. 解析 解析 1.求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 【训练】　设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的函数,且f(x)是偶函 数,在区间[2,3]上时,f(x)=-2(x-3)2+4.则当x∈[1,2]时,f(x)的解析式为_______________. 设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),又2是f(x)的周期,则4也是f(x)的周期,所以f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4. 解析 f(x)=-2(x-1)2+4 函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x).故选A. 函数y=lox定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,故该函数不是奇函数,选项A错误;设f(x)=,定义域为{x|x≠0},由f(-1)=-1,f(1)=1得,f(-1)<f(1),故f(x)=在定义域内不是减函数,选项B错误;设h(x)=-x|x|,定义域为R,由 h(-x)=x|x|=-h(x)知函数h(x)为奇函数,当x≥0时,h(x)=-x2在[0,+∞)上单调递减,又h(x)为奇函数,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递减,故h(x)=-x|x|在定义域内是减函数,选项C正确;设m(x)=2-x=,定义域为R,由指数函数性质知m(x)不是奇函数,选项D错误.故选C. 对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)= ==f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f(-x)== =-=-f(x),故f(x)是奇函数.故选B. 因为f(x)是奇函数,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-ln(-x),所以当x<0时,f(x)= -ln(-x). 对于A,函数f(x)=sin x=sin x,定义域为R,f(-x)= sin(-x)=sin x=f(x),函数为偶函数,f(0)=0,f(x)在x=0右侧的第一个零点是x=π,x∈(0,π),f(x)>0;x∈(π,2π),f(x)<0,符合题意,A项正确;对于B,函数f(x)=cos x=cos x,定义域为R,f(-x)= cos(-x)=cos x=-f(x),函数为奇函数,函数图象关于原点对称,不合题意,B项错误;对于C,函数f(x)==sin x,定义域 为R,f(-x)=sin(-x)=sin x=f(x),函数为偶函数, f(0)=0,f(x)在x=0右侧的第一个零点是x=π,但x∈(0,π),f(x)<0,不合题意,C项错误;对于D,函数f(x)==cos x,定义域为R,f(-x)= cos(-x)=cos x=f(x),函数为偶函数,但f(0)=2,不合题意,D项错误.故选A. 根据题意,函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即=,也就是=,因为xsin x不恒为0,所以(-2x-1)(-2x+a)= (2x-1)(2x+a)恒成立,即2(1-a)x=2(a-1)x恒成立,则a=1.故选B. 考向❸解不等式 【例3】　已知函数f(x)满足:f(x)=则不等式f(x)+≥0的解集为_____________. 根据题意可得f(x)=且f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)== 1-≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,则f(x)= -,即=-,解得x=-1,所以f(x)+≥0即f(x)≥-,其解集为{x|x≥-1}. 依题意,f(x)=g(x)-ex+e-x,f(-x)=g(-x)-e-x+ex=-g(x)-e-x+ex=-f(x),则函数f(x)是R上的奇函数,而函数y=g(x),y=-ex,y=e-x在R上都单调递减,因此f(x)在R上单调递减,不等式f(log2x)>-f(2)=f(-2),则log2x<-2,解得0<x<,所以所求解集是.故选B. 设x<0,则-x>0,因为函数为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以cos(-x)-a(-x)= -(bcos x+x)⇒cos x+ax=-bcos x-x⇒所以a+b=-2. 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.设x<0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3-|-x-2|]=x3+|x+2|,所以f(x)= f(x)= (2)已知函数f(x)的定义域为R,f(-x+1)-f(x+1)=0,函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,则f(i)=(　　) A.-2 028 B.0 C.1 014 D.2 028 因为f(-x+1)-f(x+1)=0,即f(-x)=f(x+2),故f(x)的图象关于直线x=1对称.由y=f(x)的图象关于直线x=-f(x)=f(-1-x),即f(x)=-f(-1-x)对任意x恒成立,则f(x)=-f(-x-1),又f(-x) =f(x+2),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, f(i)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]×338=0.故选B. $